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1. 線性組合

接下來(lái)我們要換一個(gè)角度來(lái)看向量。以二維平面直角坐標(biāo)系為例，i, j 分別是沿 2 個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位向量。那么坐標(biāo)平面上的其他向量，例如 [ 3 ?2 ] 與 i, j 是什么關(guān)系呢？

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將向量 i 沿水平向右的方向拉升 3 倍，向量 j 沿豎直向下的方向拉升 2 倍

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這樣，我們可以將向量 [ 3 ?2 ] 看成是將向量 i, j 縮放后再相加的結(jié)果

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向量 i, j 稱(chēng)為基向量，其他向量都可以通過(guò)對(duì)基向量縮放再相加的方法構(gòu)造出來(lái)?；蛄靠s放的倍數(shù)對(duì)應(yīng)向量的各個(gè)分量，即向量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)。

我們可以通過(guò)選擇不同的基向量來(lái)構(gòu)造新的坐標(biāo)系。例如，我們可以選擇指向右上方的向量 v 和指向右下方的向量 w 作為基向量。

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對(duì)這組新的基向量進(jìn)行縮放再相加，同樣也能構(gòu)造出其他的向量

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一組基向量就對(duì)應(yīng)一個(gè)坐標(biāo)系，選擇不同的基向量就構(gòu)造出了不同的坐標(biāo)系。同一個(gè)向量，在不同的坐標(biāo)系下（即采用不同的基向量），其坐標(biāo)值也要相應(yīng)地發(fā)生變化。后面，咪博士會(huì)進(jìn)一步談到具體如何變換。

上面，反復(fù)出現(xiàn) “將向量進(jìn)行縮放再相加” 的操作，這樣的操作，我們稱(chēng)之為 線性組合

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2. 向量張成的空間

在二維平面中，選取 2 個(gè)向量，然后考慮它們所有可能的線性組合，我們會(huì)得到什么呢？這取決于我們選擇的 2 個(gè)向量。

通常情況下，我們會(huì)得到整個(gè)平面

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如果選擇的 2 個(gè)向量，恰好共線的話，那它們的線性組合就被局限在一條過(guò)原點(diǎn)的直線上了

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最極端的情況是，選擇的 2 個(gè)向量都是零向量，那么它們的線性組合就只可能是零向量了

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向量 v, w 的 全部線性組合 所構(gòu)成的向量集合稱(chēng)為向量 v, w 所 張成的空間

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還記得前面的教程中，咪博士談到數(shù)乘和加法是向量 2 個(gè)最基礎(chǔ)的運(yùn)算嗎？當(dāng)我們談?wù)撓蛄克鶑埑傻目臻g時(shí)，我們實(shí)際上就是在問(wèn)，僅僅通過(guò)數(shù)乘和加法 2 種基礎(chǔ)運(yùn)算，你能獲得的所有可能的向量集合是什么。

在線性代數(shù)中，向量的起點(diǎn)始終固定在原點(diǎn)的位置，因此 向量的終點(diǎn)就唯一確定了向量本身。這樣，我們便可以將向量看成是空間中的點(diǎn)（即向量的終點(diǎn)）。

3. 線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)

將線性組合的想法擴(kuò)展到 3 維空間中。想象 3 個(gè) 3 維向量，它們所張成的空間會(huì)是什么樣的呢？這取決于我們選擇的 3 個(gè)向量。

a. 通常情況下，我們會(huì)得到整個(gè) 3 維空間
b. 當(dāng)選擇的 3 個(gè)向量共面時(shí)，它們所張成的空間是一個(gè)過(guò)原點(diǎn)的平面
c. 當(dāng) 3 個(gè)向量共線時(shí)，它們所張成的空間是一條過(guò)原點(diǎn)的直線
d. 當(dāng) 3 個(gè)向量都是零向量時(shí)，它們所張成的空間只包含零向量

顯然，在考慮向量所張成的空間時(shí)，有些向量是多余的。例如，情況 b ，確定一個(gè)平面只需要 2 個(gè)向量，而我們卻用了 3 個(gè)向量，這意味著，有 1 個(gè)向量是多余的；情況 c，確定一條直線只需要 1 個(gè)向量就夠了，而我們用了 3 個(gè)向量，其中有 2 個(gè)向量是多余的。數(shù)學(xué)上，我們用線性相關(guān)來(lái)描述這樣的現(xiàn)象。

當(dāng)我們說(shuō)幾個(gè)向量所構(gòu)成的向量組線性相關(guān)時(shí)，意思是向量組中的（任意）一個(gè)向量都可以用向量組中其他向量的線性組合來(lái)表示出來(lái)。換句話講，這個(gè)向量已經(jīng)落在其他向量所張成的空間中，它對(duì)整個(gè)向量組張成的空間是沒(méi)有貢獻(xiàn)的，把它從向量組中拿掉，并不會(huì)影響向量組所張成的空間。

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線性無(wú)關(guān)指的是，向量組中的（任意）一個(gè)向量無(wú)法用向量組中其他向量的線性組合表示出來(lái)。換句話說(shuō)，向量組中的每一個(gè)向量都為向量組所張成的空間貢獻(xiàn)了一個(gè)維度，每一個(gè)向量都缺一不可，少了任何一個(gè)向量，都會(huì)改變向量組所張成的空間。