最近幾周，我?guī)е昙?jí)的女兒和四年級(jí)的兒子，還有一些孩子們，對(duì)本學(xué)期他們所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)習(xí)。

在這個(gè)過程中，我發(fā)現(xiàn)了一些普遍不足現(xiàn)象，同時(shí)發(fā)現(xiàn)了如何引導(dǎo)孩子們把復(fù)習(xí)當(dāng)學(xué)習(xí)、培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣、提高對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解應(yīng)用水平的辦法。

You Don't Know You Don't Know

六年級(jí)的數(shù)學(xué)教材中，有一個(gè)知識(shí)點(diǎn)：能被2和5整除的數(shù)的規(guī)律。

我問了一個(gè)問題：

請(qǐng)你說一說，什么是能被2整除的數(shù)的規(guī)律？

大部分孩子是這樣回答的：“能被2整除的規(guī)律是這個(gè)數(shù)是偶數(shù)?！?/p>

這就犯了一個(gè)邏輯思維的錯(cuò)誤：把結(jié)論當(dāng)成了原因。

偶數(shù)的定義是：能被2整除的數(shù)，叫做偶數(shù)。所以說“能被2整除的規(guī)律是這個(gè)數(shù)是偶數(shù)”或者“這個(gè)數(shù)的個(gè)位上是偶數(shù)”，就不符合邏輯了。

另外，孩子們也都沒弄明白，“能被2和5整除只要看個(gè)位”和“能被10整除的規(guī)律”之間的關(guān)系和背后的數(shù)學(xué)思維，所以他們不會(huì)舉一反三地去理解“能被4和25整除的規(guī)律”，以及“能被8和125整除的規(guī)律”。

You Know You Don't Know

六年級(jí)的數(shù)學(xué)教材中，還有這樣一個(gè)知識(shí)點(diǎn)：單位分?jǐn)?shù)就是分子等于1的最簡真分?jǐn)?shù)。

那么單位分?jǐn)?shù)有什么用呢？書本上給了一個(gè)例子：一個(gè)單位分?jǐn)?shù)，可以變成另2個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和，比如1/6+1/3=1/2

可是當(dāng)我問：

任何一個(gè)單位分?jǐn)?shù)，可以變成另2個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和；
任何一個(gè)單位分?jǐn)?shù)，也可以變成另2個(gè)單位分?jǐn)?shù)之差。
這兩句話一定正確嗎？

他們回答不出。

于是我先給出2個(gè)例子：

因?yàn)?1/7 - 1/8 = 1/56，所以 1/7 = 1/8 + 1/56
因?yàn)?1/6 - 1/7 = 1/42，所以 1/7 = 1/6 - 1/42

再引導(dǎo)他們思考這2個(gè)式子與互素、分?jǐn)?shù)加減法、加減法變化、最大公約數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的關(guān)系后，他們就徹底理解了，其中還有孩子能用代數(shù)式來表示通用解法。

這個(gè)過程其實(shí)是拓展復(fù)習(xí)和加深了幾個(gè)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，和形成網(wǎng)狀思維的模式。

You Don't Know You Know

四年級(jí)的數(shù)學(xué)教材中，講到了什么是分?jǐn)?shù)，如何比較分?jǐn)?shù)的大小，和同分母加減法。

比如：

• 同分母的2個(gè)分?jǐn)?shù)，分子較大的分?jǐn)?shù)更大
• 分子是1的2個(gè)分?jǐn)?shù)，分母較小的分?jǐn)?shù)更大
• 同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，分子相加減

我出了一道題目：

請(qǐng)問3/4+4/9的和，與5/9+9/10的和，哪個(gè)大？

對(duì)于還沒有學(xué)過異分母分?jǐn)?shù)加減法的四年級(jí)孩子而言，他們就傻眼了。

于是我引導(dǎo)他們將這2個(gè)式子重新在草稿紙上整齊的抄寫一遍：

4/9 + 3/4 = ？
5/9 + 9/10 = ？

然后提示他們先比較這2個(gè)加法算式的第一個(gè)加數(shù)的大小，再比較第2個(gè)加數(shù)的大小，他們就恍然大悟了。

通過這個(gè)小小的思維訓(xùn)練，幫助他們體驗(yàn)了“看似沒學(xué)過”的問題，可以用學(xué)過的知識(shí)去思考和找到解決方法。

我的歸納總結(jié)

對(duì)于大部分普娃（非數(shù)學(xué)天才和奧數(shù)學(xué)霸）而言，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)是否掌握的足夠好、是否形成良好的數(shù)學(xué)思維和學(xué)習(xí)方法，對(duì)下一階段的小升初和初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是至關(guān)重要的。

很多在小學(xué)階段數(shù)學(xué)成績經(jīng)常在95分以上的孩子，到了初中階段，即使同樣的努力和認(rèn)真，卻連90分也考不到了，以至于最終放棄了進(jìn)入一流高中和一流大學(xué)的機(jī)會(huì)。

我認(rèn)為主要原因就在于他們只掌握了如何“記憶”和“算題”，并沒有掌握正確的“數(shù)學(xué)思維”和“解題思路”。

四年級(jí)第一學(xué)期數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)100問

第一章

1. 什么是加法、加法組成部分名稱、數(shù)量關(guān)系
2. 什么是減法、減法組成部分名稱、數(shù)量關(guān)系
3. 加法和減法的關(guān)系是什么、如何轉(zhuǎn)換
4. 如何用減法表示加法組成部分的數(shù)量關(guān)系
5. 如何用加法表示減法組成部分的數(shù)量關(guān)系>
6. 什么是乘法、乘法組成部分名稱、數(shù)量關(guān)系
7. 什么是除法、除法組成部分名稱、數(shù)量關(guān)系
8. 乘法和除法的關(guān)系是什么、和加法減法之間的關(guān)系一樣嗎
9. 如何用除法表示乘法組成部分的數(shù)量關(guān)系
10. 如何用乘法表示除法組成部分的數(shù)量關(guān)系
11. 描述兩位數(shù)乘法的豎式計(jì)算方法
12. 乘法的豎式計(jì)算中，什么是容易出錯(cuò)的點(diǎn)
13. 描述兩位數(shù)除法的豎式計(jì)算方法
14. 除法的豎式計(jì)算中，容易出錯(cuò)處是什么
15. 什么是四則混合運(yùn)算的先后順序
16. 什么叫做遞等式
17. 請(qǐng)按照以下算式，編寫一道應(yīng)用題
    365×10=3650（千克）
18. 請(qǐng)按照以下算式，編寫一道應(yīng)用題
    168÷12=14（元）
19. 請(qǐng)按照以下算式，編寫一道應(yīng)用題
    (14-2)×12=144（元）
20. 請(qǐng)按照以下算式，編寫一道應(yīng)用題
    14×12-12×12=24（元）
21. 請(qǐng)按照以下算式，編寫一道應(yīng)用題
    2×12=24（元）
22. 什么是分?jǐn)?shù)、組成部分

23. 如何用分?jǐn)?shù)表示以下立體圖形涂色部分的大小

    
    
24. 請(qǐng)用平面圖形（圓、正方形、長方形）來表示1/3、1/4、2/6
25. 請(qǐng)用小圓點(diǎn)（或其他物體）來表示1/8、1/4、2/6
26. 請(qǐng)用人數(shù)來舉例，表示1/2、3/5、9/10

第二章

1. 請(qǐng)舉例一個(gè)8位數(shù)并讀出來，說明每個(gè)數(shù)位的名稱
2. 請(qǐng)舉例一個(gè)12位數(shù)并讀出來，說明每個(gè)數(shù)位的名稱
3. 請(qǐng)說明數(shù)位之間的進(jìn)位（換算）關(guān)系
4. 請(qǐng)說明我國的計(jì)數(shù)習(xí)慣是幾個(gè)數(shù)位為一級(jí)，每一級(jí)的最小單位是幾
5. 請(qǐng)總結(jié)說明大數(shù)的讀寫方法是什么
6. 如何簡便地比較出2個(gè)大數(shù)之間的大小關(guān)系、關(guān)鍵訣竅是什么
7. 什么是四舍五入法
8. 什么是最接近的“整萬數(shù)”、“整百數(shù)”、“整百萬數(shù)”
9. 為什么要用四舍五入法
10. 表示面積的量的單位是什么、如何換算、如何能不算錯(cuò)
11. 舉例說明生活中的面積數(shù)量與單位
12. 表示重量的量的單位是什么、如何換算、如何能不算錯(cuò)
13. 舉例說明生活中的重量數(shù)量與單位
14. 表示容量（體積）的量的單位是什么、如何換算、如何能不算錯(cuò)
15. 舉例說明生活中的容積數(shù)量與單位
16. 不同類型的數(shù)量是否可以做加減法
17. 不同類型的數(shù)量是否可以做乘除法
18. 不同類型的數(shù)量進(jìn)行計(jì)算，有什么現(xiàn)實(shí)意義
19. 不同單位的同類型數(shù)量如何相加或相減
20. 如何選擇計(jì)算結(jié)果的單位、要注意什么

第三章

1. 什么是分?jǐn)?shù)墻、它的意義是什么
2. 分母相同的分?jǐn)?shù)，如何比大小
3. 分子相同的分?jǐn)?shù)，如何比大小
4. 分母和分子都不相同的分?jǐn)?shù)，如何比大小
5. 為什么分子和分母都不相同的2個(gè)分?jǐn)?shù)，大小可能是相同的
6. 如何做分母相同的分?jǐn)?shù)加法
7. 如何做分母相同的分?jǐn)?shù)減法
8. 請(qǐng)用字母或文字表示出分?jǐn)?shù)加、減法的運(yùn)算化簡等式
9. 請(qǐng)按照以下算式，編寫一道應(yīng)用題
   2/9+1/9=1/3（個(gè)）
10. 請(qǐng)按照以下算式，編寫一道應(yīng)用題
    4/5-1/5=3/5（米）
11. 請(qǐng)按照以下算式，編寫一道應(yīng)用題
    1-5/8=3/8（個(gè)）
12. 請(qǐng)按照以下算式，編寫一道應(yīng)用題
    10×1/10=1（米）
13. 請(qǐng)按照以下算式，編寫一道應(yīng)用題
    10×1/10=1（千克）

第四章

1. 什么是工作量，請(qǐng)舉例說明幾種不同的工作量
2. 什么是工作時(shí)間、和時(shí)刻的區(qū)別及關(guān)系是什么、如何計(jì)算
3. 什么是工作效率、有幾種不同的單位
4. 什么是算24點(diǎn)？
5. 算24點(diǎn)中，4個(gè)數(shù)要計(jì)算成1個(gè)結(jié)果，要經(jīng)過幾次運(yùn)算？
6. 如何把3步計(jì)算，合成一個(gè)四則運(yùn)算式、如何避免出錯(cuò)
7. 小括號(hào)的作用是什么、是否比較加
8. 用小括號(hào)和不用小括號(hào)的區(qū)別是什么
9. 什么是正推題、請(qǐng)舉例說明
10. 什么是逆推題、請(qǐng)舉例說明
11. 表達(dá)相加的數(shù)量關(guān)系的用詞有哪些
12. 表達(dá)相減的數(shù)量關(guān)系的用詞有哪些
13. 表達(dá)相乘的數(shù)量關(guān)系的用詞有哪些
14. 表達(dá)相除的數(shù)量關(guān)系的用詞有哪些
15. 2個(gè)9相乘等于幾、2和9相乘等于幾
16. 如何區(qū)別除、除以、被xx除
17. 什么是運(yùn)算定律
18. 為什么在計(jì)算中要用到運(yùn)算定律
19. 加法有幾種運(yùn)算定律、請(qǐng)?jiān)敿?xì)說明、用字母如何表示
20. 減法有幾種運(yùn)算定律、請(qǐng)?jiān)敿?xì)說明、用字母如何表示
21. 乘法有幾種運(yùn)算定律、請(qǐng)?jiān)敿?xì)說明、用字母如何表示
22. 除法有幾種運(yùn)算定律、請(qǐng)?jiān)敿?xì)說明、用字母如何表示
23. 什么是混合運(yùn)算式
24. 什么運(yùn)算定律可以用于混合運(yùn)算式
25. 請(qǐng)針對(duì)每一種運(yùn)算定律，舉1~2個(gè)例子來說明如何達(dá)到巧算速算的目的
26. 請(qǐng)編一道修路的多步計(jì)算應(yīng)用題
27. 請(qǐng)編一道路程的多步計(jì)算應(yīng)用題
28. 請(qǐng)說明解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)
29. 請(qǐng)說明加減法的關(guān)系、或乘除法的關(guān)系，是如何被用來解題（和出題）的

第五章

1. 什么是圓和組成部分名稱（圓心、圓弧、半徑、直徑）
2. 什么是同心圓
3. 什么是相切圓
4. 內(nèi)切圓與外切圓分別是什么
5. 什么是圓的對(duì)稱軸
6. 畫圓需要什么工具
7. 畫同心圓需要什么工具
8. 畫相交圓需要什么工具
9. 畫相切圓需要什么工具
10. 什么是半圓
11. 什么是扇形
12. 什么是線段
13. 什么是射線
14. 什么是直線
15. 線是否有長度和寬度
16. 有長度的線有哪些、能夠被量出長度的線有哪些
17. 如何用文字和字母表示特定的線
18. 什么是角和組成部分名稱
19. 如何用文字和字母表示特定的角
20. 2條直線可以（最多）形成幾個(gè)角
21. 3條直線可以（最多）形成幾個(gè)角
22. 如何測(cè)量出角的大小
23. 有哪些特殊的角（周角、平角、直角）
24. 什么是銳角、什么是鈍角
25. 使用量角器的方法是什么
26. 如何用量角器畫出直角
27. 如何用三角尺畫出直角
28. 角的加減是什么
29. 什么樣的情況，可以使用角的加減
30. 什么樣的情況，不可以使用角的加減

第六章

1. 為什么大數(shù)需要用到湊整
2. 什么是去尾法，什么情況用
3. 什么是進(jìn)一法，什么情況用
4. 什么是四舍五入法、什么情況用
5. 在數(shù)射線上畫分?jǐn)?shù)，如何做才能又快又好
6. 為什么2條直線相交，形成的對(duì)角大小是相等的（邏輯推理）

7. 這個(gè)圖形中，為什么角A與角B相等

8. 如果告訴你任意三角形的內(nèi)角之和都等于180度，如何證明角∠ABD=∠ACB
9. 如何利用網(wǎng)格密度來估算總數(shù)，原圖形必須符合什么條件

六年級(jí)第一學(xué)期數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)100問

第一章

1. 什么是整數(shù)、正整數(shù)、自然數(shù)
2. 什么是整除的定義和組成要素
3. 整除與帶余數(shù)除法的區(qū)別是什么
4. 整除的生活應(yīng)用意義是什么
5. 2.6能否被1.3整除、是否有生活意義
6. 什么是因數(shù)、什么是倍數(shù)、數(shù)量關(guān)系是什么
7. 整數(shù)有幾個(gè)倍數(shù)？最大最小倍數(shù)是什么
8. 整數(shù)有幾個(gè)因數(shù)？最大最小因數(shù)是什么
9. 能被10整除的規(guī)律
10. 能被2、5整除的規(guī)律
11. 奇數(shù)與偶數(shù)的定義
12. 能被4、25、8、125的整除規(guī)律
13. 能被3、6、9的整除規(guī)律
14. 能被7、11、13的整除規(guī)律
15. 素?cái)?shù)與合數(shù)的定義分別是什么
16. 20以內(nèi)的素?cái)?shù)有哪幾個(gè)
17. 100以內(nèi)的素?cái)?shù)有哪幾個(gè)、個(gè)位有什么規(guī)律
18. 如何分解素因數(shù)（短除法）
19. 短除法的重要技巧是什么、容易出錯(cuò)在哪里
20. 什么是公因數(shù)
21. 什么是最大公因數(shù)
22. 如何判斷多個(gè)數(shù)是互素
23. 倍數(shù)和因數(shù)的最大公因數(shù)是什么
24. 什么是公倍數(shù)
25. 什么是最小公倍數(shù)
26. 倍數(shù)與因數(shù)的最小公倍數(shù)是什么
27. 互素兩數(shù)的最小公倍數(shù)是什么
28. 如何求兩數(shù)（非互素、非倍數(shù)關(guān)系）的最小公倍數(shù)
29. 如何求兩數(shù)（非互素、非倍數(shù)關(guān)系）的最大公約數(shù)
30. 任意兩數(shù)與其最小公倍數(shù)、最大公約數(shù)的數(shù)量關(guān)系是什么
    31 能否用短除法求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)、為什么可以這樣做
31. 素?cái)?shù)是有限的嗎，為什么
32. 任意整數(shù)的素因數(shù)個(gè)數(shù)與因數(shù)的數(shù)量關(guān)系是什么

第二章

1. 分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系是什么
2. 分?jǐn)?shù)與除法有哪些對(duì)應(yīng)關(guān)系
3. 分?jǐn)?shù)有哪三種，分別是怎么定義的
4. 如何在數(shù)軸上標(biāo)識(shí)分?jǐn)?shù)
5. 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是什么
6. 分?jǐn)?shù)能進(jìn)行計(jì)算嗎、為什么
7. 什么叫最簡分?jǐn)?shù)
8. 什么是通分、有什么用
9. 什么是約分、有什么用
10. 分?jǐn)?shù)如何比大小
11. 不同分母的分?jǐn)?shù)如何做加減法
12. 利用通分做分?jǐn)?shù)加減法，是基于什么性質(zhì)或規(guī)律
13. 分?jǐn)?shù)加減法的2大運(yùn)算技巧是什么（帶分?jǐn)?shù)、通分）
14. 分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算規(guī)律與整數(shù)四則運(yùn)算規(guī)律的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)
15. 分?jǐn)?shù)四則（混合）運(yùn)算的運(yùn)算定律有哪些
16. 分?jǐn)?shù)乘法的運(yùn)算過程是什么
17. 分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算過程是什么
18. 分?jǐn)?shù)乘除法的2大運(yùn)算技巧是什么
19. 分?jǐn)?shù)乘除法容易出錯(cuò)在哪里
20. 什么是倒數(shù)
21. 如何求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)（分3種情況）
22. 如何用代數(shù)式來表示倒數(shù)（假設(shè)、結(jié)論、重要注釋）
23. 什么是有限小數(shù)
24. 什么樣的分?jǐn)?shù)可以轉(zhuǎn)換成有限小數(shù)
25. 什么是無限循環(huán)小數(shù)、什么是循環(huán)節(jié)
26. 什么樣的分?jǐn)?shù)可以轉(zhuǎn)換成無限循環(huán)小數(shù)
27. 分?jǐn)?shù)如何轉(zhuǎn)換成小數(shù)
28. 有限小數(shù)如何轉(zhuǎn)換成分?jǐn)?shù)
29. 無限循環(huán)小數(shù)如何轉(zhuǎn)換成分?jǐn)?shù)
30. 什么是無限不循環(huán)小數(shù)
31. 為什么無限不循環(huán)小數(shù)不可以轉(zhuǎn)換成分?jǐn)?shù)（邏輯推理）
32. 請(qǐng)總結(jié)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的3個(gè)解題重點(diǎn)（或步驟）
33. 什么是單位分?jǐn)?shù)
34. 如何將一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成幾個(gè)不同單位分?jǐn)?shù)之和

第三章

1. 什么是比
2. 什么是比值，它代表什么
3. 什么對(duì)象可以比、什么對(duì)象不可以比
4. 不同單位的量之間如何比
5. 比、分?jǐn)?shù)、除法之間的關(guān)系是什么
6. 比的基本性質(zhì)是什么？和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)（同乘除不為0的數(shù)）差別是什么
7. 什么是三項(xiàng)連比，請(qǐng)用字母或文字寫出來，比的基本性質(zhì)是否還有效
8. 如何將比進(jìn)行化簡
9. 什么是比例、它的組成部分名稱是什么
10. 比例的基本性質(zhì)是什么、請(qǐng)用字母式表示
11. 模型比例的比值，代表了什么倍數(shù)關(guān)系（體積、面積、長度）
12. 什么是百分比，它有什么特性、組成部分名稱是什么
13. 如何正確書寫百分比
14. 百分比與一般的比、分?jǐn)?shù)的區(qū)別，分別是什么
15. 百分比如何變化為最簡分?jǐn)?shù)
16. 百分比與小數(shù)的如何互相轉(zhuǎn)換
17. 分?jǐn)?shù)或比值，如何轉(zhuǎn)換成百分比
18. 如何表示不同類型物體與總量的分布數(shù)量關(guān)系
19. 如何衡量液體的濃度
20. 如何衡量商品的成本、利潤、營業(yè)額、盈利率（虧損率）、毛利率、凈利率
21. 如何計(jì)算貸款本金、利息、利率、期數(shù)、年化利率
22. 什么是增長率，上漲和下降1個(gè)百分點(diǎn)是什么意思
23. 什么是概率、如何表示
24. 概率的計(jì)算公式是什么
25. 概率與可能性的區(qū)別是什么

第四章

1. 生活中有哪些物體是圓或扇形的
2. 圓的幾何定義是什么
3. 圓和圓心的分別是什么
4. 什么是直徑、總共有幾條
5. 什么是半圓、半圓的圓心是什么
6. 周長與直徑的關(guān)系是什么
7. 圓周率是怎么來的、如何表示
8. 圓周率約等于多少
9. 圓的周長公式是什么
10. 圓的面積公式是什么、如何推導(dǎo)
11. 半圓的周長公式是什么
12. 半圓的面積公式是什么
13. 什么是扇形、幾何定義是什么
14. 如何判斷某個(gè)圖形是否為扇形
15. 扇形的哪些部分與圓的相應(yīng)部分成比例
16. 扇形弧長公式是什么
17. 扇形面積公式是什么

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