2019-05-06

  • 最佳基帶傳輸
    • 若沒有干擾和噪聲，判決就不會出錯
    • 欲采樣點符號間干擾最小，應將x(t),X(f)設(shè)計滿足奈奎斯特準則
    • 欲采樣點噪聲盡量低（信噪比盡量高），應將接收濾波器g_{R}(t)設(shè)計為匹配濾波器
      • 進入信道的發(fā)送信號為s(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}a_ng_T(t-nT_s)
      • 接收濾波器輸出信號為y(t)= \sum_{n = -\infty}^{\infty}a_nx(t-nT_s)+\gamma(t)
        • x(t)是總體沖激響應，\gamma(t)是高斯噪聲
      • 對于目標符號a_k，我們在t = t_0+kT_s時刻采樣
        • y_k = y(t_0+kT_s) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}a_nx_{k-n}+\gamma(kT_s) = x_0a_k+\sum_{n\neq k}a_nx_{k-n}+\gamma_k
      • 然后將y_k與門限進行比較
  • 默認假設(shè)信道是理想無失真，發(fā)送及接收濾波器的沖激響應g_T(t)，g_R(t)是實信號。簡單起見假設(shè)t_0 = 0
    • 為了ISI最小，可將X(f)設(shè)計為升余弦滾降特性
      • G_T(f)G_R(f) = X(f) = X_{rcos}(f)
    • 為了噪聲最?。ǖ葍r于信噪比最大），可將接收濾波器設(shè)計為匹配濾波器
      • g_R(t) = g_T(-t),G_R(f) = G_T(-f) =G_T^*(f)
  • 鑒于X_{rcos}(f)是實、偶、正函數(shù)，綜合以上可得設(shè)計為
    • G_R(f) = G_T(f) = \sqrt{X_{rcos}(f)}
  • 稱此設(shè)計下的g_T(t)為根號升余弦頻譜脈沖、根升余弦脈沖、根升余弦脈沖成形、根升余弦頻譜成形。
  • 因果化實現(xiàn)
    • 前頁給出的濾波器沖激響應g_T(t),g_R(t)不滿足因果性。實際實現(xiàn)時需要延遲截短，使采樣時刻從0變成t_0。
      • g_R(t) = g_T(t_0-t) = g_T(t)是將標準的根升余弦脈沖截取[-\frac{t_0}{2},\frac{t_0}{2}]部分，然后延遲\frac{t_0}{2}使之成為一個持續(xù)時間為t_0的因果濾波器
      • 對應的頻域關(guān)系：G_T(f)G_R(f) = X(f) = X_{rcos}(f)e^{-j2\pi ft_0}
      • G_R(f) = G_T^*(f)e^{-j2\pi ft_0} = G_T(f) = \sqrt{X_{rcos}(f)}e^{-j\pi ft_0}
  • 假設(shè)\{ a_n \}是零均值不相關(guān)序列，a_n的方差為1，則發(fā)送信號的功率譜密度為P_s(f) = \frac{1}{T_s}|G_T(f)|^2 = \frac{1}{T_s}X_{rcos}(f)
  • 無論滾降因子\alpha的值是多少，功率譜密度的面積（功率）是\frac{1}{T_s}，符號能量是E_s = 1
  • 接收端的平均誤比特率
    • 考慮雙極性PAM信號，假設(shè)\{a_n\}的元素以獨立等概方式取值于\pm \sqrt{E_b}，其方差是E_b。s(t)的平均比特能量等于E_b
    • 對于目標符號a_k,采樣得到的判決量是y_k = a_k+\gamma_k，根升余弦設(shè)計下ISI = 0,x_0 = 1
  • 接收濾波器輸出是零均值平穩(wěn)高斯過程，噪聲\gamma_k的方差為
    • \sigma^2 = \frac{N_0}{2}E_{g_R} = \frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}|G_R(f)|^2df = \frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}X_{rcos}(f)df = \frac{N_0}{2}
    • 根據(jù)對稱性，最佳判決門限是V_T = 0
    • 發(fā)送a_k = +\sqrt{E_b}時，y_k = \sqrt{E_b}+\gamma_k<0則判決出錯,其概率等于\gamma_k<-\sqrt{E_b}的概率，也等于\gamma_k>\sqrt{E_b}的概率，為\frac{1}{2}erfc[\frac{\sqrt{E_b}}{\sqrt{2\sigma^2}}] = \frac{1}{2}erfc[\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}]
    • 發(fā)送a_k = -\sqrt{E_b},其出錯概率是\frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}})
    • 平均誤比特率是P_b = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}})
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