先來看原題
如圖，在△ABC中，AB=AC，點D為△ABC外一點，連接BD、CD，∠ADB=∠DBC= 120°，取AB中點E，連接DE，若CD=10，求線段DE的長。
不知道其他人怎樣，我看到這道題的第一印象是莫名其妙，幾個看上去不怎么相關(guān)的條件湊到一起，求一個看起來不怎么相關(guān)的線段長度。
對于缺乏經(jīng)驗的學(xué)生來說，或許從起點開始就一頭霧水，沒有任何思路。但若有了一定的做題經(jīng)驗，加上平時的總結(jié)與反思，大概率能猜到線段DE與DC之間的關(guān)系——像這樣只給一個線段長度，求另外一個線段長度，基本上不會是加減關(guān)系，而是倍數(shù)關(guān)系，再結(jié)合圖像，很容易“看出”DE為DC的一半，即DC = 5。如果是填空題，在沒有思路，不會嚴(yán)格證明的情況下，這樣“猜”一下無可厚非。
但如何證明呢？難度真的很大。
類似這樣難度的題，或許不適合在課堂上統(tǒng)一講，但回顧自己的思考過程，感覺可以從中提煉出一些不一樣的內(nèi)容——不只是識別幾何模型，然后選擇相應(yīng)的方法去證明——而是有利于培養(yǎng)學(xué)生真正的幾何核心素養(yǎng)的思路。
將問題再進(jìn)一步延伸，就是自己一直在思考的問題：數(shù)學(xué)中的難題到底應(yīng)該怎么教（對初中而言，比較典型的，就是幾何證明、二次函數(shù)等大題了）？
（1）承認(rèn)題目的難度，從效率的角度選擇性放棄——不在課堂上統(tǒng)一講，對可能接受的學(xué)生進(jìn)行針對性的單獨討論。這并非傳統(tǒng)意義上的開小灶，而是承認(rèn)學(xué)生客觀的差異性。
（2）對難題做適當(dāng)?shù)奶幚?，也就是有意幫助學(xué)生搭一些臺階，將題目改編為一定開放性的題目，力爭能讓更多的學(xué)生參與進(jìn)來。
很明顯，第二種方法更好一點，但難度也會大一些，具體的分析留到結(jié)尾處詳細(xì)討論，繼續(xù)看這道題。
第一、分析圖形是如何形成的
之所以思考這個，是因為如果能分析出原題的圖是如何形成的，就能找到一般規(guī)律，自然會便于找到思路。
（1）題意中△ABC為等腰三角形，那就隨意先畫一個等腰三角形，如下圖1所示；
（2）由∠DBC = 120°，我們可以確定射線BD，但無法確定D點具體位置，如下圖2；
（3）如果任意確定一點D，會出現(xiàn)圖3的情況，即∠D的另一邊不過A點，可見此時D點的位置由等腰三角形頂點A與條件120°共同決定；
（4）經(jīng)過上述步驟，我們可以得到這樣一個結(jié)論：如果等腰△ABC確定了，那么滿足要求的圖形也確定了，線段DC、DE也確定了，那么它們之間也確實存在一定的關(guān)系。
第二，改變等腰△ABC
根據(jù)上述分析，我們自然會想到一個問題，如果等腰△ABC發(fā)生變化，線段DC、DE還會不會存在關(guān)系呢？同樣用圖表示，具體如下：
（1）圖4為上圖中的原圖，用來作對比；
（2）保持底邊上的高不變，增大等腰三角形底角的大小，得到了圖5；
（3）保持底邊上的高不變，減小等腰三角形底角的大小，得到了圖6；
（4）繼續(xù)減小等腰三角形底角的大小，出現(xiàn)了∠D無法與頂點A相連的情況，如圖7所示。這是為什么呢？原因出在120°的條件上，那當(dāng)?shù)捉切∮诙嗌俣葧r會出現(xiàn)這種情況呢？即等腰三角形底角的極限度數(shù)是多少？簡單分析可以知道，當(dāng)∠2+∠3＞180°時，∠D的另一邊將無法過A點。因為∠3=120°，所以此時∠2＞60°。又因為∠1+∠2=120°，所以此時∠1小于60°。也就是說，當(dāng)?shù)妊?i>△ABC的底角小于60°時，將不會存在滿足要求的圖形（推導(dǎo)過程有些省略）。
經(jīng)過上述過程，我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)妊?/b>ABC發(fā)生變化，線段DC、DE也隨之變化，那么它們之間的關(guān)系會不會保持不變呢？既然我們一定有了猜想，那么問題就應(yīng)該變?yōu)椋?b>當(dāng)?shù)妊?/b>ABC發(fā)生變化，線段DC、DE也隨之變化，那么它們之間的關(guān)系真的會保持不變嗎？
退一步，無論之前有沒有想法，分析到這里，都應(yīng)該有了這樣的初步判斷：原圖并非一成不變，線段DC也會隨之改變，那么DC=10這個條件，就沒有那么關(guān)鍵了，一定是DC與DE之前存在某種聯(lián)系，而且是倍數(shù)關(guān)系。若能適當(dāng)分析、總結(jié)，以后再碰到這種只給一個線段長度+其他條件，求另一個線段長度，那么多半就是這種情況了，也就是做題經(jīng)驗。
分析到這里，我們就可以利用一些“做題小聰明”了：我們可以畫出一種特殊情況——極限情況之一，即∠1=60°，如果是這種情況，原圖會發(fā)生什么變化呢？具體如下圖所示：
對比圖5與圖6，我們會發(fā)現(xiàn)，隨著∠ABC度數(shù)的減小，線段BD的長度也逐漸減小，當(dāng)∠ABC=60°時，要想滿足題中要求，則BD兩點重合，此時E則為AB邊的中點。具體如圖8所示。那么在這種情況下，等腰△ABC將會變?yōu)榈冗吶切?/b>，而E點位于AB邊的中點，顯然DE=1/2CD=5。
多說一句，這種極限情況，學(xué)生能不能由圖5、圖6自然地聯(lián)想到？或許需要一定的動態(tài)想象能力，而這個能力，多半還是要借助具體的題目培養(yǎng)。
相比最開始的盲猜，此時前進(jìn)了一大步，如果這是道填空題，用這種取巧的辦法（取特殊值）就可以解決，而且可以確定結(jié)果的正確性。
要嚴(yán)格證明的話，該怎么辦呢？
第三、再看原圖
通過前面的討論，不知道學(xué)生能否感受到：這道題中的結(jié)論，其實就是在一個等邊三角形中的一般規(guī)律。我們可以重新?lián)Q一種方式還原原圖是如何被構(gòu)造的，具體如下圖。
（1）圖9是一個等邊三角形——字母編號的奇怪是為了與原題相同；
（2）任意畫一條與AN平行的直線，分別交AF、FN于點D、B——也不是完全任意，交點B需要在底邊的左半部分，如圖10所示；
（3）連接AB，并以AB為腰，作等腰△ABC（操作過程省略），如圖11所示；
（4）連接DC，取AB的中點E，連接DE，完畢，如圖12所示。
至于學(xué)生能不能輕易感受到，還真不好說。不過，這種動態(tài)想象能力，還是挺重要的，就多扯一點吧。
以下真的是在扯，而且是亂扯——————————
對于一個幾何題而言，有些條件是固定不變的，但有些條件沒固定，是可以變化的。在看圖做題時，受視覺限制，一些學(xué)生會人為添加一些并不存在的條件，原因嘛，問起來就是看著像。幾何直觀，應(yīng)該是好事，給我們提供思路和方向，但畢竟屬于猜想，不能當(dāng)作確定的條件，可有些學(xué)生就仿佛先入為主般，認(rèn)定了這個“條件”，如果不對，就陷入其中難以自拔。此時，視覺幾何直觀，反而變成了障礙。
有沒有好辦法處理這個矛盾呢？那就是在審題時，注意哪些條件能變，哪些條件不能變，對于不固定，可以適當(dāng)變動的條件，最好變一變，看看那些猜想還成立不成立。
還記得我的初中，那時我對幾何中的結(jié)論特別感興趣，覺得特別神奇，有時候即便是嚴(yán)格證明了，還是會適當(dāng)改變一下那些不固定的條件，驗證一下結(jié)論是不是還成立。這當(dāng)然不是懷疑結(jié)論的正確性，就是單純的感到好奇。一開始是在紙上畫，后來就在腦子里想，把圖想象成一個動圖，看其中的結(jié)論還是不是這樣。
時間長了以后，額外的好處會慢慢顯露出來，我的空間想象能力很好。并且對于圖像類的題目，我不容易先入為主，思維定勢，會快速從已知條件開始，在大腦中重新生成一遍，思考著變一變會怎么樣。結(jié)果就是對那些決定性的條件把握非常好，也就是到底是什么條件限制，導(dǎo)致了最后的結(jié)果。
當(dāng)習(xí)慣成自然以后，這漸漸讓我意識到一個更加普遍的道理：一些事情的結(jié)果（結(jié)論）與自己所看到的表象（條件）之間并非那么嚴(yán)格的因果關(guān)系，比如這個條件可能是多余的，還可能只是一種特殊情況，背后說不定還隱藏著更為本質(zhì)的原因或更本質(zhì)的一般規(guī)律。
如果再扯遠(yuǎn)點，扯到生活中，對于同一件事，不一樣的人會看到不一樣的前因后果，原因何在呢？人們總說看待問題要看本質(zhì)，那到底什么才是本質(zhì)？又如何才能看到本質(zhì)呢？有沒有一般的思考方式呢？還有就是犯了錯要反思，到底反思什么呢？反思的方向到底對還是不對？……或許，首先意識到表象與結(jié)果之間并非自然而然的因果關(guān)系，需要對其進(jìn)行深入分析，一定是先有這個意識，不要想當(dāng)然；其次才是具體的分析方法，哪怕最初沒有方法，但只要意識到要反思，學(xué)習(xí)時間久了以后，自然就會琢磨出一定的分析方法了。
就比如說，我能意識到這個問題，到底與做幾何題時愛瞎想相關(guān)性多大呢？其實我自己也不知道。思維真的很復(fù)雜，根本就不是線性的，自然也沒辦法說清楚。只是現(xiàn)在回想起來，這種方式，或許可以有助于培養(yǎng)這種意識及思考方式，而這，才是我扯這么遠(yuǎn)的原因：如何幫助學(xué)生也能有這樣的意識（or能力？）？
說到這里，不知道大家想沒想過一個問題，學(xué)生為什么要學(xué)習(xí)？都是在學(xué)習(xí)些什么？如何學(xué)這些東西？這三個問題，哪個最重要？隨著智能時代的到來，越來越多的人能夠意識到，學(xué)習(xí)具體的知識已經(jīng)不再是最重要了，相比之下，學(xué)習(xí)各種能力，才是在變化越來越快，充滿各種不確定性的人工智能時代的首選。那么，這些能力到底是些什么能力？這些能力到底該如何培養(yǎng)呢？每當(dāng)想到這個問題，我都要先問問自己，你知道未來需要什么樣的能力長啥樣子嗎？你自己具備這些能力嗎？你又該怎么教給學(xué)生這些能力？
課堂之上，我經(jīng)常跟學(xué)生講，這個世界沒有一門叫做能力的課，學(xué)習(xí)、考試、達(dá)標(biāo)，然后就具備了這項能力，這是不可能的。真的能力首先需要具體的載體，這個載體可以是一門課，可以是一項活動，或者其他形式的具體內(nèi)容。但無論如何，載體都是外在的，由外向內(nèi)，由知識消化成能力，必須由自己經(jīng)過不斷的反思、總結(jié)后得到。一言以蔽之，學(xué)習(xí)是學(xué)生自己的事情，任何人都不可能代替。老師，在其中的作用更多的是引導(dǎo)。
之所以扯這么遠(yuǎn)，其實是為了思考如何對待難題這個問題——什么樣的題算“難”？難題有沒有，有多大意義？要不要引入，引入到什么程度？既然是結(jié)合一道具體的題目分析，還是先把題討論完吧。
第四、嚴(yán)格證明
有了等邊三角形的這個大背景，剩下的證明就會容易一些，但即便如此，還需要強調(diào)2點：
（1）做證明題，尤其是較難的幾何證明題，還是需要帶著猜想去嘗試的。如果沒有猜想怎么辦？那就是無頭蒼蠅亂撞了，運氣好能撞到，運氣好就會無功而返。
就本題而言，正如之前所說，這種只給一條線段長度+其他條件，求另一條線段的長度的題目，圖形多半不是固定的，而是存在一般規(guī)律。這樣的話，待求線段與已知線段基本上都是倍數(shù)關(guān)系。
那有沒有例外情況呢？有，關(guān)鍵就在于已知條件是否把圖形限定在一個確定的圖形中，如果發(fā)現(xiàn)在條件的限定下，圖形是確定的，即存在一般規(guī)律，而是一種特殊情況，那就不能直接猜想待求線段與已知線段的關(guān)系了。這一類題目還是挺常見的，有機會了也詳細(xì)死磕一道。
（2）看見中點延長一倍，還是一種比較基礎(chǔ)的思路，即倍長中線，有事沒事延長畫一畫，說不定會有奇效。這也是非常常見的所謂分析方法——固定的題型、固定的套路。我個人不是很滿意，總覺得機械，有些知其然不知其所以然，但也只能這樣子，路就這么幾條。如果學(xué)生能夠有心，應(yīng)該可以感受到，在做幾何輔助線時“對稱”的方便，這里的對稱可以是軸對稱，也可以是中心對稱。無論哪種對稱，都會得到很多有用的推論。倍長中線，其實就是構(gòu)造中心對稱，構(gòu)造之后是一個平行四邊形，平行四邊形的性質(zhì)就全部都可以用到了（各種平行、相等、全等）。既然做輔助線的目的是為了增加條件，那在沒有確定思路的前提下，按照對稱思想做，似乎也就更順理一些了，尤其是遇到中點、角平分線、垂線、二倍角等。
考慮到倍長中線與平行四邊形聯(lián)系緊密，不要太早的涉及，放在學(xué)完平行四邊形之后引入，效果估計會好一些，換個角度，提升三角形與平行四邊形關(guān)系的理解。
在這個題里，我們會猜DC=2DE，正好題里E又是中點，看似湊巧，其實都是有意為之。
證明：延長線段AD、CB，相交于點F，以AF為邊，∠F為內(nèi)角，補完等邊△AFN，延長DE交AN于M，連接CM。
（有了前面的分析，為什么要補完等邊△AFN，，就容易理解了。如果沒有前面的探索怎么辦？在后面，還會繼續(xù)分luo析suo。另外，線段CM沒有必要連，我自己在做題時，順手連上了，不過，后面在拓展結(jié)論的時候會有用）
∵ ∠DBC?+∠N?= 180°
∴DB∥AN
∴ ∠AME?=∠BDE
又∵AE?=BE，∠AEM?=∠BED
∴ △AEM≌△BED
∴ DE=EM，AM?=DB?
(因為是帶著猜想證明，而DM=2DE，到此，思路轉(zhuǎn)換成求證DM=DC，開始尋找全等三角形，最終鎖定△ADM，△CDF。首先兩個60°角非常明顯，剩下兩個邊也可以)
∵DB∥AN
∴∠DBF=∠N=60°，
∴△DFB是等邊三角形
∴AM=DB=DF
∵對稱，易得CN=FB=FD，
又∵△AFN是等邊三角形
∴ FC=FN-CN=AF-FD=AD
∴△ADM≌△CDF
∴ DM=DC
∴?DE?= 1/2DM?= 1/2DC=5
吐槽一下，詳細(xì)的過程，真的好復(fù)雜。但在證明過程中，應(yīng)該可以比較容易地聯(lián)想到△AMD≌△FDC≌△NCM。其實，△DCM也是等邊三角形！那么∠CDE=60°，連接CE，則CE三線合一！
我們再來看第二種證明方法
第五、證明方法2
這種證明方法，是在沒有探索一般規(guī)律的情況下的思考方式。
（1）看到中線，無腦延長一倍，構(gòu)造中心對稱圖形平行四邊形——當(dāng)然我們前面分析過，依據(jù)對稱思想做輔助線，可作為沒有思路下的一種普遍做法。這種做法下，會得到更多的有用推論，碰上死耗子的概率要大很多——再當(dāng)然，幾何證明題有意為之的意圖一直都很明顯。
需要注意的是，倍長中線以后，并不能得到∠DAM=60°，即并不一定馬上想到M在一個等邊三角形的一條邊上?？梢缘玫降氖牵倪呅蜛DBM是平行四邊形，AM∥DB，此時可知道∠DAM=60°，還有的推論包括DM=2DE，AD=BM，AD∥BM，∠DBM=CBM=60°。
（2）此時，依據(jù)對稱原則繼續(xù)做輔助線，反正沒思路，就隨便畫唄（當(dāng)然，找些稍微簡單一點的題目，讓學(xué)生意識到這點，打好基礎(chǔ)，還是很有必要的）。把等邊三角形AFN畫出來，得到下圖。也就是說，如果學(xué)生具備一定的幾何題做輔助線經(jīng)驗，其實是可以把出題人的意圖“補”出來的。
如果思維夠靈活，在圖15中，還可以繼續(xù)得到其他推論：三角形DBF是等邊三角形，AM=DB=DF=FB，因為對稱，所以FB=CN，這幾個線段都串起來了，并且三角形BMN也是等邊三角形。
（3）此時此刻，如果有DE=1/2DC的猜想，就可以嘗試構(gòu)造全等三角形了。其實，這個思路應(yīng)該一直伴隨著做輔助線，不然真的解釋不了為什么要這樣，要那樣。對思維較一般的學(xué)生來說，豈不是就如天書一樣，然后反問一句：你是怎么想到要這樣做的？
猜想+上面的推論，△ADM≌△CDF是很容易湊夠條件的。
第六、證明方法3
提前說明，3種證明方法并非截然不同，而是在推導(dǎo)某一個條件時，采取的方法略有不同。這種方法的區(qū)別在于：沒有補出完整的等邊三角形，而是選擇其他方法，推導(dǎo)AD=FC，從而湊夠△ADM≌△CDF的條件。
具體過程，不再詳細(xì)分析，看下圖。
這種方法，是我在網(wǎng)上搜答案時看到的，不確定是不是標(biāo)準(zhǔn)答案，反正看到之后，我表示很神奇。
第七、再看極限情況
前面提到了一種極限情況，就是等腰△ABC的底角∠B=60°，那另一個極限就是∠B=90°。此時等腰△ABC成為一條線段，也就是三線合一的那條。具體如下圖所示：
這樣思考有沒有意義呢？是不是閑得慌？我覺得不是。從做題的角度看，把問題解決就意味著結(jié)束，但學(xué)習(xí)不等于做題，這點要充分認(rèn)識到。學(xué)習(xí)到底在學(xué)什么，這個問題并沒有想象中那么簡單，其內(nèi)可大有學(xué)問。
總結(jié)
（1）洋洋灑灑，扯了這么幾千字，可不是閑得慌，而是思考一個非常重要的問題：難題的意義何在？展開來說就是——有沒有意義？有多大意義？意義體現(xiàn)在哪些方面？要不要引入？怎么引入？引入到什么程度？
（2）如果考綱的難度就放在那里，學(xué)生避無可避，終歸要面對，那就不說那么多了，硬著頭皮也要上?？墒?，為了做題而做題，花費那么多時間，真的很不劃算，如果能夠摟草打兔子，把更重要的能力以某種合適的方式引入，無疑會好很多。
（3）如果難題超過了考綱難要求，或者對學(xué)生個體而言難度過大，那就要謹(jǐn)慎引入，看情況決定，不宜過多。一個可行的辦法是，給學(xué)生搭適當(dāng)?shù)呐_階，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生自行探索。至于具體形式，可以是挑戰(zhàn)作業(yè)，或者組織小組學(xué)習(xí)。
（4）“能力”的重要性毋庸置疑，可“能力”到底指什么？數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)；探究式學(xué)習(xí)；探索研究的一般思路、方法、能力等等，經(jīng)常掛在嘴邊，可說起來容易，做起來又是另外一回事，這一點，切不可想當(dāng)然。
（5）目前的我，還不能很好的解決這個問題，或許這是一條沒有盡頭的路。但我相信，只要有這個意識，假以時日，一定可以有所突破。作為老師，要懷有一顆敬畏之心，不斷思考，充實自己。
（6）就幾何難題而言，我不滿足于識別模型，然后按照固定的套路去解題。我希望，向前一步，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、總結(jié)，給學(xué)生足夠的成長空間。再向前一步，我希望通過適當(dāng)改編題目或問法，以更好的幫助到學(xué)生。
（7）回到這道題，從一開始分析是否存在一般規(guī)律，能不能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力？能不能有助于培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)的意識與能力？在這樣具體的一步步分析中，是否有助于培養(yǎng)學(xué)生的猜想與推導(dǎo)能力？總之，這一切，是否給學(xué)生提供了機會，從而引發(fā)學(xué)生更多的思考，并在思考中有所收獲與成長？
（8）如果真的太難，能不能適當(dāng)改編？或者選擇一道難度合適的題目？
（9）路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索……
