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寫在前面：
全部程序代碼基于Matlab 2015b 不保證版本過低的Matlab能正常使用
如果matlab版本太低沒有內置以下函數(shù)請下載以下文件放到工作目錄
已知問題：
matlab 7.0以下的版本不支持“~”這個符號以用于代替無關參數(shù)，所以在7.0版本以下的版本中無法實現(xiàn)本文用到的函數(shù)功能，請至少使用7.0以上的版本
"identifier" expected, "~" found. Error in
https://cn.mathworks.com/matlabcentral/newsreader/view_thread/324057
hough.m
https://drop.me/MYwpjo
houghpeaks.m
https://drop.me/BZwbWo
houghlines.m
https://drop.me/aGwy3a

題目預覽

如果已知函數(shù)表達式，就可以利用計算機輕易地畫出函數(shù)圖形。相反，如果給你一張圖片，里面有函數(shù)的圖形，能不能獲取其中的數(shù)據(jù)，從而進一步構建出函數(shù)的表達式呢？請以附件中的圖片為例，解決以下幾個問題：

• 問題1：如何獲取圖片中曲線的坐標數(shù)據(jù)？請以01.jpg為例，運用你的方法獲取數(shù)據(jù)，并重新繪制圖形。
• 問題2：如果圖片中包含有坐標系，如何去除？請針對02.jpg、03.jpg應用你的方法進行處理，并運用1）的方法獲取坐標數(shù)據(jù)。
• 問題3：當圖片中有多條曲線時，如何獲取每條曲線的坐標數(shù)據(jù)？請針對04.jpg、05.jpg應用你的方法，給出處理的結果。對05.jpg中獲得的數(shù)據(jù)進行重新標定，使得標定后的數(shù)據(jù)的大小與原圖中顯示的結果盡可能的相符。
• 問題4：如何利用獲得的坐標數(shù)據(jù)，重建函數(shù)表達式？請給出06.jpg、07.jpg中各曲線的函數(shù)表達式。
  （注：在應用您的方法之前，可以適當?shù)貙D片做預處理，包括手工的處理，但應該進行說明，并遵循盡量減少手工處理的原則）

圖片附件

01.jpg

02.jpg

03.jpg

04.jpg

05.jpg

06.jpg

07.jpg

解題思路

• 總體思想是去掉曲線以外的部分，對曲線重構，并進行坐標變換以盡可能接近原圖中的函數(shù)
• 就本題而言，曲線以外的部分包括字母、數(shù)字、箭頭，坐標軸（直線）
• 曲線重構通過二值化取點做
• 坐標變換通過屏幕坐標與笛卡爾坐標關系進行
• 獲取函數(shù)表達式通過多項式擬合進行，考慮到簡便性就不做冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的擬合，方法都是類似的
• 針對每幅圖都有單獨的m文件解題，但主要通過調用寫好的函數(shù)。

程序源代碼

模塊函數(shù)（供調用）

findandpoly.m

    %--------------------------------------------------------
    %本程序用于對二值化后（黑曲線白背景）的圖像進行曲線提取并擬合
    %參數(shù)2個，BW（圖像二值化后的矩陣），輔助參數(shù)他，分3種選擇：0、普通、-1
    %1是對曲線進行多項式擬合（3、5、7次）并和原提取到的曲線相對比（即畫在同一張圖里）
    %2是進行指定n次多項式擬合，并與原曲線對比，同時在圖中標注擬合曲線的表達式
    %3是只進行坐標變換
    %其他：無論被處理圖像有沒有坐標軸，執(zhí)行此程序時都需要手動依次選擇兩個點，
    %第一個是(0,0)，第二個是(0,1)，以用于重建坐標系并便于求曲線表達式
    %如果需要其他特殊參數(shù)，請自行更改相關部分
    %--------------------------------------------------------
    function [p1,x,y]=findandpoly(BW,pic,t) 
    p1=[];
    a=imread(pic);
    %xx=size(a,1);%x1為圖像橫向長度，實際上這里用不上
    yy=size(a,2);%y1為縱向長度
    imshow(a);
    [x,y] = ginput(1);%選(0,0)
    x1=x;y1=yy-y;
    [x,y] = ginput(1);%選(0,1)（對06.jpg是（2*pi,0））
    x2=x;y2=yy-y;
    %現(xiàn)在(x1,y1),(x2,y2)即為提取的點的笛卡爾坐標系的坐標
    k=(y2-y1);%k是屏幕坐標系與圖像坐標系的倍數(shù)
    %k=(x2-x1)./(2.*pi);%針對06.jpg的處理改進
    clear x;clear y;
    [x,y]=find(BW==0);%找到黑色的點，并生成坐標（矩陣）
    temp=x;%這里是進行圖像坐標與屏幕坐標之間的變換
    x=y;x=(x-x1)./k;%切換到和圖片相符的坐標系，后續(xù)求出的擬合即是圖片中的表達式了
    y=(yy-temp);y=(y-y1)./k;
    if (t~=-1)
    clear x1;clear x2;clear y1;clear y2;
    % mu = [mean(x); std(x)];%手動實現(xiàn) centering and scaling：
    %x1 = (x - mu(1))/mu(2);%即以橫坐標的均值為中心、以橫坐標的標準差來做歸一化因子，將數(shù)據(jù)變得相對集中。
    if (t~=0)
        p1 = polyfit(x,y,t);%其中, x, y為已知數(shù)據(jù)點向量, 分別表示橫,縱坐標, t為擬合多項式的次數(shù)
        figure
        plot(x,y,'k.',x,polyval(p1,x),'r')
        legend('原始數(shù)據(jù)',[num2str(t) '次擬合數(shù)據(jù)'],2)%2表示圖例在右上角
        ftext=num2str(p1(t+1));
        for i=1:t
            ftext=[ftext '+' '(' num2str(p1(t-i+1)) '*x.^' num2str(i) ')'];
        end
        %ftext(end)=[];
        ftext=strcat('y=',ftext)
        p1=ftext;
        title(ftext);
    else
        p1 = polyfit(x,y,3);%其中, x, y為已知數(shù)據(jù)點向量, 分別表示橫,縱坐標, 3為擬合多項式的次數(shù)
        p2 = polyfit(x,y,5);
        p3 = polyfit(x,y,7);
        figure
        plot(x,y,'k.',x,polyval(p1,x),'r',x,polyval(p2,x),'g',x,polyval(p3,x),'b')
        legend('原始數(shù)據(jù)','3次擬合數(shù)據(jù)','5次擬合數(shù)據(jù)','7次擬合數(shù)據(jù)',2)
    end
    axis equal%使坐標軸單位長度一直，否則圖像會看起來扭曲
    end

ginputpro.m

    function [ii]=ginputpro(I)
    figure
    imshow(I);
    %end
    p=size(I,3);
    if p==3
    r=I(:,:,1);
    g=I(:,:,2);
    b=I(:,:,3);
    I1=rgb2gray(I);
    else
        I1=I;
    end
    hold on
    [x,y,c]=ginput(1);
    m(1)=x;
    n(1)=y;
    plot(x,y,'r');
    k=2;
    while(c==1)
        [x1,y1,c1]=ginput(1);
        if c1==1
        m(k)=x1;
        n(k)=y1;
        plot(x,y,'r');
        line([m(k-1) m(k)],[n(k-1) n(k)]);
        k=k+1;
        c=c1;
        else
            break
        end
    end
    line([m(k-1) m(1)],[n(k-1) n(1)]);
    BW = roipoly(I1,m,n); 
    if p==3
        r1=double(r).*double(BW);
        g1=double(g).*double(BW);
        b1=double(b).*double(BW);
        i1=cat(3,r1,g1,b1);
        figure
        imshow(mat2gray(i1));
        ii=i1;
    else 
        i2=double(I1).*double(BW);
        figure
        imshow(mat2gray(i2));ii=i2;
    end
    ii=im2uint8(mat2gray(ii));

houghdiy.m

    %-------------------------------------------------------------
    %通過霍夫變換尋找直線，并將直線部分去掉（即將像素點RGB值賦為255成為白色）
    %本函數(shù)輸入?yún)?shù)兩個，一個BW（圖像二值化后的矩陣）、一個輔助參數(shù)t（用于確定是否對被檢查到的直線范圍進行擴大處理）
    %-------------------------------------------------------------
    function [BW]=houghdiy(BW,t)
    I=~BW;
    [H,theta,rho] = hough(BW); 
    P = houghpeaks(H,2,'threshold',ceil(0.5*max(H(:)))); 
    lines = houghlines(BW,theta,rho,P,'FillGap',10,'MinLength',80);
    
    for k = 1: length(lines)
    
        xy = [lines(k).point1; lines(k).point2];
        if xy(1,1)==xy(2,1)
             I(xy(1,2):xy(2,2),(xy(1,1)-2):(xy(1,1)+2))=255;
             
        else
             syms kk bb x1 y1 x2 y2
             [kk,bb]=solve('kk*x1+bb=y1','kk*x2+bb=y2','kk','bb');
             kk=subs(kk,{x1,x2,y1,y2},{xy(1,1),xy(2,1),xy(1,2),xy(2,2)});
             bb=subs(bb,{x1,x2,y1,y2},{xy(1,1),xy(2,1),xy(1,2),xy(2,2)});
             kk=double(kk);
             bb=double(bb);
      
             if kk<=1 && kk>=-1
                xx=linspace(xy(1,1),xy(2,1),abs(xy(1,1)-xy(2,1))+1);
                yy=floor(kk*xx+bb);
             else
                yy=linspace(xy(1,2),xy(2,2),abs(xy(1,2)-xy(2,2))+1);
                xx=floor((yy-bb)/kk);
             end
             for i=1:size(xx,2)
                 I((yy(i)-2):(yy(i)+2),xx(i))=255;
                 if (t==1)%有的時候檢測到的直線部分不均勻，需要擴大處理范圍
                     I((yy(i)-1):(yy(i)+2),xx(i))=255;
                     I((yy(i)-2):(yy(i)+3),xx(i))=255;
                     I((yy(i)-1):(yy(i)+3),xx(i))=255;
                     I((yy(i)-3):(yy(i)+2),xx(i))=255;
                     I((yy(i)-2):(yy(i)+1),xx(i))=255;
                     I((yy(i)-3):(yy(i)+1),xx(i))=255;
                 end
             end
        end
    end
    figure,imshow(I);%顯示函數(shù)圖像
    BW=I;

quse.m

    %-----------------------------------------------------
    %im為輸入的圖像RGB數(shù)據(jù)，后面的三個數(shù)為要去除的顏色的RGB值
    %-----------------------------------------------------
    function im=quse(im,a,b,c)
    jd = [a b c]; % 藍色
    njd = [1 1 1]*255; % 白色
    tol = 1; % 閾值
    for i = 1 : size(im, 1)
        for j = 1 : size(im, 2);
            temp = double(im(i, j, :)/255);
            temp = temp(:).';
            if norm(temp-jd) < tol
                im(i, j, :) = njd;
                im(i+1, j, :) = njd;
                im(i, j+1, :) = njd;
                im(i+1, j+1, :) = njd;
                im(i-1, j, :) = njd;
                im(i, j-1, :) = njd;
                im(i-1, j-1, :) = njd;
            end
        end
    end
    imshow(im, []); 

每幅圖的主函數(shù)

Q01.m

    %-------------------------------------------
    %對于01：二值化->平滑處理->重繪圖形->平滑處理結果與原圖對比
    %-------------------------------------------
    close all
    clear
    pic='01.jpg';
    a=imread(pic);
    BW=im2bw(a,0.4);%二值化
    [nop,x,y]=findandpoly(BW,pic,-1);
    figure;plot(x,y);%默認打開句柄1，畫出圖像
    print(2,'-djpeg','01_01.jpg');
    title('圖形重繪')
    y(ceil(length(x)*rand(2,1))) = 3;%兩種平滑處理，并畫圖對比
    yy1 = smooth(x,y,0.1,'loess');
    %yy2 = smooth(x,y,0.1,'rloess');第二種這個效果不好，舍去
    [xx,ind] = sort(x);
    figure;plot(xx,yy1(ind),'r-')%只重繪圖形
    title('圖形平滑處理')
    print(3,'-djpeg','01_02.jpg');
    figure;plot(xx,y(ind),'b.',xx,yy1(ind),'y-')%包括與原二值圖對比
    title('圖形對比')
    print(4,'-djpeg','01_03.jpg');

Q02.m

    %--------------------------------
    %對于02：二值化->擬合對比->選取最優(yōu)擬合并輸出表達式
    %--------------------------------
    close all
    clear
    pic='02.jpg';
    p=imread(pic);%讀取圖像
    %I=im2bw(p,0.8);%直接二值化
    BW=~im2bw(p,0.8);%后續(xù)處理圖像（去掉直線）時是對I操作，即對原圖二值化的圖去直線
    figure, imshow(BW);%顯示二值化處理結果
    title('二值化');
    print(1,'-djpeg','02_01.jpg');
    BW=houghdiy(BW,0);%霍夫變換，去直線
    title('去直線')
    print(2,'-djpeg','02_02.jpg');
    findandpoly(BW,pic,0);%擬合并對比
    title('多項式擬合對比');
    print(3,'-djpeg','02_03.jpg');
    [p1,~,~]=findandpoly(BW,pic,5);%擬合
    title({p1 '最優(yōu)擬合'});
    print(4,'-djpeg','02_04.jpg');
    %輸出最后最優(yōu)擬合系數(shù)p1

Q03.m

    %-----------------------------------------
    %對于03：預處理不需要的部分->去除指定顏色紅色->去直線->二值化->擬合對比
    %-----------------------------------------
    close all
    clear
    pic='03.jpg';
    im=imread(pic);
    figure,imshow(im);
    for t=1:3%選三次，依次是Y和旁邊箭頭；原點0；X和旁邊箭頭；當然也可以增加次數(shù)手動去除A、B
    [x,y] = ginput(2); %在圖像上手動選取兩個頂點，從左上往右下選，矩形
    for i = y(1):y(2)
        for j = x(1):x(2)      
          im(i,j,1)=255;
          im(i,j,2)=255;
          im(i,j,3)=255;
        end
    end
    end
    %---------------------------------
    %以上為選區(qū)域，做成白色（等同于去掉顏色）
    %----------------------------------------
    %第一步將手動選擇區(qū)域處理為白色后，下面進行去除指定色彩（紅色）
    im=quse(im,1,0,0); % 紅色
    title('圖像預處理');
    print('-djpeg','03_01.jpg');
    I=im2bw(im,0.8);
    BW=~im2bw(im,0.8);
    figure, imshow(BW);
    title('二值化');
    print('-djpeg','03_02.jpg');
    BW=houghdiy(BW,0);%霍夫變換，去直線
    title('去直線')
    print('-djpeg','03_03.jpg');
    findandpoly(BW,pic,0);%再次選點(0,0)(0,1);擬合并對比
    title('多項式擬合對比');
    print('-djpeg','03_04.jpg');

Q04.m

    %————————————————————————————————————————
    %對于04:預處理不需要的部分->去除藍色->腐蝕圖像（盡量減少直線部分）
    %->去直線->再去除少數(shù)殘留部分->擬合對比->選取最優(yōu)擬合并輸出表達式
    %對于黑線步驟一致，只需改變需要去除的RGB值
    %————————————————————————————————————————
    close all
    clear
    pic='04.jpg';
    im=imread(pic);
    figure,imshow(im);
    for t=1:4%選三次，依次是Y和旁邊箭頭；原點0；X和旁邊箭頭；當然也可以增加次數(shù)手動去除A、B
    [x,y] = ginput(2); %在圖像上手動選取兩個頂點，從左上往右下選，矩形
    for i = round(y(1)):round(y(2))
        for j = round(x(1)):round(x(2))
          im(i,j,1)=255;
          im(i,j,2)=255;
          im(i,j,3)=255;
        end
    end
    end
    im=quse(im,0,0,1);%去藍色
    title('圖像預處理');
    I=~im2bw(im,0.8);
    se = strel('disk',1);%腐蝕圖像     
    I2 = imerode(I,se);
    figure,imshow(I2)
    title('二值化');
    print('-djpeg','04_01.jpg');
    BW=houghdiy(I2,0);%霍夫變換，去直線
    title('去直線')
    print('-djpeg','04_02.jpg');
    figure,imshow(BW);%顯示處理后的圖像
    [x,y] = ginput(2); %需要手動再去除一點東西
    for i = round(y(1)):round(y(2))
        for j = round(x(1)):round(x(2))      
          BW(i,j)=255;
        end
    end
    figure,imshow(BW);
    title('進一步去直線')
    print('-djpeg','04_03.jpg');
    findandpoly(BW,pic,0);%選點(0,0)(0,1);擬合并對比
    title('多項式擬合對比');
    print('-djpeg','04_04.jpg');
    [p1,~,~]=findandpoly(BW,pic,5);%指定擬合
    title({p1 '黑線最優(yōu)擬合'});
    print('-djpeg','04_05.jpg');
    %---------------以下為針對藍線處理-----------------
    im=imread(pic);
    im=quse(im,0,0,0);%去黑色
    title('圖像預處理');
    I=~im2bw(im,0.8);
    se = strel('disk',1);%腐蝕圖像     
    I2 = imerode(I,se);
    figure,imshow(I2)
    title('二值化');
    print('-djpeg','04_06.jpg');
    findandpoly(~I2,pic,0);%選點(0,0)(0,1);擬合并對比
    title('多項式擬合對比');
    print('-djpeg','04_07.jpg');
    [p1,~,~]=findandpoly(~I2,pic,5);%指定擬合
    title({p1 '藍線最優(yōu)擬合'});
    print('-djpeg','04_08.jpg');

Q05.m

    %-------------------------------------------------
    %對于05：提取指定顏色+坐標變換，然后擬合即可
    %這里以紅線為例，提取紅線更改輸入的RGB值組合即可
    %提取指定顏色->膨脹處理->二值化->擬合對比->選取最優(yōu)擬合并輸出表達式
    %----------------------------------------------
    close all
    clear
    pic='05.jpg';
    a=imread(pic);
    xx=size(a,1);%x1為圖像橫向長度
    yy=size(a,2);%y1為縱向長度
    imshow(a);
    [x,y] = ginput(1);%選兩個點即可，用于坐標變換
    x1=x;y1=yy-y;
    [x,y] = ginput(1);
    x2=x;y2=yy-y;
    k=(y2-y1);
    a=double(a);
    modeblue=zeros(size(a(:,:,1)));
    modeblue=(a(:,:,1)>125).*(a(:,:,2)<125).*(a(:,:,3)<125);%<<>藍色 ><<紅色 <><黃色
    I=~modeblue;
    figure,imshow(I)
    title('紅線提取');
    print('-djpeg','05_04.jpg');
    se = strel('disk',1);%膨脹圖像
    I2 = imdilate(~I,se);
    figure,imshow(I2);
    title('二值化');
    print('-djpeg','05_05.jpg');
    [p1,~,~]=findandpoly(~I2,pic,9);%指定擬合
    title({p1 '紅線最優(yōu)擬合'});
    print('-djpeg','05_06.jpg');

Q06.m

    %--------------------------------------
    %對于06：
    %預處理不需要的部分->去直線->擬合對比->選取最優(yōu)擬合并輸出表達式
    %--------------------------------------
    close all
    clear
    pic='06.jpg';
    im=imread(pic);
    figure,imshow(im);
    for t=1:4%選四次，依次是Y和箭頭；原點0；2pi;
    [x,y] = ginput(2); %在圖像上手動選取兩個頂點，從左上往右下選，矩形
    for i = round(y(1)):round(y(2))
        for j = round(x(1)):round(x(2))    
          im(i,j,1)=255;
          im(i,j,2)=255;
          im(i,j,3)=255;
        end
    end
    end
    BW=~im2bw(im,0.8);
    title('二值化');
    print('-djpeg','06_01.jpg');
    BW=houghdiy(BW,0);%霍夫變換，去直線
    title('去直線')
    print('-djpeg','06_02.jpg');
    findandpoly(BW,pic,0);%選點(0,0)(2*pi,0);擬合并對比
    title('多項式擬合對比');
    print('-djpeg','06_03.jpg');
    [p1,~,~]=findandpoly(BW,pic,9);%指定擬合
    title({p1 '最優(yōu)擬合'});
    print('-djpeg','06_04.jpg');

Q07.m

    %--------------------------------
    %對于07：提取目標曲線->二值化->指定次數(shù)擬合
    %--------------------------------
    close all
    clear
    pic='07.jpg';
    for kkk=1:7
    kk=num2str(kkk);
    im=imread(pic);
    im=ginputpro(im);%多邊形選取范圍，并返回被選取的圖像
    title('選擇要提取的目標曲線區(qū)域');
    print('-djpeg',['07_' kk '_01.jpg']);
    for i = 1 : size(im, 1)%把黑色部分填白，便于后續(xù)二值化及擬合
        for j = 1 : size(im, 2);
            if(im(i, j)==0)
            im(i, j, :) = im(i, j, :)+255;
            end
        end
    end
    figure;imshow(im);
    title('提取的曲線');
    print('-djpeg',['07_' kk '_02.jpg']);
    im=im2bw(im,0.8);%二值化
    figure;imshow(im);
    title('二值化并準備擬合');
    print('-djpeg',['07_' kk '_03.jpg']);
    [p1,~,~]=findandpoly(im,pic,3);%每一次都要重新選點，并指定擬合
    title({p1 '指定為3次擬合'});
    print('-djpeg',['07_' kk '_04.jpg']);
    end

處理得到的圖片

01

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