同濟高等數(shù)學(xué)第七版2.1習題精講（續(xù)五）

16.討論下列函數(shù)在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性：

(1)y=|sinx|

(2)y=\begin {cases}x^2sin{\frac{1}{x}},x\neq 0,\\0,x= 0\end{cases}

解：討論連續(xù)性與可導(dǎo)性的問題，可以先討論可導(dǎo)性，如果可導(dǎo)必連續(xù)，不可導(dǎo)再討論連續(xù)。萬一要可導(dǎo)可以省點事。當然算錯了就白扯了。

(1)本題含有絕對值，簡單思考一下函數(shù)圖像就會發(fā)現(xiàn)x=0處函數(shù)不一般。

f_{-}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-\sin x}{x}=-1
f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin x}{x}=1

所以第一個就不可導(dǎo)。

因為\lim_{x\to 0}x^2sin{\frac{1}{x}}=f(0)=0利用的是無窮小量與有界量之積仍為無窮小。所以在x=0處連續(xù)。

(2)本題沒有分別討論左右極限是因為在x=0的左右兩邊都是一個表達式，無需分段討論。

f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=0

如果先討論連續(xù)性，因為\lim_{x\to 0}x^2sin{\frac{1}{x}}=f(0)=0利用的是無窮小量與有界量之積仍為無窮小。所以在x=0處連續(xù)。

17.設(shè)函數(shù)y=\begin {cases}x^2,x\leq 1,\\ax+b,x>1.\end{cases}為了使函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)，可導(dǎo)a,b應(yīng)取什么值？

解：要使函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)，需要左極限=右極限=函數(shù)值\lim_{x\to1^-}x^2=\lim_{x\to1^+}ax+b=f(1)=1得到a+b=1

要使函數(shù)f(x)在x=1處可導(dǎo)，需要在該點的左導(dǎo)數(shù)=右導(dǎo)數(shù)，即：
f_{-}^(1) =\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x^{2}-1}{x-1}=2 \\ f_{+}^(1) =\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{a x+b-1}{x-1} \\ =\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{a(x-1)+a+b-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{a(x-1)}{x-1}=a
所以a=2,b=-1

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者
【社區(qū)內(nèi)容提示】社區(qū)部分內(nèi)容疑似由AI輔助生成，瀏覽時請結(jié)合常識與多方信息審慎甄別。
平臺聲明：文章內(nèi)容（如有圖片或視頻亦包括在內(nèi)）由作者上傳并發(fā)布，文章內(nèi)容僅代表作者本人觀點，簡書系信息發(fā)布平臺，僅提供信息存儲服務(wù)。

相關(guān)閱讀更多精彩內(nèi)容

友情鏈接更多精彩內(nèi)容