用Python學(xué)數(shù)學(xué)之Sympy代數(shù)符號運(yùn)算

在我們初、高中和大學(xué)近10年的學(xué)習(xí)時間里，數(shù)學(xué)一直占據(jù)著非常大的分量，但是回憶過去可以發(fā)現(xiàn)，我們把大量的時間都花在反復(fù)解題、不斷運(yùn)算上，計(jì)算方法、運(yùn)算技巧、筆算能力以及數(shù)學(xué)公式的記憶仿佛成了我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的全部。這些記憶和技巧沒幾年就忘掉了，但很多人甚至還記得那份陰影；筆算與解題在AI、圖形圖像、數(shù)據(jù)分析等上被軟件所取代。那我們學(xué)生時代的數(shù)學(xué)還剩下什么呢？

計(jì)算器與數(shù)學(xué)

說起數(shù)學(xué)計(jì)算器，我們常見的是加減乘除四則運(yùn)算，有了它，我們就可以擺脫筆算和心算的痛苦。四位數(shù)以上的加減乘除在數(shù)學(xué)的原理上其實(shí)并不難，但是如果不借助于計(jì)算器，光依賴我們的運(yùn)算能力（筆算和心算），不僅運(yùn)算的準(zhǔn)確度大打折扣，而且還會讓我們對數(shù)學(xué)的運(yùn)用停留在一個非常淺的層次。

盡管四則運(yùn)算如此簡單，但是多位數(shù)運(yùn)算的心算卻在我們生活中被歸為天才般的能力。但是數(shù)學(xué)的應(yīng)用應(yīng)該生活化、普及化，而不是只屬于天才的專利，計(jì)算器改變了這一切，這就是計(jì)算器的魅力。
計(jì)算器還可以做科學(xué)運(yùn)算，比如乘方、開方、指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)等，盡管這些知識在我們初中時代，通過紙筆也是能運(yùn)算起來的，但是也僅限于一些極其常用和簡單的運(yùn)算，一旦復(fù)雜起來，通過紙筆來運(yùn)算就是一項(xiàng)復(fù)雜的工程了。所以說，計(jì)算器可以讓我們離數(shù)學(xué)的應(yīng)用更近。

但是我們學(xué)生時代所學(xué)的數(shù)學(xué)可遠(yuǎn)不止這些，尤其是高等數(shù)學(xué)（微積分）、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)知識應(yīng)用非常廣泛（我也是后來才知道），但是由于他們的運(yùn)算非常復(fù)雜，我們即便掌握了這些知識，想要應(yīng)用它又談何容易，那有沒有微積分、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等的計(jì)算器呢？

答案是有的，它們就是計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Computer Algebra System，簡稱CAS，Python的Sympy庫也支持帶有數(shù)學(xué)符號的微積分、線性代數(shù)等進(jìn)行運(yùn)算。

有了計(jì)算器，我們才能真正脫離數(shù)學(xué)復(fù)雜的解題本身，把精力花在對數(shù)學(xué)原理和應(yīng)用的學(xué)習(xí)上，而這才是（在工作方面）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義。

計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)

Sympy可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)符號的運(yùn)算，用它來進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)式的符號推導(dǎo)和驗(yàn)算，處理帶有數(shù)學(xué)符號的導(dǎo)數(shù)、極限、微積分、方程組、矩陣等，就像科學(xué)計(jì)算器一樣簡單，類似于計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)CAS，雖然CAS通常是可視化軟件，但是維基百科上也把Sympy歸為CAS。

幾大知名的數(shù)學(xué)軟件比如Mathematica、Maxima、Matlab(需Symbolic Math Toolbox)、Maple等都可以做符號運(yùn)算，在上篇文章中我們已經(jīng)拿Python和R、Matlab對比了，顯然Python在指定場景下確實(shí)優(yōu)勢非常明顯，于是我又調(diào)研了一下Sympy與Mathematica的比較，在輸入公式以及生成圖表方面，Sympy確實(shí)不行（這一點(diǎn)Python有其他庫來彌補(bǔ)），Mathematica能夠做什么，Sympy基本也能做什么。

所以說Python在專業(yè)數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)、數(shù)據(jù)科學(xué)等）領(lǐng)域，由于其擁有非常多而且強(qiáng)大的第三方庫，構(gòu)成了一個極其完善的生態(tài)鏈，即使是面對世界上最為強(qiáng)勢最為硬核的軟件也是絲毫不虛的。

本專欄用Python學(xué)數(shù)學(xué)的下一期也會介紹一些非常實(shí)用的數(shù)學(xué)工具和數(shù)學(xué)教材資源，讓數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更簡單更生動。

Sympy的符號運(yùn)算

如果之前是學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)了解計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)CAS，就會對數(shù)學(xué)符號的運(yùn)算比較熟悉，而如果之前是程序員，可能會有點(diǎn)不太明白，下面我們就來了解一下。

Sympy與Math函數(shù)的區(qū)別

我們先來看一下Sympy庫和Python內(nèi)置的Math函數(shù)對數(shù)值計(jì)算的處理有什么不同。為了讓代碼可執(zhí)行，下面的代碼都是基于Python3的完整代碼。

import sympy,math
print(math.sqrt(8))
print(sympy.sqrt(8))

執(zhí)行之后，結(jié)果顯示為：

2.8284271247461903
2*sqrt(2)

math模塊是直接求解出一個浮點(diǎn)值，而Sympy則是用數(shù)學(xué)符號表示出結(jié)果，結(jié)合LaTex的語法就可以得出我們在課本里最熟悉的的：2\sqrt{2}。

數(shù)學(xué)符號與表達(dá)式

我們要對數(shù)學(xué)方程組、微積分等進(jìn)行運(yùn)算時，就會遇到變量比如x,y,z,f等的問題，也會遇到求導(dǎo)、積分等代數(shù)符號表達(dá)式，而Sympy就可以保留變量，計(jì)算有代數(shù)符號的表達(dá)式的。

from sympy import *
x = Symbol('x')
y = Symbol('y')
k, m, n = symbols('k m n')
print(3*x+y**3)

輸出的結(jié)果為：3*x + y**3，轉(zhuǎn)化為LaTex表示法之后結(jié)果為3x+y^3，輸出的結(jié)果就帶有x和y變量。Symbol()函數(shù)定義單個數(shù)學(xué)符號；symbols()函數(shù)定義多個數(shù)學(xué)符號。

折疊與展開表達(dá)式

factor()函數(shù)可以折疊表達(dá)式，而expand()函數(shù)可以展開表達(dá)式，比如表達(dá)式：x^4+xy+8x，折疊之后應(yīng)該是x(x^3+y+8)。我們來看具體的代碼：

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=x**4+x*y+8*x
f_expr=factor(expr)
e_expr=expand(f_expr)
print(f_expr)
print(e_expr)

表達(dá)式的折疊與展開，對應(yīng)的數(shù)學(xué)知識就是因式分解，相關(guān)的數(shù)學(xué)知識在人教版初二的教程里。用Python學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專欄的目的就是要Python與初高中、大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)合起來，讓數(shù)學(xué)變得更加簡單生動。

表達(dá)式化簡

simplify()函數(shù)可以對表達(dá)式進(jìn)行化簡。有一些表達(dá)式看起來會比較復(fù)雜，就拿人教版初二上的一道多項(xiàng)式的乘法為例，簡化(2x)^3(-5xy^2)。

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=(2*x)**3*(-5*x*y**2)
s_expr=simplify(expr)
print(s_expr)

求解方程組

在人教版的數(shù)學(xué)教材里，我們初一上會接觸一元一次方程組，初一下就會接觸二元一次方程、三元一次方程組，在初三上會接觸到一元二次方程，使用Sympy的solve()函數(shù)就能輕松解題。

解一元一次方程

我們來求解這個一元一次方程組。(題目來源于人教版七年級數(shù)學(xué)上)
6 \times x + 6 \times(x-2000)=150000

from sympy import *
x = Symbol('x')
print(solve(6*x + 6*(x-2000)-150000,x))

我們需要掌握Python的代碼符號和數(shù)學(xué)符號之間的對應(yīng)關(guān)系,解一元一次方程就非常簡單。

解二元一次方程組

我們來看如何求解二元一次方程組。（題目來自人教版七年級數(shù)學(xué)下）
\begin{cases} x+ y =10,\\ 2 \times x+ y=16 \end{cases}

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
print(solve([x + y-10,2*x+y-16],[x,y]))

很快就可以得出{x: 6, y: 4}，也就是
x=6,y=4。

解三元一次方程組

我們來看如何解三元一次方程組。（題目來自人教版七年級數(shù)學(xué)下）
\begin{cases} x+y+z=12,\\ x+2y+5z=22,\\ x=4y. \end{cases}
執(zhí)行之后，很快可以得出結(jié)果{x: 8, y: 2, z: 2}，也就是
x=8,y=2,z=2

解一元二次方程組

比如我們來求解人教版九年級一元二次方程組比較經(jīng)典的一個題目，ax^2+bx+c=0.

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
a,b,c=symbols('a b c')
expr=a*x**2 + b*x + c
s_expr=solve( expr, x)
print(s_expr)

執(zhí)行之后得出的結(jié)果為[(-b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a), -(b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)],我們知道根與系數(shù)的關(guān)系二次方程會有兩個解，這里的格式就是一個列表。轉(zhuǎn)為我們常見的數(shù)學(xué)公式即為：
\frac{-b+\sqrt{-4ac+b^2}}{2a} 、-\frac{b+\sqrt{-4ac+b^2}}{2a}

微積分Calculus

微積分是大學(xué)高等數(shù)學(xué)里非常重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，比如求極限、導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分、定積分等都是可以使用Sympy來運(yùn)算的。
求極限
Sympy是使用limit(表達(dá)式，變量，極限值)函數(shù)來求極限的，比如我們要求\lim \limits_{x \to 0} \frac{sinx(x)}{x}的值。

from sympy import *
x, y, z = symbols('x y z')
expr = sin(x)/x
l_expr=limit(expr, x, 0)
print(l_expr)

執(zhí)行后即可得到結(jié)果為1。

求導(dǎo)

可以使用diff(表達(dá)式,變量,求導(dǎo)的次數(shù))函數(shù)對表達(dá)式求導(dǎo)，比如我們要對sin(x)e^x進(jìn)行x求導(dǎo)，以及求導(dǎo)兩次，代碼如下：

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=sin(x)*exp(x)
diff_expr=diff(expr, x)
diff_expr2=diff(expr,x,2)
print(diff_expr)
print(diff_expr2)

求導(dǎo)一次的結(jié)果就是exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x)，也就是e^xsin(x)+e^xcos(x)；求導(dǎo)兩次的結(jié)果是2*exp(x)*cos(x)，也就是
2e^xcosx

求不定積分

Sympy是使用integrate(表達(dá)式,變量)來求不定積分的，比如我們要求\int(e^x\sin{(x)} + e^x\cos{(x)})\,dx

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x)
i_expr=integrate(expr,x)
print(i_expr)

執(zhí)行之后的結(jié)果為：exp(x)*sin(x) 轉(zhuǎn)化之后為：
e^xsin(x)

求定積分

Sympy同樣是使用integrate()函數(shù)來做定積分的求解，只是語法不同：integrate(表達(dá)式,（變量,下區(qū)間,上區(qū)間))，我們來看如果求解
\int_{-\infty}^\infty \sin{(x^2)}\,dx

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=sin(x**2)
i_expr=integrate(expr, (x, -oo, oo))
print(i_expr)

執(zhí)行之后的結(jié)果為sqrt(2)*sqrt(pi)/2，也就是
\frac{\sqrt{2}\sqrt{\pi}}{2}

Sympy能夠做的也遠(yuǎn)不止這些，初高中、大學(xué)的數(shù)學(xué)運(yùn)算題在Sympy極為豐富的功能里不過只是開胃入門小菜而已。

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