上一部分我們簡單介紹了Lingo，這一部分我們繼續(xù)介紹Lingo中的語法，運算符，以及應用實例。

3.模型的數(shù)據(jù)(Data)部分和初始化(Init)部分

在處理模型的數(shù)據(jù)時，需要為集指派一些成員并在Lingo求解模型之前為集的某些屬性指定值。
為此，Lingo為用戶提供了兩個可選部分：輸入集成員和數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)部分(Data Section)和為決策變量設置初始值的初始化部分(Init Section)。

3.1.模型的數(shù)據(jù)部分(Data Section)

3.1.1.簡介

數(shù)據(jù)部分以關鍵字“data:”開始，以關鍵字“enddata”結束。在這里，可以指定集成員、集的屬性。其語法如下：

object_list = value_list;

對象列（object_list）包含要指定值的屬性名、要設置集成員的集名，用逗號或空格隔開。一個對象列中至多有一個集名，而屬性名可以有任意多。如果對象列中有多個屬性名，那么它們的類型必須一致。如果對象列中有一個集名，那么對象列中所有的屬性的類型就是這個集。
數(shù)值列（value_list）包含要分配給對象列中的對象的值，用逗號或空格隔開。注意屬性值的個數(shù)必須等于集成員的個數(shù)。看下面的例子。

例3.1

sets:
  set1/A,B,C/: X,Y;
endsets
data:
  X=1,2,3;
  Y=4,5,6;
enddata

在集set1中定義了兩個屬性X和Y。X的三個值是1、2和3，Y的三個值是4、5和6。也可采用如下例子中的復合數(shù)據(jù)聲明（data statement）實現(xiàn)同樣的功能。

例3.2 $\quad$ 復合數(shù)據(jù)聲明

sets:
  set1/A,B,C/: X,Y;
endsets
data:
  X,Y=1 4
      2 5
      3 6;
enddata

這時的數(shù)據(jù)分配和例3.1是等效的，像這種將X,Y看為一組數(shù)，一組一組構建數(shù)據(jù)的方式稱為復合數(shù)據(jù)聲明。

3.1.2.參數(shù)

在數(shù)據(jù)部分也可以制定一些標量變量，稱之為參數(shù)。

例3.3

data:
  interest_rate = .085;
enddata

3.1.3.實時數(shù)據(jù)處理

在某些情況，對于模型中的某些數(shù)據(jù)并不是定值。譬如模型中有一個通貨膨脹率的參數(shù)，我們想在2%至6%范圍內(nèi)，對不同的值求解模型，來觀察模型的結果對通貨膨脹的依賴有多么敏感。我們把這種情況稱為實時數(shù)據(jù)處理。LINGO可方便地做到這件事。
在本該放數(shù)的地方輸入一個問號（?）。

例3.4 實時數(shù)據(jù)處理

data:
  interest_rate,inflation_rate = .085  ?;
enddata

彈出交互框

這樣系統(tǒng)就會彈出一個交互框來讓你隨意調(diào)整數(shù)值。

3.1.4.指定屬性為一個值

可以在數(shù)據(jù)聲明的右邊輸入一個值來把所有的成員的該屬性指定為一個值?？聪旅娴睦印?/p>

例3.5 指定屬性為同一個值

sets:
  days /MO,TU,WE,TH,FR,SA,SU/:needs;
endsets
data:
  needs = 20;
enddata

LINGO將用20指定days集的所有成員的needs屬性。對于多個屬性的情形，見下例。

例3.6 指定多個屬性為同一個值

sets:
  days /MO,TU,WE,TH,FR,SA,SU/:needs,cost;
endsets
data:
  needs cost = 20 100;
enddata

3.1.5 數(shù)據(jù)部分的未知數(shù)值

有時只想為一個集的部分成員的某個屬性指定值，而讓其余成員的該屬性保持未知，以便讓LINGO去求出它們的最優(yōu)值。在數(shù)據(jù)聲明中輸入兩個相連的逗號表示該位置對應的集成員的屬性值未知。兩個逗號間可以有空格。

例3.7 數(shù)據(jù)部分的未知數(shù)值

sets:
  years/1..5/: capacity;
endsets
data:
  capacity = ,34,20,,;
enddata

這代表屬性capacity的第2個值和第3個值分別為34和20，其余的未知。

3.2.模型的初始化部分(Init Section)

初始部分是LINGO提供的另一個可選部分。在初始部分中，可以輸入初始聲明（initialization statement），和數(shù)據(jù)部分中的數(shù)據(jù)聲明相同。對實際問題的建模時，初始部分并不起到描述模型的作用，在初始部分輸入的值僅被LINGO求解器當作初始點來用，并且僅僅對非線性模型有用。和數(shù)據(jù)部分指定變量的值不同，LINGO求解器可以自由改變初始部分初始化的變量的值。
一個初始部分以“init:”開始，以“endinit”結束。初始部分的初始聲明規(guī)則和數(shù)據(jù)部分的數(shù)據(jù)聲明規(guī)則相同。也就是說，我們可以在聲明的左邊同時初始化多個集屬性，可以把集屬性初始化為一個值，可以用問號實現(xiàn)實時數(shù)據(jù)處理，還可以用逗號指定未知數(shù)值。

例3.8

init:
  X, Y = 0, .1;
endinit
Y=@log(X);
X^2+Y^2<=1;

好的初始點會減少模型的求解時間。

4.Lingo函數(shù)

Lingo共有9種類型的函數(shù)：
1.基本運算符：算數(shù)運算符，邏輯運算符和關系運算符
2.數(shù)學函數(shù)：三角函數(shù)和常規(guī)的數(shù)學函數(shù)。
3.金融函數(shù)：Lingo提供的兩種金融函數(shù)。
4.概率函數(shù)：Lingo提供了大量的概率函數(shù)。
5.變量界定函數(shù)：這類函數(shù)用來界定變量的取值范圍。
6.集操作函數(shù)：對集的操作提供幫助。
7.集循環(huán)函數(shù)：遍歷集的元素，執(zhí)行一定的操作的函數(shù)。
8.數(shù)據(jù)輸入輸出函數(shù)：這類函數(shù)允許模型和外部數(shù)據(jù)相聯(lián)系，進行數(shù)據(jù)的輸入輸出。
9.輔助函數(shù)：各種雜類函數(shù)。

接下來將逐一介紹：

4.1.基本運算符

4.1.1.算術運算符

Lingo提供了5種二元運算符：

^ ：乘方
*：乘
/：除
+：加
-：減

提供了一種一元運算符——取反運算符。
優(yōu)先級從高到低分別為：取反，乘方，乘除，加減。
可用圓括號"()"來調(diào)整優(yōu)先級。

4.1.2.邏輯運算符

在 Lingo 中，邏輯運算符主要用于集循環(huán)函數(shù)的條件表達式中，來控制在函數(shù)中哪些集成員被包含，哪些被排斥。在創(chuàng)建稀疏集時用在成員資格過濾器中。

Lingo具有9中邏輯運算符：
#not#：否定該操作數(shù)的邏輯值，＃not＃是一個一元運算符
#eq#：若兩個運算數(shù)相等，則為true；否則為flase
#ne#：若兩個運算符不相等，則為true；否則為flase
#gt#：若左邊的運算符嚴格大于右邊的運算符，則為true；否則為flase
#ge#：若左邊的運算符大于或等于右邊的運算符，則為true；否則為flase
#lt#：若左邊的運算符嚴格小于右邊的運算符，則為true；否則為flase
#le#：若左邊的運算符小于或等于右邊的運算符，則為true；否則為flase
#and#：僅當兩個參數(shù)都為true時，結果為true；否則為flase
#or#：僅當兩個參數(shù)都為false時，結果為false；否則為true

運算符優(yōu)先級從低到高為：
#not#
#eq#,#ne#,#gt#,#ge#,#lt#,#le#
#and#
#or#

4.1.3.關系運算符

在LINGO中，關系運算符主要是被用在模型中，來指定一個表達式的左邊是否等于、小于等于、或者大于等于右邊，形成模型的一個約束條件。關系運算符與邏輯運算符#eq#、#le#、#ge#截然不同，前者是模型中該關系運算符所指定關系的為真描述，而后者僅僅判斷一個該關系是否被滿足：滿足為真，不滿足為假。

LINGO有三種關系運算符：“=”、“<=”和“>=”。LINGO中還能用“<”表示小于等于關系，“>”表示大于等于關系。LINGO并不支持嚴格小于和嚴格大于關系運算符。然而，如果需要嚴格小于和嚴格大于關系，比如讓A嚴格小于B：
$A<B$
那么可以把它變成如下的小于等于表達式：
$A+\varepsilon<=B$

給出以上三類操作符的優(yōu)先級：(從高到低）
#not# 取反
^
* /
+ -
#eq#,#ne#,#gt#,#ge#,#lt#,#le#
#and#,#or#

4.2.數(shù)學函數(shù)

Lingo提供了大量標準數(shù)學函數(shù)。

@abs(x)：返回x的絕對值。
@sin(x)：返回x的正弦值，x采用弧度制。
@cos(x)：返回x的余弦值。
@tan(x)：返回x的正切值。
@exp(x)：返回常數(shù)e的x次方。
@log(x)：返回x的自然對數(shù)。
@lgm(x)：返回x的gamma函數(shù)的自然對數(shù)。
@mod(x,y)：返回x除以y的余數(shù)。
@sign(x)：如果x<0返回-1；否則，返回1。
@floor(x)：返回x的整數(shù)部分。當x>=0時，返回不超過x的最大整數(shù)；當x<0時，返回不低于x的最大整數(shù)。
@smax(x1,x2,…,xn)：返回x1，x2，…，xn中的最大值。
@smin(x1,x2,…,xn)：返回x1，x2，…，xn中的最小值。

4.3.金融函數(shù)

目前Lingo提供了兩個金融函數(shù)。

1.@fpa(I,n)
返回如下情形的凈現(xiàn)值：單位時段利率為I，連續(xù)n個時段支付，每個時段支付單位費用。若每個時段支付x單位的費用，則凈現(xiàn)值可用x乘以@fpa(I,n)算得。@fpa的計算公式為:
$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1+I)^{k}}=\frac{1-(1+I)^{-n}}{I}$

例4.1 （貸款買房問題）
Lingo代碼如下：貸款金額50000元，貸款年利率5.31%，采取分期付款方式（每年年末還固定金額，直至還清）。問擬貸款10年，每年需償還多少元？
LINGO代碼如下：

50000 = x * @fpa(.0531,10);

答案是x=6573.069元。

2.@fpl(I,n)
返回如下情形的凈現(xiàn)值：單位時段利率為I，第n個時段支付單位費用。@fpl(I,n)的計算公式為
$(1+I)^{-n}$
細心的讀者可以發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)間的關系：
@fpa(I,n)= $\sum_{k=1}^{n}$ @fpl(I,n)

4.4.概率函數(shù)

1．@pbn(p,n,x)
二項分布的累積分布函數(shù)。當n和（或）x不是整數(shù)時，用線性插值法進行計算。
2．@pcx(n,x)
自由度為n的χ2分布的累積分布函數(shù)。
3．@peb(a,x)
當?shù)竭_負荷為a，服務系統(tǒng)有x個服務器且允許無窮排隊時的Erlang繁忙概率。
4．@pel(a,x)
當?shù)竭_負荷為a，服務系統(tǒng)有x個服務器且不允許排隊時的Erlang繁忙概率。
5．@pfd(n,d,x)
自由度為n和d的F分布的累積分布函數(shù)。
6．@pfs(a,x,c)
當負荷上限為a，顧客數(shù)為c，平行服務器數(shù)量為x時，有限源的Poisson服務系統(tǒng)的等待或返修顧客數(shù)的期望值。a是顧客數(shù)乘以平均服務時間，再除以平均返修時間。當c和（或）x不是整數(shù)時，采用線性插值進行計算。
7．@phg(pop,g,n,x)
超幾何（Hypergeometric）分布的累積分布函數(shù)。pop表示產(chǎn)品總數(shù)，g是正品數(shù)。從所有產(chǎn)品中任意取出n（n≤pop）件。pop，g，n和x都可以是非整數(shù)，這時采用線性插值進行計算。
8．@ppl(a,x)
Poisson分布的線性損失函數(shù)，即返回max(0,z-x)的期望值，其中隨機變量z服從均值為a的Poisson分布。
9．@pps(a,x)
均值為a的Poisson分布的累積分布函數(shù)。當x不是整數(shù)時，采用線性插值進行計算。
10．@psl(x)
單位正態(tài)線性損失函數(shù)，即返回max(0,z-x)的期望值，其中隨機變量z服從標準正態(tài)分布。
11．@psn(x)
標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。
12．@ptd(n,x)
自由度為n的t分布的累積分布函數(shù)。
13．@qrand(seed)
產(chǎn)生服從(0,1)區(qū)間的擬隨機數(shù)。@qrand只允許在模型的數(shù)據(jù)部分使用，它將用擬隨機數(shù)填滿集屬性。通常，聲明一個m×n的二維表，m表示運行實驗的次數(shù)，n表示每次實驗所需的隨機數(shù)的個數(shù)。在行內(nèi)，隨機數(shù)是獨立分布的；在行間，隨機數(shù)是非常均勻的。這些隨機數(shù)是用“分層取樣”的方法產(chǎn)生的。
14．@rand(seed)
返回0和1間的偽隨機數(shù)，依賴于指定的種子。典型用法是U(I+1)=@rand(U(I))。注意如果seed不變，那么產(chǎn)生的隨機數(shù)也不變。

4.5.變量界定函數(shù)

變量界定函數(shù)實現(xiàn)對變量取值范圍的附加限制，共4種：
@bin(x)：限制x為0或1；
@bnd(L,x,U)：限制L≤x≤U；
@free(x)：取消對變量x的默認下界為0的限制，即x可以取任意實數(shù)；
@gin(x)：限制x為整數(shù)。
在默認情況下，LINGO規(guī)定變量是非負的，也就是說下界為0，上界為+∞。@free取消了默認的下界為0的限制，使變量也可以取負值。@bnd用于設定一個變量的上下界,它也可以取消默認下界為0的約束。

4.6.集操作函數(shù)

LINGO提供了幾個函數(shù)幫助處理集。
1．@in(set_name,primitive_index_1 [,primitive_index_2,…])
如果元素在指定集中，返回1；否則返回0。

例4.2 全集為I，B是I的一個子集，C是B的補集。

sets:
  I/x1..x4/:x;
  B(I)/x2/:y;
  C(I)|#not#@in(B,&1):z;
endsets

2．@index([set_name,] primitive_set_element)
該函數(shù)返回在集set_name中原始集成員primitive_set_element的索引。如果set_name被忽略，那么LINGO將返回與primitive_set_element匹配的第一個原始集成員的索引。如果找不到，則產(chǎn)生一個錯誤。

例4.3 如何確定集成員(B,Y)屬于派生集S3

sets:
  S1/A B C/;
  S2/X Y Z/;
  S3(S1,S2)/A X, A Z, B Y, C X/;
endsets
X=@in(S3,@index(S1,B),@index(S2,Y));

3．@wrap(index,limit) (取余）
該函數(shù)返回j=index-k*limit，其中k是一個整數(shù)，取適當值保證j落在區(qū)間[1，limit]內(nèi)。該函數(shù)在循環(huán)、多階段計劃編制中特別有用。
4．@size(set_name)
該函數(shù)返回集set_name的成員個數(shù)。在模型中明確給出集大小時最好使用該函數(shù)。它的使用使模型更加數(shù)據(jù)中立，集大小改變時也更易維護。

4.7.集循環(huán)函數(shù)

集循環(huán)函數(shù)遍歷整個集進行操作。其語法為
@function(setname[(set_index_list)[|conditional_qualifier]]:
expression_list);

@function相應于下面羅列的四個集循環(huán)函數(shù)之一；
setname是要遍歷的集；
set_ index_list是集索引列表；
conditional_qualifier是用來限制集循環(huán)函數(shù)的范圍。

當集循環(huán)函數(shù)遍歷集的每個成員時，LINGO都要對conditional_qualifier進行評價，若結果為真，則對該成員執(zhí)行@function操作，否則跳過，繼續(xù)執(zhí)行下一次循環(huán)。expression_list是被應用到每個集成員的表達式列表，當用的是@for函數(shù)時，expression_list可以包含多個表達式，其間用逗號隔開。這些表達式將被作為約束加到模型中。當使用其余的三個集循環(huán)函數(shù)時，expression_list只能有一個表達式。如果省略set_index_list，那么在expression_list中引用的所有屬性的類型都是setname集。

1．@for
該函數(shù)用來產(chǎn)生對集成員的約束?；诮ＵZ言的標量需要顯式輸入每個約束，不過@for函數(shù)允許只輸入一個約束，然后LINGO自動產(chǎn)生每個集成員的約束。

例4.4 產(chǎn)生序列{1,4,9,16,25}

model:
sets:
  number/1..5/:x;
endsets
  @for(number(I): x(I)=I^2);
end

2．@sum
該函數(shù)返回遍歷指定的集成員的一個表達式的和。

例4.5 求向量[5，1，3，4，6，10]前5個數(shù)的和。

model:
data:
  N=6;
enddata
sets:
  number/1..N/:x;
endsets
data:
  x = 5 1 3 4 6 10;
enddata
  s=@sum(number(I) | I #le# 5: x);
end

3．@min和@max
返回指定的集成員的一個表達式的最小值或最大值。
例4.6 求向量[5，1，3，4，6，10]前5個數(shù)的最小值，后3個數(shù)的最大值。

model:
data:
  N=6;
enddata
sets:
  number/1..N/:x;
endsets
data:
  x = 5 1 3 4 6 10;
enddata
  minv=@min(number(I) | I #le# 5: x);
  maxv=@max(number(I) | I #ge# N-2: x);
end

4.8.輸入和輸出函數(shù)

輸入和輸出函數(shù)可以把模型和外部數(shù)據(jù)比如文本文件、數(shù)據(jù)庫和電子表格等連接起來。
1．@file函數(shù)
該函數(shù)用從外部文件中輸入數(shù)據(jù)，可以放在模型中任何地方。該函數(shù)的語法格式為@file(’filename’)。這里filename是文件名，可以采用相對路徑和絕對路徑兩種表示方式。
2．@text函數(shù)
該函數(shù)被用在數(shù)據(jù)部分用來把解輸出至文本文件中。它可以輸出集成員和集屬性值。其語法為
@text([’filename’])
這里filename是文件名，可以采用相對路徑和絕對路徑兩種表示方式。如果忽略filename，那么數(shù)據(jù)就被輸出到標準輸出設備（大多數(shù)情形都是屏幕）。@text函數(shù)僅能出現(xiàn)在模型數(shù)據(jù)部分的一條語句的左邊，右邊是集名（用來輸出該集的所有成員名）或集屬性名（用來輸出該集屬性的值）。
我們把用接口函數(shù)產(chǎn)生輸出的數(shù)據(jù)聲明稱為輸出操作。輸出操作僅當求解器求解完模型后才執(zhí)行，執(zhí)行次序取決于其在模型中出現(xiàn)的先后。
3．@ole函數(shù)
@OLE是從EXCEL中引入或輸出數(shù)據(jù)的接口函數(shù)，它是基于傳輸?shù)腛LE技術。OLE傳輸直接在內(nèi)存中傳輸數(shù)據(jù)，并不借助于中間文件。當使用@OLE時，LINGO先裝載EXCEL，再通知EXCEL裝載指定的電子數(shù)據(jù)表，最后從電子數(shù)據(jù)表中獲得Ranges。為了使用OLE函數(shù)，必須有EXCEL5及其以上版本。OLE函數(shù)可在數(shù)據(jù)部分和初始部分引入數(shù)據(jù)。
@OLE可以同時讀集成員和集屬性，集成員最好用文本格式，集屬性最好用數(shù)值格式。原始集每個集成員需要一個單元(cell)，而對于n元的派生集每個集成員需要n個單元，這里第一行的n個單元對應派生集的第一個集成員，第二行的n個單元對應派生集的第二個集成員，依此類推。
@OLE只能讀一維或二維的Ranges（在單個的EXCEL工作表(sheet)中），但不能讀間斷的或三維的Ranges。Ranges是自左而右、自上而下來讀。

4.9 輔助函數(shù)

1.@if(logical_condition,true_result,false_result)
@if函數(shù)將評價一個邏輯表達式logical_condition，如果為真，返回true_ result，否則返回false_result。

以上即是Lingo軟件中涉及的基本函數(shù)，下一部分將用綜合實例來全面實踐用Lingo解決規(guī)劃問題。

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【數(shù)學建模算法】(番外3)解決規(guī)劃問題的神器——Lingo（中）

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3.模型的數(shù)據(jù)(Data)部分和初始化(Init)部分

3.1.模型的數(shù)據(jù)部分(Data Section)

3.1.1.簡介

3.1.2.參數(shù)

3.1.3.實時數(shù)據(jù)處理

3.1.4.指定屬性為一個值

3.1.5 數(shù)據(jù)部分的未知數(shù)值

3.2.模型的初始化部分(Init Section)

4.Lingo函數(shù)

4.1.基本運算符

4.1.1.算術運算符

4.1.2.邏輯運算符

4.1.3.關系運算符

4.2.數(shù)學函數(shù)

4.3.金融函數(shù)

4.4.概率函數(shù)

4.5.變量界定函數(shù)

4.6.集操作函數(shù)

4.7.集循環(huán)函數(shù)

4.8.輸入和輸出函數(shù)

4.9 輔助函數(shù)

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3.模型的數(shù)據(jù)(Data)部分和初始化(Init)部分

3.1.模型的數(shù)據(jù)部分(Data Section)

3.1.1.簡介

3.1.2.參數(shù)

3.1.3.實時數(shù)據(jù)處理

3.1.4.指定屬性為一個值

3.1.5 數(shù)據(jù)部分的未知數(shù)值

3.2.模型的初始化部分(Init Section)

4.Lingo函數(shù)

4.1.基本運算符

4.1.1.算術運算符

4.1.2.邏輯運算符

4.1.3.關系運算符

4.2.數(shù)學函數(shù)

4.3.金融函數(shù)

4.4.概率函數(shù)

4.5.變量界定函數(shù)

4.6.集操作函數(shù)

4.7.集循環(huán)函數(shù)

4.8.輸入和輸出函數(shù)

4.9 輔助函數(shù)

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