參考課程P4：
https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744?p=4
一、正交矩陣和轉(zhuǎn)置矩陣
1.對(duì)稱矩陣
對(duì)稱矩陣（Symmetric Matrix）是指元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等的矩陣，例如：
可以看到，對(duì)稱矩陣的轉(zhuǎn)置等于其自身
2.對(duì)角矩陣
對(duì)角矩陣（Diagonal Matrix）是指除主對(duì)角線之外其他元素都為0的矩陣，例如：
3.三角矩陣
三角矩陣（Triangular Matrix）分為上三角矩陣和下三角矩陣。
上三角矩陣（Upper Triangular Matrix）是指主對(duì)角線以下元素全為0的矩陣，如：
下三角矩陣（Lower Triangular Matrix）是指主對(duì)角線以上元素全為0的矩陣，如：
可以看到，對(duì)角矩陣一定是三角矩陣。
4.參考正交矩陣
正交矩陣是指其轉(zhuǎn)置等于逆的矩陣
正交：可以簡(jiǎn)單理解成就是垂直.
對(duì)于正交矩陣，組成它的列向量 構(gòu)成了一個(gè)空間的基，稱之為：規(guī)范正交基。 而我們知道：對(duì)于一個(gè)空間而言，我們是可以找到很多個(gè)不同的基來(lái)表示的(參考相似矩陣的基底變換)，那對(duì)于一個(gè)空間：假設(shè)已知的基底是非規(guī)范正交基，有什么辦法獲取到它的規(guī)范正交基呢？【施密特正交法】。
以三維空間為例，我們希望正交矩陣是：
但是實(shí)際上他很可能是下邊這個(gè)樣子：
亦即以z軸為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了45°， 此時(shí)向量a,b,c依然相互正交，但是其列向量并不都在標(biāo)準(zhǔn)軸上.而對(duì)角化的結(jié)果是一個(gè)對(duì)角矩陣，本質(zhì)就是把矩陣列向量都放到標(biāo)準(zhǔn)軸上。 那么很顯然：正交矩陣一定可以做到！
參考為何正交矩陣一定可以對(duì)角化?
正交矩陣是一個(gè)在三維坐標(biāo)系中歪著擺的立方體。對(duì)角化就是把這個(gè)立方體擺正來(lái)（也就是讓它某一個(gè)頂點(diǎn)放在原點(diǎn)上，同時(shí)這個(gè)頂點(diǎn)的三條邊正好對(duì)在三維坐標(biāo)系的xyz三條軸上）。所以這個(gè)定理的意思就是，任何歪著擺的立方體勞資都能把它擺正了。這定理還是蠻直觀的。
所以結(jié)論就是：凡是正交矩陣一定可以對(duì)角化！
5.轉(zhuǎn)置矩陣
將矩陣的行列互換得到的新矩陣稱為轉(zhuǎn)置矩陣，轉(zhuǎn)置矩陣的行列式不變。
轉(zhuǎn)置矩陣：
如果N階方陣和它的轉(zhuǎn)置相等，則稱為對(duì)稱矩陣。
轉(zhuǎn)置矩陣，在3Blue1Brown的線代視頻中沒有深入介紹，在此直接關(guān)注如何應(yīng)用即可。
5.在P4的開頭，閆大佬提到了正交矩陣和轉(zhuǎn)置矩陣
寫出旋轉(zhuǎn)θ和旋轉(zhuǎn)負(fù)θ的矩陣，會(huì)發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)負(fù)θ，等于旋轉(zhuǎn)θ的轉(zhuǎn)置，這是正交矩陣的性質(zhì)。通常求逆矩陣是很費(fèi)性能的，而求轉(zhuǎn)置矩陣則非常簡(jiǎn)單。
二、3d transformations
1.平移和縮放比較簡(jiǎn)單
2.旋轉(zhuǎn)，這里視頻講的有點(diǎn)快，我描述一下自己的理解
這里使用右手法則，以繞X軸旋轉(zhuǎn)為例，仍然使用3Blue1Brown的思路，去看i帽、j帽、k帽的基坐標(biāo)變換：
顯然，繞x旋轉(zhuǎn)時(shí)，x方向的基向量不變，即豎著的(1,0,0)，然后就是y和z軸：
顯然，y變成了(0,cos α,sin α)
顯然，z變成了(0,-sinα,cosα)
所以，繞x軸旋轉(zhuǎn)的線性變換就是：
繞y軸時(shí)，我們可以看成有一個(gè)xz軸的平面在旋轉(zhuǎn)，如圖，x軸旋轉(zhuǎn)到其左上方的紅軸，變成(cos α,0,-sin a),z變成了(sin α,0, cos α)
繞z旋轉(zhuǎn)同理，就不畫了。
3.羅德里格旋轉(zhuǎn)公式（Rodrigues' rotation formula）
視頻很快就開始講這個(gè)公式，然后我沒有聽懂，還是自己搜索一下吧。首先是百度百科，給了這個(gè)公式的定義：
向量旋轉(zhuǎn)公式最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家本杰明·奧倫德·羅德里格(Benjamin Olinde Rodrigues(1795–1851))導(dǎo)出，后來(lái)被應(yīng)用在很多領(lǐng)域。設(shè)v是一個(gè)三維空間向量，k是旋轉(zhuǎn)軸的單位向量，則v在右手螺旋定則意義下繞旋轉(zhuǎn)軸k旋轉(zhuǎn)角度θ得到的向量可以由三個(gè)不共面的向量v, k和k×v構(gòu)成的標(biāo)架表示：
image.png
然后B站視頻有個(gè)公式推導(dǎo)，有了前面的線代基礎(chǔ)，可以直接看P2：https://www.bilibili.com/video/BV1yW41177Y8?p=2
視頻首先講了繞Z軸的旋轉(zhuǎn)，此時(shí)定義k向量與Z軸平行，V向量與X軸平行，然后旋轉(zhuǎn)了θ，跑到了v rot位置。如圖的公式很容易理解，后半部分的kv點(diǎn)乘其實(shí)就是右手法則(四根手指指向K之后向V彎曲，拇指的方向正是Y)下的Y坐標(biāo)軸，再乘以sina θ，就是旋轉(zhuǎn)后的向量在Y軸的投影即Y坐標(biāo)值。
這里作者的思路就是，先把v分解成向上的向量和向左的向量。向左的向量經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后，再加上向上的向量，就會(huì)組合成目標(biāo)向量v rot。
這里上圖打問(wèn)號(hào)的部分，應(yīng)該是作者搞錯(cuò)了。其實(shí)垂直分量的投影很容易理解，用v去點(diǎn)乘k，得到的是一個(gè)標(biāo)量，即在k方向的投影向量的長(zhǎng)度，為了表示這個(gè)投影向量，還需要指明它的方向，再乘以一個(gè)k單位向量即可：
然后就是求v垂直分量，這里用了向量的加法，等號(hào)兩邊換一下，就是v-v垂直分量。
然后就是用上面那個(gè)公式，利用v垂直分量，求出相應(yīng)的v垂直分量root。（v垂直分量root，這里不方便打出公式，用文字描述有點(diǎn)繁瑣了，就是上圖中最后一行的寫法……）
現(xiàn)在把上述結(jié)果合并后，提取公因式化簡(jiǎn)即可得到：
然后就是證明如上圖中方框內(nèi)的兩個(gè)東西是相等的，根據(jù)右手定則能看出方向是一致的。而大小呢，截圖中漏寫的，已經(jīng)在紅圈處補(bǔ)出來(lái)，它的值正是上面式子中的|v| sin<k,v>。
在P3中，作者推導(dǎo)了矩陣表示，即vrot = R v，那個(gè)矩陣R是什么？這里沒細(xì)看，直接放結(jié)論了：
