亚洲人妻在线视频网页,涩涩一区日韩

[版權(quán)聲明：本文主要內(nèi)容歸功于以下兩篇文章，鏈接如下：]
https://blog.csdn.net/edogawachia/article/details/79366444
https://blog.csdn.net/weixin_41608328/article/details/89322214

Hilbert變換簡介

希爾伯特變換是信號(hào)處理中的一種常用手段，數(shù)學(xué)定義如下：

希爾伯特變換的定義.jpg

與卷積的概念進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)，上面的Hilbert變換的表達(dá)式實(shí)際上就是將原始信號(hào)和一個(gè)信號(hào)做卷積的結(jié)果。這個(gè)用來卷積的信號(hào)就是
$h(t)=\dfrac{1}{\pi t}?$
希爾伯特變換從本質(zhì)上來看是做了一次特殊的卷積積分，其中這個(gè)卷積的沖擊響應(yīng)為1/πt。換句話說，Hilbert變換可以看成是將原始信號(hào)通過一個(gè)濾波器或者一個(gè)系統(tǒng)，這個(gè)濾波器或系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)為h(t)。

希爾伯特變換的本質(zhì)建模.jpg

對(duì)h(t)做傅里葉變換，可以得到：
$H(jω)=?j\,{\rm sgn}(ω)= \left\{ \begin{array}{cc} -j & \omega \ge 0\\ j & \omega < 0 \end{array} \right.$
sgn()是符號(hào)函數(shù)。從頻譜上來看，這個(gè)濾波器將我們的原始信號(hào)的正頻率部分乘以 $-j$ ，而負(fù)頻率部分乘以了 $j$ 。根據(jù)之前工程數(shù)學(xué)課程上的結(jié)論，Multiple a complex number by $j$ is to leave the modulus unaltered but to increase the argument by $\pi/2$ 。換句話說，上述系統(tǒng)響應(yīng)的實(shí)質(zhì)是在保持幅度不變的條件下，將正頻率部分的相位移動(dòng)了 $-\pi/2$ ；將負(fù)頻率成分移動(dòng)了 $\pi/2$ 。
從上述Hilbert變換可以看出，希爾伯特變換的作用上是一個(gè)90移相器，它將信號(hào)中的正頻率部分相移-90°，相當(dāng)于順時(shí)針轉(zhuǎn)90°；將信號(hào)中的負(fù)頻率部分相移90°，相當(dāng)于逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°。希爾伯特變換不會(huì)改變實(shí)信號(hào)x(t)的振幅和能量，僅僅在相位上發(fā)生了改變分而已。

下面這個(gè)示意圖很直觀地表示了Hilbert變換，這里畫出了對(duì)原始信號(hào)做1到4次Hilbert變換的頻譜示意圖：

希爾伯特變換示意圖.jpg

首先，可以看到，兩次希爾伯特變換后，原信號(hào)相位翻轉(zhuǎn)了180°，所以，Hilbert逆變換的公式顯而易見，就是將正變換加一個(gè)符號(hào)即可。另外，還可以看到，Hilbert變換四次后就變回本身了。還有其它的性質(zhì)，比如：

如果一個(gè)信號(hào)是兩個(gè)信號(hào)的卷積，即 $y = conv(v,x)$ ，那么 $Hilbert(y) = conv(Hilbert(v),x) = conv(v,Hilbert(x))$
$x(t)$ 和 $Hilbert(x(t))$ 的能量以及平均功率相等，相關(guān)函數(shù)和功率譜相同。

Hilbert變換物理意義

解析過程概念

對(duì)于一個(gè)實(shí)隨機(jī)過程 $x(t)$ ， $\hat{x}(t) = Hilbert(x(t))$ 為它的希爾伯特變換，那么定義復(fù)隨機(jī)過程：
$\tilde{x}(t) = x(t) + j\hat{x}(t)$
為x(t)的解析過程。

這個(gè)過程有一個(gè)最重要的特點(diǎn)，就是解析信號(hào)的功率譜只有正頻段，強(qiáng)度為原來的四倍?；蛘哒f是只有正頻段且幅度值為原來的兩倍(幅度與功率之間還有一次平方轉(zhuǎn)換關(guān)系)：
$S_{\tilde{X}}(\omega)= \left\{ \begin{array}{cc} 4S_X(\omega) & \omega \ge 0\\ 0 & \omega < 0 \end{array} \right.$
$\tilde{X}(\omega)= \left\{ \begin{array}{cc} 2X(\omega) & \omega \ge 0\\ 0 & \omega < 0 \end{array} \right.$

歐拉公式（Euler‘s formula）的啟發(fā)

歐拉公式： $e^{j\theta}=cos(\theta)+jsin(\theta)$
這個(gè)公式說明，用復(fù)指數(shù)信號(hào)可以表示成一個(gè)實(shí)數(shù)信號(hào)和一個(gè)虛數(shù)信號(hào)的和的形式。

Functions	Fouier Transform
$cos(\omega_0t)$	$\pi[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega -\omega_0)]$
$sin(\omega_0t)$	$j\pi[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega -\omega_0)]$

可以看出，在正頻率上和負(fù)頻率上兩者的相位上的先后順序剛好相反，但是都是保持90°的差值。歐拉公式實(shí)際上是一種特殊的 Hilbert 變換。
復(fù)指數(shù)信號(hào) $e^{j\theta}$ ，頻譜就是一個(gè)脈沖，而且是 $2\pi\delta(\omega - \omega_0)$ 。只有正頻率，且是兩倍。雖然時(shí)域上是復(fù)數(shù)，但是在頻域只有正分量。

希爾伯特變換的意義

首先，將實(shí)數(shù)信號(hào)變換成解析信號(hào)的結(jié)果就是，把一個(gè)一維的信號(hào)變成了二維復(fù)平面上的信號(hào)，復(fù)數(shù)的模和幅角代表了信號(hào)的幅度和相位，如圖所示：

希爾伯特變換物理意義圖

這樣看來，似乎復(fù)數(shù)信號(hào)才是完整的，而實(shí)信號(hào)只是在復(fù)平面的實(shí)軸上的一個(gè)投影。我們知道，解析信號(hào)可以計(jì)算包絡(luò)（瞬時(shí)振幅）和瞬時(shí)相位。在上圖中可以看到，實(shí)際上我們計(jì)算的包絡(luò)就是黑色的線圍成的立體圖形的邊界在實(shí)部的投影，而計(jì)算這個(gè)邊的投影也很簡單，就是在復(fù)平面上的螺旋線中的每一個(gè)點(diǎn)的模值，也就是 $A(t) = \sqrt{x^2(t) + Hilbert(x(t))^2}$ ，而瞬時(shí)相位就是虛部（Hilbert變換后的）和實(shí)部（原始信號(hào)）在某一時(shí)間點(diǎn)的比值的 arctan ，瞬時(shí)頻率就是它的導(dǎo)數(shù)。

色偷偷精品伊人,欧洲久久精品,欧美综合婷婷骚逼,国产AV主播,国产最新探花在线,九色在线视频一区,伊人大交九欧美,1769亚洲,黄色成人av

希爾伯特變換（Hilbert Transform）的物理意義

希爾伯特變換（Hilbert Transform）的物理意義

Hilbert變換簡介