一位商人有一個(gè)40磅的砝碼，由于跌落在地而碎成4塊.后來(lái)，稱得每塊碎片的重量都是整磅數(shù)，而且可以用這4塊來(lái)稱從1至40磅之間的任意整數(shù)磅的重物.

問(wèn)這4塊砝碼碎片各重多少？

1）首先把具體問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，可以敘述為：

已知一個(gè)k項(xiàng)的自然數(shù)列a，通過(guò)對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行加減運(yùn)算，可以表示個(gè)數(shù)最多的連續(xù)自然數(shù)1,2，…，S中的任意一個(gè)。

2）用歸納法進(jìn)行分析問(wèn)題；

（i）當(dāng)k=1時(shí)，則取a1=1，S=1；

所以取a1=1，可以表示自然數(shù)1

（ii）當(dāng)k=2時(shí)，取a1=1，討論a2取值：

已知a2>a1，則a2可以取2,3,4…..

當(dāng)a2=2時(shí)，可以表示1，2，3(2+1)

當(dāng)a2=3時(shí)，可以表示1，2(3-1)，3，4（1+3）

當(dāng)a2=4時(shí)，無(wú)法表示出2

所以取a1=1，a2=3，可以表示1---4之間的連續(xù)自然數(shù)

（iii）當(dāng)k=3時(shí)，取a1=1，a2=3，討論a3取值：

已知a3>a2，則a3可以取4,5,6…..

這里分析一下之前的兩種情況，可以發(fā)現(xiàn)，加入a3之后，首先要能表示出5，其次要想盡可能表示更多數(shù)，a3就要盡可能的大，所以5就應(yīng)該是通過(guò)減法而不是加法得到的。

則可以寫出a3—4=5，則a3=9

經(jīng)驗(yàn)證，滿足題目要求，當(dāng)a3>=10的時(shí)候，不能表示出5

所以取a1=1，a2=3，a3=9，可以表示1--13之間的連續(xù)自然數(shù)

(iv)當(dāng)k=4時(shí)，取a1=1，a2=3，a3=9，討論a4取值：

根據(jù)在（iii）里推斷出方法，a4-13=14，則a4=27

所以取a1=1，a2=3，a3=9，a4=27，可以表示1—40之間的連續(xù)自然數(shù)

（v）所以通過(guò)歸納法，這樣的計(jì)算還可以繼續(xù)推廣下去

3）這樣就得到了四塊砝碼的重量為1磅，3磅，9磅，27磅。