參考文獻(xiàn)：http://www.cnblogs.com/cyjb/p/digitOccurrenceInRegion.html

一、1的數(shù)目

編程之美上給出的規(guī)律：

1. 如果第i位（自右至左，從1開(kāi)始標(biāo)號(hào)）上的數(shù)字為0，則第i位可能出現(xiàn)1的次數(shù)由更高位決定（若沒(méi)有高位，視高位為0），等于更高位數(shù)字X當(dāng)前位數(shù)的權(quán)重10^i-1。

2. 如果第i位上的數(shù)字為1，則第i位上可能出現(xiàn)1的次數(shù)不僅受更高位影響，還受低位影響（若沒(méi)有低位，視低位為0），等于更高位數(shù)字X當(dāng)前位數(shù)的權(quán)重10^i-1+（低位數(shù)字+1）。

3. 如果第i位上的數(shù)字大于1，則第i位上可能出現(xiàn)1的次數(shù)僅由更高位決定（若沒(méi)有高位，視高位為0），等于（更高位數(shù)字+1）X當(dāng)前位數(shù)的權(quán)重10^i-1。

二、X的數(shù)目

這里的 X∈[1,9]，因?yàn)?X=0 不符合下列規(guī)律，需要單獨(dú)計(jì)算。

首先要知道以下的規(guī)律：

• 從 1 至 10，在它們的個(gè)位數(shù)中，任意的 X 都出現(xiàn)了 1 次。
• 從 1 至 100，在它們的十位數(shù)中，任意的 X 都出現(xiàn)了 10 次。
• 從 1 至 1000，在它們的百位數(shù)中，任意的 X 都出現(xiàn)了 100 次。

依此類(lèi)推，從 1 至 10ⁱ，在它們的左數(shù)第二位（右數(shù)第 i 位）中，任意的 X 都出現(xiàn)了 10^i?1次。

這個(gè)規(guī)律很容易驗(yàn)證，這里不再多做說(shuō)明。

接下來(lái)以 n=2593,X=5 為例來(lái)解釋如何得到數(shù)學(xué)公式。從 1 至 2593 中，數(shù)字 5 總計(jì)出現(xiàn)了 813 次，其中有 259 次出現(xiàn)在個(gè)位，260 次出現(xiàn)在十位，294 次出現(xiàn)在百位，0 次出現(xiàn)在千位。

現(xiàn)在依次分析這些數(shù)據(jù)，首先是個(gè)位。從 1 至 2590 中，包含了 259 個(gè) 10，因此任意的 X 都出現(xiàn)了 259 次。最后剩余的三個(gè)數(shù) 2591, 2592 和 2593，因?yàn)樗鼈冏畲蟮膫€(gè)位數(shù)字 3 < X，因此不會(huì)包含任何 5。（也可以這么看，3<X，則個(gè)位上可能出現(xiàn)的X的次數(shù)僅由更高位決定，等于更高位數(shù)字（259）X10^1-1=259）。

然后是十位。從 1 至 2500 中，包含了 25 個(gè) 100，因此任意的 X 都出現(xiàn)了 25×10=250 次。剩下的數(shù)字是從 2501 至 2593，它們最大的十位數(shù)字 9 > X，因此會(huì)包含全部 10 個(gè) 5。最后總計(jì) 250 + 10 = 260。（也可以這么看，9>X，則十位上可能出現(xiàn)的X的次數(shù)僅由更高位決定，等于更高位數(shù)字（25+1）X10^2-1=260）。

接下來(lái)是百位。從 1 至 2000 中，包含了 2 個(gè) 1000，因此任意的 X 都出現(xiàn)了 2×100=200 次。剩下的數(shù)字是從 2001 至 2593，它們最大的百位數(shù)字 5 == X，這時(shí)情況就略微復(fù)雜，它們的百位肯定是包含 5 的，但不會(huì)包含全部 100 個(gè)。如果把百位是 5 的數(shù)字列出來(lái)，是從 2500 至 2593，數(shù)字的個(gè)數(shù)與百位和十位數(shù)字相關(guān)，是 93+1 = 94。最后總計(jì) 200 + 94 = 294。（也可以這么看，5==X，則百位上可能出現(xiàn)X的次數(shù)不僅受更高位影響，還受低位影響，等于更高位數(shù)字（2）X10^3-1+（93+1）=294）。

最后是千位?，F(xiàn)在已經(jīng)沒(méi)有更高位，因此直接看最大的千位數(shù)字 2 < X，所以不會(huì)包含任何 5。（也可以這么看，2<X，則千位上可能出現(xiàn)的X的次數(shù)僅由更高位決定，等于更高位數(shù)字（0）X10^4-1=0）。

到此為止，已經(jīng)計(jì)算出全部數(shù)字 5 的出現(xiàn)次數(shù)。

總結(jié)一下以上的算法，可以看到，當(dāng)計(jì)算右數(shù)第 i 位包含的 X 的個(gè)數(shù)時(shí)：

1. 取第 i 位左邊（高位）的數(shù)字，乘以 10^i?1，得到基礎(chǔ)值 a。
2. 取第 i 位數(shù)字，計(jì)算修正值：
   1. 如果大于 X，則結(jié)果為 a+10^i?1。
   2. 如果小于 X，則結(jié)果為 a。
   3. 如果等 X，則取第 i 位右邊（低位）數(shù)字，設(shè)為 b，最后結(jié)果為 a+b+1。

相應(yīng)的代碼非常簡(jiǎn)單，效率也非常高，時(shí)間復(fù)雜度只有 O(log₁₀n)。

三、上代碼

    /**
     * @param n
     * @param x [1,9]
     * @return
     */
    public int NumberOfXBetween1AndN_Solution(int n,int x) {
        if(n<0||x<1||x>9)
            return 0;
        int high,low,curr,tmp,i = 1;
        high = n;
        int total = 0;
        while(high!=0){
            high = n/(int)Math.pow(10, i);// 獲取第i位的高位
            tmp = n%(int)Math.pow(10, i);
            curr = tmp/(int)Math.pow(10, i-1);// 獲取第i位
            low = tmp%(int)Math.pow(10, i-1);// 獲取第i位的低位
            if(curr==x){
                total+= high*(int)Math.pow(10, i-1)+low+1;
            }else if(curr<x){
                total+=high*(int)Math.pow(10, i-1);
            }else{
                total+=(high+1)*(int)Math.pow(10, i-1);
            }
            i++;
        }
        return total;        
    }