1 從一副52張撲克牌中隨機(jī)抽兩種，顏色相等的概率

C(4,1)*C(13,2)/C(52,2)

2 54張牌，分成6份，每份9張牌，大小王在一起的概率

C(6,1)C(52,7)*(52-7)!/(9!)^5/
(54!/(9!)^6)

3 52張牌去掉大小王，分成26*2兩堆，從其中一堆取4張牌為4個(gè)a的概率

C(2,1)*C(48,22)/(52!/(26!)^2)

4 一枚硬幣，扔了一億次都是正面朝上，再扔一次反面朝上的概率是多少？

有理由相信硬幣兩面都是正面，，，，（貝葉斯）
50%（頻率學(xué)派）

5 有8個(gè)箱子，現(xiàn)在有一封信，這封信放在這8個(gè)箱子中（任意一個(gè)）的概率為4/5,不放的概率為1/5（比如忘記了）,現(xiàn)在我打開(kāi)1號(hào)箱子發(fā)現(xiàn)是空的，求下面7個(gè)箱子中含有這封信的概率為？

6 已知N枚真硬幣，M枚假硬幣（兩面都是國(guó)徽），R次重復(fù)采樣都是國(guó)徽，問(wèn)真硬幣的概率？

假設(shè)基本事件A為硬幣為真，則P(A)=n/(m+n),p(A_)則表示硬幣為假，p(A_)=m/(m+n),事件B表示R次取樣均為國(guó)徽，R次全為真的概率p(B|A)=(1/2)^R,R次全為假的概率p(B|A_)=1.則：p(B)=p(A)p(B|A)+p(A_)p(B|A_)
再由貝葉斯公式p(A|B)=p(B|A)*p(A)/p(B)既得。
P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(A)P(B|A)/P(B)
P(B)=P(A)P(B|A)+P(_A)P(B|A)

7 一對(duì)夫妻有2個(gè)孩子，求一個(gè)孩子是女孩的情況下，另一個(gè)孩子也是女孩的概率

image.png

8 有種癌癥，早期的治愈率為0.8，中期的治愈率為0.5，晚期的治愈率為0.2.若早期沒(méi)治好就會(huì)轉(zhuǎn)為中期，中期沒(méi)治好就會(huì)變成晚期?，F(xiàn)在有一個(gè)人被診斷為癌癥早期，然后被治愈了，問(wèn)他被誤診為癌癥的概率是多少？

9 某城市發(fā)生了一起汽車(chē)撞人逃跑事件，該城市只有兩種顏色的車(chē)，藍(lán)20%綠80%，事發(fā)時(shí)現(xiàn)場(chǎng)有一個(gè)目擊者，他指證是藍(lán)車(chē)，但是根據(jù)專(zhuān)家在現(xiàn)場(chǎng)分析，當(dāng)時(shí)那種條件能看正確的可能性是80%，那么，肇事的車(chē)是藍(lán)車(chē)的概率是多少？

已經(jīng)知道的條件就是這個(gè)人看到了，就是藍(lán)車(chē)。這個(gè)時(shí)候需要把看到藍(lán)色車(chē)當(dāng)做總體事件?？吹剿{(lán)色車(chē)的概率是：(85％×20％＋15%80%) ?？梢?jiàn)這個(gè)時(shí)候的總體事件不是1啦。
再分析下，其中真正是藍(lán)色車(chē)的情況：藍(lán)看成藍(lán)：15%80%
所以是藍(lán)色車(chē)的概率是：P=15%80%/(85％×20％＋15%80%)

10 100人坐飛機(jī)，第一個(gè)乘客在座位中隨便選一個(gè)坐下，第100人正確坐到自己坐位的概率是？

等價(jià)于這個(gè)描述：2-99號(hào)乘客登機(jī)后如果發(fā)現(xiàn)1號(hào)(瘋子)坐在本屬于自己的位子上，就會(huì)請(qǐng)瘋子離開(kāi)，然后瘋子再隨機(jī)找個(gè)空座。(就是平時(shí)大家在一票一座的交通工具上對(duì)號(hào)入座時(shí)的方式)這樣到100號(hào)登機(jī)時(shí)，2-99號(hào)都在自己座位上，1號(hào)瘋子在自己座位上和100號(hào)乘客座位上概率相同，所以是1/2。另外這個(gè)結(jié)果和總乘客數(shù)無(wú)關(guān)，可以由100推廣至任意k。

11 一個(gè)國(guó)家重男輕女，只要生了女孩就繼續(xù)生，直到生出男孩為止，問(wèn)這個(gè)國(guó)家的男女比例？

如果一年一生
第一年：男：1/2 女:1/2
第二年：男：1/2+(1/2)^2 女：1/2＋(1/2)^2
第三年：男：1/2+(1/2)^2+(1/2)3 女：1/2+(1/2)^2+(1/2)3
.......
所以一群人生出來(lái)的男女比例為1

12 有50個(gè)紅球，50個(gè)藍(lán)球，如何放入兩個(gè)盒子中使得拿到紅球的概率最大

兩個(gè)箱子概率是1/2，選中某個(gè)箱子后又有選擇的是不是紅球的概率，所以最大概率就是一個(gè)紅球放在一個(gè)箱子里，其余的99個(gè)球全放到另一個(gè)箱子。這樣概率=0.5+0.5*（49/99）約等于0.75，這樣為最大概率。

13 某個(gè)一直函數(shù)返回0/1，0的概率為p，寫(xiě)一函數(shù)返回兩數(shù)概率相等。

public int g(){ 
        while (true){
            int a = f();
            int b = f();
            if(a!=b){
                return a;
            }  
        } 
    }

14 給你一個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)是能得出1-5之間的隨機(jī)數(shù)的，概率相同。現(xiàn)在求1-7之間隨機(jī)函數(shù)

要生成一個(gè)1-7的隨機(jī)數(shù)，等可能概率。
首先，考慮第一個(gè)問(wèn)題：等可能概率。隨機(jī)數(shù)是等概率的事件，就是1，2，3，4，5，出現(xiàn)的概率應(yīng)該是相同的，而不是其中某一種概率大一點(diǎn)。
看這個(gè)公式 5（x-1）+x；（x是1-5的隨機(jī)數(shù)）
那么 5（x-1）會(huì)是等可能的0，5，10，15，20
x會(huì)是等可能的1，2，3，4，5；
那么這個(gè)值就是等可能的0-25。
然后，考慮第二個(gè)問(wèn)題：如何產(chǎn)生1-7？
產(chǎn)生1-7最直觀的方法就是：對(duì)7取模加一；
但是0-25對(duì)7取模最后結(jié)果0-6產(chǎn)生的概率不一樣；
很簡(jiǎn)單，如果大于21，再隨機(jī)一次就好了。

int random7() {
    int x = 5 * (random5() - 1) + random5() - 1;
    if (x > 20) return random7();  //曬選的過(guò)程  
    return x % 7 + 1;
}

15 X是一個(gè)以p的概率產(chǎn)生1,1-p的概率產(chǎn)生0的隨機(jī)變量，利用X等概率生成1-n的數(shù)

調(diào)用n次，每次出一個(gè)位，這樣每個(gè)的概率都是p*(1-p)^n

有個(gè)輸出0和1的BIASED RANDOM，它以概率p輸出1，以概率1-p輸出0，以此RANDOM函數(shù)為基礎(chǔ)，生成另一個(gè)RANDOM函數(shù)，該函數(shù)以1/2的概率輸出1，以1/2的概率輸出0

兩次調(diào)用該RANDOM函數(shù)，如果其概率為P(x)，調(diào)用2次
P(1) = p P(0) = 1-p
P'(1) =p P'(0) = 1-p
概率如下：
11 pp 10 p(1-p)
01 (1-p)p 00 (1-p)(1-p)

int random_0_1()  
{  
    int i = RANDOM();  
    int j = RANDOM();  
    int result;  
  
    while (true)  
    {  
        if (i == 0 && j == 1)  
        {  
            result = 0;  
            break;  
        }  
        else if (i == 1 && j == 0)  
        {  
            result = 1;  
            break;  
        }  
        else  
            continue;  
    }  
  
    return result;  
}  

16 一個(gè)硬幣，你如何獲得2/3的概率。

17 怎么計(jì)算圓周率π的值(蒙特卡洛采樣)

在一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形內(nèi)一均勻概率隨機(jī)投點(diǎn)，該點(diǎn)落在此正方形的內(nèi)切圓中的概率即為內(nèi)切圓與正方形的面積比值，即：Pi * (a / 2)^2 */a^2 = Pi / 4

%總的實(shí)驗(yàn)次數(shù)
n = input('請(qǐng)輸入n:');
%落在圓中點(diǎn)的次數(shù)
m = 0;
%使用的圓的半徑
a = 2;
%循環(huán)實(shí)驗(yàn)
for i = 1:n
    x = rand * a / 2;
    y = rand * a / 2;
    if (x^2 + y^2 <= (a/2)^2)
        m = m + 1;
    end
end
%顯示結(jié)果
fprintf('當(dāng)總實(shí)驗(yàn)次數(shù)n = %d時(shí)計(jì)算出來(lái)的圓周率:Pi = %d\n',n, 4 * m / n);

18 網(wǎng)游中有個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽中各星座的概率為10/200，20/200，。。。120/200.如何實(shí)現(xiàn)？

19 給一個(gè)概率分布均勻的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，給一串float型的數(shù)，希望通過(guò)這個(gè)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器實(shí)現(xiàn)對(duì)這串?dāng)?shù)進(jìn)行隨機(jī)采樣，要求是如果其中的某個(gè)數(shù)值越大，那么它被采樣到的概率也越大

sigmoid函數(shù)

20 隨機(jī)數(shù)生成算法，一個(gè)float數(shù)組相同元素的和除以整個(gè)數(shù)組的和做為抽取該元素的概率，實(shí)現(xiàn)按這種概率隨機(jī)抽取數(shù)組中的元素的算法。

21一本無(wú)數(shù)個(gè)字的書(shū)從前往后讀，某個(gè)時(shí)間點(diǎn)突然暫停并返回之前讀過(guò)的某個(gè)字，要求每個(gè)字返回的概率是一樣的。

22 一個(gè)有n*n個(gè)方格的棋盤(pán)，在里面放m個(gè)地雷，如何放保證在每個(gè)方格上放雷的概率相等。

23 一根棍子折三段能組成三角形的概率

設(shè)長(zhǎng)L的棍子任意折成3段的長(zhǎng)度分別是x,y和z=L-(x+y)
三段能構(gòu)成三角形,則
x+y＞z, 即 x +y>(L-x-y), x +y>L/2
y+z＞x, 即 y +(L-x-y)>x, x＜L/2
z+x＞y, 即 (L-x-y)+x>y, y＜L/2
所求概率等于x+y=L/2、x=L/2、y=L/2三條直線(xiàn)所包圍圖形的面積除以直線(xiàn)(x+y)=L與x軸、y軸所包圍圖形的面積（圖略）。
故長(zhǎng)L的棍子任意折成3段，此3段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率是是
（L/2L/21/2）÷（LL1/2）=L^2/8÷(L2/2)=1/4

24 一個(gè)圓上三個(gè)點(diǎn)形成鈍角的概率是多少？假如兩個(gè)點(diǎn)和圓心形成的圓心角已經(jīng)是直角，那么第三個(gè)和這兩個(gè)點(diǎn)形成鈍角的概率是多少？

只要三個(gè)點(diǎn)在半圓弧范圍以?xún)?nèi),就構(gòu)成鈍角三角形,而不在半圓弧范圍以?xún)?nèi),就構(gòu)不成鈍角三角形,
所以構(gòu)成鈍角三角形的概率是1/2
已經(jīng)是直角時(shí)1/4

25 X，Y獨(dú)立均服從（0,1）上的均勻分布，P{X^2+Y2≤1}等于

畫(huà)出圖，是1/4圓面積，所以等于1/4*pi

26 一個(gè)圓，在圓上隨機(jī)取3個(gè)點(diǎn)，這3個(gè)點(diǎn)組成銳角三角形的概率。

對(duì)于這三個(gè)點(diǎn),容易知道,當(dāng)A、B、C三點(diǎn)都在同一個(gè)半圓內(nèi)時(shí),三角形ABC必然是直角或鈍角三角形,只有當(dāng)三點(diǎn)不在同一個(gè)半圓內(nèi),才可以組成銳角三角形，則題目轉(zhuǎn)化為“在圓周上任取三個(gè)不同的點(diǎn),求它們不處在同一半圓內(nèi)的概率”其概率值為 1/2*1/2=1/4

27 一個(gè)袋子里有100個(gè)黑球和100個(gè)白球，每次隨機(jī)拿出兩個(gè)球丟掉，如果丟掉的是不同顏色的球，則從其他地方補(bǔ)充一個(gè)黑球到袋子里，如果顏色相同，則補(bǔ)充一個(gè)白球到袋子里。問(wèn)：最后一個(gè)球是黑球和白球的概率分別為多大？

使用(黑球個(gè)數(shù), 白球個(gè)數(shù))來(lái)表示桶中黑球和白球的個(gè)數(shù)變動(dòng)，正數(shù)表示增加，負(fù)數(shù)表示減少，根據(jù)規(guī)則找規(guī)律：
1、如果每次從桶里面拿出兩個(gè)白球，則應(yīng)放入一個(gè)黑球：(0, -2) + (1, 0) = (1, -2)；
2、如果每次從桶里面拿出兩個(gè)黑球，則應(yīng)放入一個(gè)黑球：(-2, 0) + (1, 0) = (-1, 0)；
3、如果每次從桶里面拿出一個(gè)白球和一個(gè)黑球，則應(yīng)放入一個(gè)白球：(-1, -1) + (0, 1) = (-1, 0)；
從以上各種情況可以看出以下規(guī)律：
1）每次都會(huì)減少一個(gè)球，那么最后的結(jié)果肯定是桶內(nèi)只剩一個(gè)球，要么是白球，要么是黑球；
2）每次拿球后，白球的數(shù)目要么不變，要么兩個(gè)兩個(gè)地減少；
所以從上面的分析可以得知，最后不可能只剩下一個(gè)白球，那么必然就只能是黑球了。

28 扔骰子，最多扔兩次，第一次扔完可以自行決定要不要扔第二次，去最后一次扔色子的結(jié)果為準(zhǔn)，求：盡可能得到最大點(diǎn)數(shù)的數(shù)學(xué)期望

兩人輪流扔硬幣，扔出正面獲勝，求：先扔者獲勝的概率

設(shè)甲先拋。設(shè)甲勝率為x。則第一次甲拋了反面后，乙勝率為x，從而甲勝率+乙勝率=x+0.5x=1，從而x=2/3。

a b c 分別循環(huán)投擲硬幣，直到正面出現(xiàn)勝利，求a b c獲勝的概率

P(B) = 1/2*P(A); P(C) = 1/4 * P(A); P(A) + P(B) + P(C) = 1;
得P(A) = 4/7, P(B) = 2/7, P(C) = 1/7

硬幣正反概率是1/2,一直拋硬幣,直到連續(xù)兩次正面停止，問(wèn)期望次數(shù)

假設(shè)期望次數(shù)是E，我們開(kāi)始扔，有如下幾種情況：
? 扔到的是反面，那么就要重新仍，所以是0.5(1 + E)
? 扔到的是正面，再扔一次又反面了，則是0.25(2 + E)
? 扔到兩次，都是正面，結(jié)束，則是0.252
所以遞歸來(lái)看E = 0.5(1 + E) + 0.25(2 + E) + 0.252，解得E = 6

29 某大公司有這么一個(gè)規(guī)定：只要有一個(gè)員工過(guò)生日，當(dāng)天所有員工全部放假一天。但在其余時(shí)候，所有員工都沒(méi)有假期，必須正常上班。這個(gè)公司需要雇用多少員工，才能讓公司一年內(nèi)所有員工的總工作時(shí)間期望值最大？

E=n*(1-1/365)^n，求導(dǎo)，得n=365

30 不存儲(chǔ)數(shù)據(jù)流的前提下,從輸入流中獲得這 n 個(gè)等概率的隨機(jī)數(shù)據(jù) 。

31 某段公路上1小時(shí)有車(chē)通過(guò)的概率是0.96，半小時(shí)有車(chē)通過(guò)的概率是多少

1個(gè)小時(shí)內(nèi)有車(chē)通過(guò)的概率是0.96，那么個(gè)一個(gè)小時(shí)內(nèi)沒(méi)有車(chē)通過(guò)的概率是0.04。
題目故意給出1個(gè)小時(shí)的單位來(lái)迷惑我們。我們可以把單位分解為30分鐘：
就相當(dāng)于在連續(xù)的兩個(gè)30分鐘里面都沒(méi)有出現(xiàn)任何車(chē)輛
即x2 ＝ 0.04 解得 x＝0.2
那么半小時(shí)內(nèi)出現(xiàn)車(chē)輛的概率就是0.8.

32 一個(gè)公交站在1分鐘內(nèi)有車(chē)經(jīng)過(guò)概率是p，問(wèn)3分鐘內(nèi)有車(chē)經(jīng)過(guò)概率

1-(1-p)^3

33 8支球隊(duì)循環(huán)賽，前四名晉級(jí)。求晉級(jí)可能性

34 一個(gè)活動(dòng)，女生們手里都拿著長(zhǎng)短不一的玫瑰花，無(wú)序地排成一排，一個(gè)男生從隊(duì)頭走到隊(duì)尾，試圖拿到盡可能長(zhǎng)的玫瑰花，規(guī)則是:一旦他拿了一朵，后面就不能再拿了，如果錯(cuò)過(guò)了某朵花，就不能再回頭，問(wèn)最好的策略是什么?

?？驮}，1/e

35 三個(gè)范圍在0-1的數(shù)，和也在0-1的概率。

設(shè)所取的三個(gè)數(shù)分別為 x、y、z ,
則 0<x<1,0<y<1,0<z<1 ,
滿(mǎn)足上述條件的點(diǎn) P（x,y,z）構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為 1 的正方體,體積為 V=111=1 ,
滿(mǎn)足 x+y+z=1 的點(diǎn)是分別過(guò)（1,0,0）、（0,1,0）、（0,0,1）的平面,
而滿(mǎn)足 x+y+z<1 的點(diǎn)位于正方體內(nèi)、平面的下方,體積為 V1=1/31/2111=1/6 ,

概率1: 11個(gè)球，1個(gè)特殊球，兩個(gè)人無(wú)放回拿球，問(wèn)第一個(gè)人取到特殊球的概率

10!*6/11!

概率2: 11個(gè)球，1個(gè)特殊球，兩個(gè)人有放回拿球，問(wèn)先拿到這個(gè)特殊球的概率

拋硬幣，正面繼續(xù)拋，反面不拋。問(wèn)拋的次數(shù)的期望。

幾何分布,P=(1-p)^(x-1)p
E=求和xP(x)，幾何分布，期望為1/p=2

拋的硬幣直到連續(xù)出現(xiàn)兩次正面為止，平均要扔多少次

馬爾可夫鏈，可做圖求解遞歸方程

image.png

不停拋擲硬幣直至連續(xù)3次出現(xiàn)正面，此時(shí)拋硬幣的次數(shù)的期望是多少？

(1?p)(x+1)+p(1?p)(x+2)+p^2* (1?p)(x+3)+3*p^3=x
由 p=1/2 得，x=14。

均勻分布如何生成正態(tài)分布

box-muller 正態(tài)分布取正弦和余弦
https://blog.csdn.net/weixin_41793877/article/details/84700875

砝碼問(wèn)題：2個(gè)輕的砝碼，5個(gè)重的砝碼和一個(gè)天平，幾輪可以找到輕的砝碼？面試官說(shuō)是開(kāi)放性問(wèn)題，我當(dāng)時(shí)說(shuō)的是4輪，但我看到其他帖子里面有3輪算法，更簡(jiǎn)單，可以參考：

https://www.nowcoder.com/discuss/226713?type=post&order=create&pos=&page=1