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定理3.1 $a_1\le a_2\le ...\le a_n,b_1\le b_2\le ...\le b_n$ ，數(shù)列 $\{c_n\}$ 是 $\{b_n\}$ 的一個(gè)排列，那么：
$a_1b_n+a_2b_{n-1}+...+a_nb_1\le a_1c_1+a_2c_2+...+a_nc_n\le a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\tag{3.1}$
題3.2 $a,b,c\in \mathbb R$ ,證明：
$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$
證法1 不妨設(shè) $a<b<c$ ，根據(jù)排序不等式：
$a^2+b^2+c^2 = aa+bb+cc\ge ab+bc+ca$ $\blacksquare$

證法2 根據(jù)柯西不等式，有
$a^2+b^2+c^2 \ge (a+b+c)^2/3$ 所以
$3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ 移項(xiàng)化簡(jiǎn)得 $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$
$\blacksquare$

題3.3 $a,b,c\ge 0$ ,證明：
$a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a$
證明不妨設(shè) $a\le b\le c$ ，因 $a,b,c\ge 0$ ，所以
$a^2\le b^2\le c^2$ 根據(jù)排序不等式：
$a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a$ $\blacksquare$

題3.4 $a,b,c>0$ ,證明：
$\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}\ge \frac{a}b+\fracc+\frac{c}a$
證明不妨設(shè) $a\ge b\ge c$ ，因 $a,b,c> 0$ ，所以
$bc\le ca \le ab,1/a^2 \le 1/b^2 \le 1/c^2$
根據(jù)排序不等式有 $\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}\ge \frac{a}b+\fracc+\frac{c}a$ $\blacksquare$

題3.5 已知 $a+b+c=3$ ，求 $a+ab+abc$ 的最大值。
解利用均值不等式： $(a+c)(1+b)\le \left(\frac{a+b+c+1}{2}\right)^2=4$ $\tag{3.5.1}$
再者，因 $a+b\le 3$ ，所以 $ab-b=b(a-1)\le1$ ，即 $ab\le b+1$
所以： $abc\le c+bc \Rightarrow a+ab+abc\\ \le a+c+ab+bc\\ \Rightarrow a+ab+abc\le (a+c)(1+b)$
結(jié)合(3.51)得： $a+ab+abc\le 4$ ，當(dāng) $a=2,b=1,c=0$ 時(shí)等號(hào)成立，所以： $\min{(a+ab+abc)}=4$
$\blacksquare$

題3.6 已知
$x_1+x_2+...+x_n=3,n\ge 3$ 求
$x_1+x_1x_2+x_1x_2x_3+...+x_1x_2x_3...x_n$ 的最大值。
解設(shè) $f_n(x_1,x_2,...,x_n)=x_1+x_1x_2+...+x_1x_2...x_n$ ，不妨設(shè)
$i<j\rightarrow x_i\le x_j$ 否則，為了令 $f_n$ 最大，在 $f_n$ 的變量表中調(diào)換 $x_i,x_j$ 的位置，此操作不會(huì)使 $f_n$ 更小。于是因 $n \ge 3$ 有 $x_n\le 1$ 。以下使用數(shù)學(xué)歸納法證明 $\forall n\ge 3,f_n\le 4$ ：
根據(jù) $題3.5$ 知 $n=3$ 時(shí)命題成立；
假設(shè) $n=k$ 時(shí)命題成立，于是：
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=x_k(1%2Bx_%7Bk%2B1%7D)%3Dx_k%2Bx_kx_%7Bk%2B1%7D%5Cle%20x_k%2Bx_%7Bk%2B1%7D" alt="x_k(1+x_{k+1})=x_k+x_kx_{k+1}\le x_k+x_{k+1}" mathimg="1">
所以 $x_1+x_2+....+x_{k-1}+x_k(1+x_{k+1})\le 3$
$f_n=f_{k+1}=x_1+x_1x_2+...+x_1x_2...x_k+x_1x_2...x_kx_{k+1}\\ =x_1+x_1x_2+...+x_1x_2...x_k(1+x_{k+1})=f_{k}(x_1,x_2,x_3,...,x_k(1+x_{k+1})\le 4$
根據(jù)歸納假設(shè)，命題成立。當(dāng) $x_1=2,x_2=1,x_3=x_4=...=x_n=0$ ，等號(hào)成立。所以f_n的最大值為 $4$ 。
$\blacksquare$