? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 一、導(dǎo)論：幸存者偏差

? ? 24年前的一個(gè)悶熱的下午，考試剛剛結(jié)束，我懷著忐忑的心情走在去數(shù)學(xué)老師辦公室的路上。天熱的透不過(guò)氣來(lái)，似乎在故意在嘲笑我那可憐的數(shù)學(xué)成績(jī)。

? ?經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)老師的一頓教導(dǎo)后，我漸漸產(chǎn)生了一個(gè)疑問(wèn)：數(shù)學(xué)那么枯燥，它究竟有什么用？

? 后來(lái)上大學(xué)，被微積分蹂躪，被線性代數(shù)吊打，被概率論羞辱..........

? ?我的那個(gè)問(wèn)題還是沒(méi)解決：

數(shù)學(xué)在生活中到底有什么用？

這個(gè)問(wèn)題得以解決，是從我聽(tīng)到的一個(gè)故事開(kāi)始...................

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?瓦 爾 德 與 失蹤 的 彈 孔

? ? ? 同 很多 的“ 二 戰(zhàn)” 故事 一樣， 這個(gè) 故事 講述 的 也是 納粹 將 一名 猶太人 趕出 歐洲， 最后 又為 這一 行為 追悔莫及。

? ?1902 年， 亞 伯 拉 罕· 瓦 爾 德 出生于 當(dāng)時(shí)的 克勞 森 堡， 隸屬 奧 匈 帝國(guó)。 瓦 爾 德 十幾 歲時(shí)， 正 趕上 第一次 世界大戰(zhàn) 爆發(fā)， 隨后， 他的 家鄉(xiāng) 更 名為 克 魯 日， 隸屬 羅馬尼亞。 瓦 爾 德 的 祖父 是 一位 拉 比， 父親 是 一位 面包師， 信奉 猶太教。 瓦 爾 德 是一 位 天生 的 數(shù)學(xué)家， 憑借 出眾 的 數(shù)學(xué) 天賦， 他被 維也納 大學(xué) 錄取。 上 大學(xué) 期間， 他對(duì) 集 合論 與 度量 空間 產(chǎn)生了 深厚 的 興趣。 即使 在理 論 數(shù)學(xué) 中， 集 合論合論 與 度量 空間 也 算 得上 是 極為 抽象、 晦澀 難 懂的 兩 門(mén) 課程。 但是， 在 瓦 爾 德 于 20 世紀(jì) 30 年代 中葉 完成 學(xué)業(yè) 時(shí)， 奧地利 的 經(jīng)濟(jì) 正處于 一個(gè) 非常 困難 的 時(shí)期， 因此 外國(guó)人 根本 沒(méi)有 機(jī)會(huì) 在 維也納 的 大學(xué) 中 任教。 不過(guò)， 奧斯卡· 摩根 斯 特 恩（ Oskar Morgenstern） 給了 瓦 爾 德 一份 工作， 幫他 擺脫 了 困境。 摩根 斯 特 恩 后來(lái) 移民 美國(guó)， 并與 人 合作 創(chuàng)立 了 博弈 論。?

? 1933 年 時(shí)， 摩根 斯 特 恩 還是 奧地利 經(jīng)濟(jì) 研究 院的 院長(zhǎng)。 他 聘請(qǐng) 瓦 爾 德 做 與 數(shù)學(xué) 相關(guān) 的 一些 零 活兒， 所付 的 薪水 比較微薄。 然而， 這份 工作 卻為 瓦 爾 德 帶來(lái) 了 轉(zhuǎn)機(jī)， 他 進(jìn)入 了 考 爾 斯 經(jīng)濟(jì) 委員會(huì)（ 該 經(jīng)濟(jì) 研究院 當(dāng)時(shí) 位于 科羅拉多 州 的 斯 普 林 斯市）。 盡管 政治 氣候 越發(fā) 糟糕， 但是 瓦 爾 德 并不 愿意 徹底 放棄 理論 數(shù)學(xué) 的 研究。 納粹 攻克 奧地利， 讓 瓦 爾 德 更加 堅(jiān)定 了 這一 決心。 在 科羅拉多 就職 幾個(gè)月 之后， 他 得 到了 在 哥倫比亞 大學(xué) 擔(dān)任 統(tǒng)計(jì)學(xué) 教授 的 機(jī)會(huì)。 于是， 他 再一次 收拾 行裝， 搬到 了 紐約。?

? ? ? 從此以后， 他被 卷入 了 戰(zhàn)爭(zhēng)。

? ? 在 第二次 世界大戰(zhàn) 的 大部 分時(shí) 間里， 瓦 爾 德 都在 哥倫比亞 大學(xué) 的 統(tǒng)計(jì) 研究 小組（ SRG） 中 工作。 統(tǒng)計(jì) 研究 小組 是一 個(gè) 秘密 計(jì)劃 的 產(chǎn)物， 它的 任務(wù) 是 組織 美國(guó) 的 統(tǒng)計(jì)學(xué) 家 為“ 二 戰(zhàn)” 服務(wù)。 這個(gè) 秘密 計(jì)劃 與 曼哈頓 計(jì)劃（ Manhattan Project）[ 1] 有點(diǎn)兒 相似， 不過(guò) 所 研發(fā) 的 武器 不是 炸藥， 而是 各種 方程式。 事實(shí)上， 統(tǒng)計(jì) 研究 小組 的 工作 地點(diǎn) 就在 曼哈頓 晨 邊 高地 西 118 街 401 號(hào)， 距離 哥倫比亞 大學(xué) 僅 一個(gè) 街區(qū)。 如今， 這棟 建筑 是 哥倫比亞 大學(xué) 的 教工 公寓， 另外 還有 一些 醫(yī)生 在 大樓 中 辦公， 但是 在 1943 年， 它是“ 二 戰(zhàn)” 時(shí)期 高速 運(yùn)行 的 數(shù)學(xué) 中樞神經(jīng)。 在 哥倫比亞 大學(xué) 應(yīng)用 數(shù)學(xué) 小組 的 辦公 室里， 很多 年輕 的 女士 正 低著 頭， 利用“ 馬前 特” 桌面 計(jì)算器 計(jì)算 最有 利于 戰(zhàn)斗機(jī) 瞄準(zhǔn)具 鎖定 敵機(jī) 的 飛行 曲線 公式。 在另 一間 辦公 室里， 來(lái)自 普林斯頓 大學(xué) 的 幾名 研究人員 正在 研究 戰(zhàn)略 轟炸 規(guī)程， 與 其一 墻 之隔 的 就是 哥倫比亞 大學(xué) 統(tǒng)計(jì) 研究 小組 的 辦公室。

? ? ?但是， 在 所有 小組 中， 統(tǒng)計(jì) 研究 小組的 權(quán)限 最大， 影響力 也 最大。 他們 一方 面像 一個(gè) 學(xué)術(shù) 部門(mén) 一樣， 從事 高強(qiáng)度 的 開(kāi)放 式 智力 活動(dòng)， 另一方面 他們 都 清楚 自己 從事 的 工作 具有 極高 的 風(fēng)險(xiǎn) 性。 統(tǒng)計(jì) 研究 小組 組長(zhǎng) 艾倫· 沃 利 斯（ W. Allen Wallis） 回憶 說(shuō)：“ 我們 提出 建議 后， 其他 部門(mén) 通常 就會(huì) 采取 某些 行動(dòng)。 戰(zhàn)斗機(jī) 飛行員 會(huì) 根據(jù) 杰克· 沃 爾 福 威 茨（ Jack Wolfowitz） 的 建議 為 機(jī)槍 混 裝 彈藥， 然后 投入 戰(zhàn)斗。 他們 有可能 勝利 返回， 也有 可能 再也 回不來(lái)。 海軍 按照 亞 伯· 基 爾 希 克（ Abe Girshick） 的 抽樣 檢驗(yàn) 計(jì)劃， 為 飛機(jī) 攜帶 的 火箭 填 裝 燃料。這些 火箭 爆炸 后 有可能 會(huì) 摧毀 我們 的 飛機(jī)， 把 我們 的 飛行員 殺死， 也有 可能 命中 敵機(jī)， 干掉 敵人。”

? ? ?數(shù)學(xué) 人才 的 調(diào)用 取決于 任務(wù) 的 重要 程度。 用 沃 利 斯 的 話說(shuō)，“ 在 組建 統(tǒng)計(jì) 研究 小組 時(shí)， 不僅 考慮 了 人數(shù)， 還 考慮 了 成員 的 水平， 所 選調(diào) 的 統(tǒng)計(jì) 人員 都是 最 杰出 的?！?在這 些 成員 中， 有 弗 雷 德里 克· 莫 斯 特 勒（ Frederick Mosteller）， 他 后來(lái) 為 哈佛 大學(xué) 組建 了 統(tǒng)計(jì) 系； 還有 倫 納 德· 薩 維 奇（ Leonard Jimmie Savage）， 他是 決策決策 理論 的 先驅(qū) 和 貝 葉 斯 定理 的 杰出 倡導(dǎo)者。 麻省 理工 學(xué)院 的 數(shù)學(xué)家、 控制論 的 創(chuàng)始人 諾 伯 特· 維 納（ Norbert Wiener） 也 經(jīng)常 參加 小組 活動(dòng)。 在這 個(gè) 小組 中， 米 爾 頓· 弗 里 德 曼（ Milton Friedman） 這位 后來(lái) 的 諾貝爾 經(jīng)濟(jì)學(xué) 獎(jiǎng) 得 主 只能 算 第四 聰明 的 人。

??小組 中天 賦 最 高的 當(dāng) 屬 亞 伯 拉 罕· 瓦 爾 德。 瓦 爾 德 是 艾倫· 沃 利 斯 在 哥倫比亞 大學(xué) 就讀 時(shí) 的 老師， 在 小組 中 是 數(shù)學(xué) 權(quán)威。 但是 在 當(dāng)時(shí)， 瓦 爾 德 還是 一名“ 敵國(guó) 僑民”， 因此 他被 禁止 閱讀 他自己 完成 的 機(jī)密 報(bào)告。 統(tǒng)計(jì) 研究 小組 流傳 著 一個(gè) 笑話： 瓦 爾 德 在用在用 便箋 簿 寫(xiě) 報(bào)告 時(shí)， 每 寫(xiě) 一頁(yè)， 秘書(shū) 就 會(huì)把 那 頁(yè) 紙 從 他 手上 拿走。 從 某些方面 看， 瓦 爾 德 并不 適合 待在 這個(gè) 小組 里， 他的 研究 興趣 一直 偏重于 抽象 理論， 與 實(shí)際 應(yīng)用 相去甚遠(yuǎn)。 但是， 他 干勁 兒 十足， 渴望 在 坐標(biāo) 軸上 表現(xiàn) 自己的 聰明才智。 在 你有 了 一個(gè) 模糊不清 的 概念， 想 要把 它 變成 明確 無(wú)誤 的 數(shù)學(xué) 語(yǔ)言 時(shí)， 你 肯定 希望 可以 得到 瓦 爾 德 的 幫助。

? ? 于是， 問(wèn)題 來(lái) 了。 我們 不 希望 自己的 飛機(jī) 被 敵人 的 戰(zhàn)斗機(jī) 擊落， 因此 我們 要 為 飛機(jī) 披上 裝甲。 但是， 裝甲 會(huì) 增加 飛機(jī) 的重量， 這樣， 飛機(jī) 的 機(jī)動(dòng)性 就會(huì) 減弱， 還會(huì) 消耗 更多 的 燃油。 防御 過(guò)度 并不 可取， 但是 防御 不足 又會(huì) 帶來(lái) 問(wèn)題。 在這 兩個(gè) 極端 之間， 有一個(gè) 最優(yōu) 方案。 軍方 把 一群 數(shù)學(xué)家 聚攏 在 紐約 市 的 一個(gè) 公寓 中， 就是 想 找出 這個(gè) 最優(yōu) 方案。

? 軍方 為 統(tǒng)計(jì) 研究 小組 提供 了 一些 可能 用 得上 的 數(shù)據(jù)。 美軍 飛機(jī) 在 歐洲 上空 與 敵機(jī) 交火 后 返回 基地 時(shí)， 飛 機(jī)上 會(huì) 留有 彈 孔。 但是， 這些 彈 孔 分布 得 并不 均勻， 機(jī) 身上 的 彈 孔 比 引擎 上 的 多。

軍官 們 認(rèn)為， 如果 把 裝甲 集中 裝在 飛機(jī) 最 需要 防護(hù)、 受 攻擊 概率 最高 的 部位， 那么 即使 減少 裝甲 總量， 對(duì) 飛機(jī) 的 防護(hù) 作用 也不 會(huì) 減弱。 因此， 他們 認(rèn)為 這樣 的 做法 可以 提高 防御 效率。 但是， 這些 部位 到底 需要 增加 多少 裝甲 呢？ 他們 找到 瓦 爾 德， 希望 得到 這個(gè) 問(wèn)題 的 答案。 但是， 瓦 爾 德 給出 的 回答 并不是 他們 預(yù)期 的 答案。

? ? 瓦 爾 德 說(shuō)， 需要 加裝 裝甲 的 地方 不應(yīng) 該是 留有 彈 孔 的 部位， 而 應(yīng)該 是 沒(méi)有 彈 孔 的 地方， 也就是 飛機(jī) 的 引擎。 瓦 爾 德 的 獨(dú)到 見(jiàn)解 可以 概括 為 一個(gè) 問(wèn)題： 飛機(jī) 各部 位 受到 損壞 的 概率 應(yīng)該 是 均等 的， 但是 引擎 罩上 的 彈 孔 卻 比 其余 部位 少， 那些 失蹤 的 彈 孔 在 哪兒 呢？ 瓦 爾 德 深信， 這些 彈 孔 應(yīng)該 都在 那些 未能 返航 的 飛機(jī) 上。 勝利 返航 的 飛機(jī) 引擎 上 的 彈 孔 比 較少， 其 原因 是 引擎 被 擊中 的 飛機(jī) 未能 返航。 大量 飛機(jī) 在 機(jī)身 被打 得 千瘡百孔 的 情況下 仍能 返回 基地， 這個(gè) 事實(shí) 充分 說(shuō)明 機(jī)身 可以 經(jīng)受住 打擊（ 因此 無(wú)須 加裝 裝甲）。 如果 去 醫(yī)院 的 病房 看看， 就會(huì) 發(fā)現(xiàn) 腿部 受 創(chuàng) 的 病人 比 胸部 中彈 的 病人 多， 其 原因 不在 于 胸部 中彈 的 人少， 而是 胸部 中彈 后 難以 存活。

? ?數(shù)學(xué)上 經(jīng)常 假設(shè) 某些 變量 的 值 為 0， 這個(gè) 方法 可以 清楚 地 解釋 我們 討論 的 這個(gè) 問(wèn)題。 在這 個(gè) 問(wèn)題 中， 相關(guān) 的 變量 就是 飛機(jī) 在 引擎 被 擊中 后 不會(huì) 墜落 的 概率。 假設(shè) 這個(gè) 概率 為零， 表明 只要 引擎 被 擊中 一次， 飛機(jī) 就會(huì) 墜落。 那么， 我們 會(huì) 得到 什么樣 的 數(shù)據(jù) 呢？ 我們 會(huì) 發(fā)現(xiàn)， 在 勝利 返航 的 飛機(jī) 中， 機(jī)翼、 機(jī)身 與 機(jī)頭 都 留有 彈 孔， 但是 引擎 上 卻 一個(gè) 彈 孔 也 找 不到。 對(duì)于 這個(gè) 現(xiàn)象， 軍方 有可能 得出 兩種 分析 結(jié)果： 要么 德軍 的 子彈 打中 了 飛機(jī) 的 各個(gè) 部位， 卻 沒(méi)有 打到 引擎； 要么 引擎 就是 飛機(jī) 的 死 穴。 這 兩種 分析 都可以 解釋 這些 數(shù)據(jù)， 而 第二 種 更有 道理。 因此， 需要 加裝 裝甲 的 是 沒(méi)有 彈 孔 的 那些 部位。

? ?美軍 將 瓦 爾 德 的 建議 迅速 付諸實(shí)施， 我 無(wú)法 準(zhǔn)確 地說(shuō) 出 這條 建議 到底 挽救 了 多少 架 美軍 戰(zhàn)機(jī)， 但是 數(shù)據(jù) 統(tǒng)計(jì) 小組 在 軍方 的 繼任者 們 精于 數(shù)據(jù) 統(tǒng)計(jì)， 一定 很 清楚 這方面 的 情況。 美國(guó) 國(guó)防部 一直 認(rèn)為， 打贏 戰(zhàn)爭(zhēng) 不能 僅靠 更勇敢、 更 自由 和 受到 上帝 更多 的 青睞。 如果 被 擊落 的 飛機(jī) 比 對(duì)方 少 5%， 消耗 的 油料 低 5%， 步兵 的 給養(yǎng) 多 5%， 而 所 付出 的 成本 僅為 對(duì)方 的 95%， 往往 就會(huì) 成為 勝利 方。 這個(gè) 理念 不是 戰(zhàn)爭(zhēng) 題材 的 電影 要 表現(xiàn) 的 主題， 而是 戰(zhàn)爭(zhēng) 的 真實(shí) 寫(xiě)照， 其中 的 每一個(gè) 環(huán)節(jié) 都要 用到 數(shù)學(xué) 知識(shí)。

? ? 瓦 爾 德 擁有 的 空戰(zhàn) 知識(shí)、 對(duì) 空戰(zhàn) 的 理解 都 遠(yuǎn)不及 美軍 軍官， 但他 卻能 看到 軍官 們 無(wú)法 看到 的 問(wèn)題， 這是 為什么 呢？ 根本 原因 是 瓦 爾 德 在 數(shù)學(xué) 研究 過(guò)程中 養(yǎng)成 的 思維習(xí)慣。 從事 數(shù)學(xué) 研究 的 人 經(jīng)常 會(huì) 詢問(wèn)：“ 你的 假設(shè) 是什么？ 這些 假設(shè) 合理 嗎？” 這樣 的 問(wèn)題 令人 厭煩， 但 有時(shí) 卻 富有成效。 在這 個(gè) 例子 中， 軍官 們 在 不經(jīng)意 間做 出了 一個(gè) 假設(shè)： 返航 飛機(jī) 是 所有 飛機(jī) 的 隨機(jī) 樣本。 如果 這個(gè) 假設(shè) 真的 成立， 我們 僅 依據(jù) 幸存 飛 機(jī)上 的 彈 孔 分布 情況 就可以 得出 結(jié)論。 但是， 一旦 認(rèn)識(shí)到 自己做 出了 這樣 的 假設(shè)， 我們 立刻 就會(huì) 知道 這個(gè) 假設(shè) 根本 不 成立， 因?yàn)?我們 沒(méi)有 理由 認(rèn)為， 無(wú)論 飛機(jī) 的 哪個(gè) 部位 被 擊中， 幸存 的 可能性 是 一樣 的。 用 數(shù)學(xué) 語(yǔ)言 來(lái)說(shuō)， 飛機(jī) 幸存 的 概率 與彈 孔 的 位置 具有 相關(guān)性。

? 對(duì)于數(shù)學(xué)家而言， 導(dǎo)致彈孔問(wèn)題 的 是一 種 叫作“ 幸存者偏差”（ survivorship bias） 的 現(xiàn)象。?

? ? 這種現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)生活里隨處可見(jiàn)，資本市場(chǎng)中的“大師”巴菲特,戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束后的將軍等等。當(dāng)代社會(huì)里有幾個(gè)明星企業(yè)家，到處去演講自己成功的秘訣，就像青年導(dǎo)師xxx寫(xiě)的那本書(shū)一樣《我的成功可以復(fù)制》，呵呵，他們只不過(guò)是“幸存者”而已。

? ? ? ? 今天就寫(xiě)到這里，下一篇文章正式開(kāi)始介紹毀你三觀的數(shù)學(xué)課：線性思維。