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好久沒寫博客了，寫一波。此為umich eecs504的第二課筆記。

圖像分類

完美圖像

完美圖像（perfect image）是連續(xù)圖形，完美圖像由一個物理過程所產(chǎn)生。

將這個物理過程用I所表示，他們代表了從平面上的點到一個數(shù)字的映射，即

$I: R^2\rightarrow R$

Remark: $0<I(\cdot)<\infty$

Remark: 抽象后我們可以將定義域看作超平面上的點，其維度可以超過2 。如此，哦我們可以將它們定義成一個映射：

$I: R^k \rightarrow R$

由所經(jīng)受的物理過程所決定

Remark: 完美圖像僅在無法取樣的時候存在抽象化。

例子：朗伯模型（Lambertian Image）

朗伯模型是一個經(jīng)典的漫反射模型。朗博模型中光的反射量由入射角的余弦角所決定。

考慮一個點 $x \in R^3$ 在朗伯表面上，其對此表面的法向量 $n(x)$ 。入射角的方向是 $l(x)$ 。此時反射可以寫作：

$R(x) = \rho l(x)^Tn(x)$

其中 $\rho$ 是一個常量，用于描述材料屬性。

仍和的反射光與我們的圖像平面相交時，都會引起我們的完美圖像

$I(u) = P(R(x))$

其中P投影函數(shù)，I(u)是投影的能量

問題：朗伯模型的缺點是什么？

朗伯模型難以對光滑的表面，比如金屬，進(jìn)行建模。此時我們需要Phong模型。

lambertian.png

數(shù)字圖像

雖然我們不能直接獲得完美圖像，但是我們可以通過電子設(shè)備將其轉(zhuǎn)換之。如此做，我們可以通過量化和取樣完美圖像來獲得數(shù)字圖像。

定義：數(shù)字圖像是取樣和量化完美圖像所獲得。它們展現(xiàn)出從點到非負(fù)自然像素（non-negative natural pixels)到自然數(shù)的映射

$N_0 ^2\rightarrow N_0$

Remark：數(shù)字化是一個投影( $R^2 \rightarrow R$ )

Remark：“取樣”指的是坐標(biāo)值的數(shù)字化，“量化”指的是（能量，亮度）強(qiáng)度值的數(shù)字化。

Remark：取樣密度由傳感器的物理限制所約束

Remark：量化深度由特殊的硬件所決定。8bit的量化廣泛應(yīng)用于數(shù)字化的圖像。

Remark：在特定的數(shù)字化情境下（可能指Bayer pattern）完美圖像被用于梳理感興趣的信號。

數(shù)字圖像建模

對數(shù)字圖像的數(shù)學(xué)解釋

一個從像素到數(shù)字的離散函數(shù)
作為對于原來完美圖像的一個近似，我們對一個函數(shù)的值域和定義域進(jìn)行了一個泛化，并且用函數(shù)的形式呈現(xiàn)出來。（We generalize domain and range of this function to once again consider a continuous image, albeit an approximate one to our original perfect image，這句話有點離譜）

定義：一個離散圖像是一個數(shù)字圖像的自然數(shù)的數(shù)字型概述。它獲取數(shù)字圖像中的整數(shù)像素位置并且將其映射到整數(shù)像素值上。 $I:Z^3\rightarrow Z$

Remark：它可以表示更高維的圖像，比如 $Z^3$ （視頻），并且值域維度也可以更高，比如 $Z^ 3$ （三色圖像）。

Remark：我們將一個圖像的值于的整數(shù)的子集稱作 $\Lambda$

例子：Potts 模型

Potts模型是一個離散圖像模型。Potts模型最初在統(tǒng)機(jī)物理學(xué)中作為雙態(tài)化模型（two-state Ising model）的推廣而派生出來的。它假定了一個分段常熟圖像信號。對于大小為 $n\times n$ 的圖像，我們將其寫作能量泛函（energy functional）。

$E(I)=\beta \Sigma^{n-1}_{s=1}\Sigma^{n}_{t=1}(1[I(s, t)\neq(s+1, t)]+\beta \Sigma^{n-1}_{s=1}\Sigma^{n}_{t=1}(1[I(s, t)\neq(s, t+1)])$

$\beta$ 是一個建模常數(shù)，最初與所研究的材料的物理性質(zhì)有關(guān)，我們忽略了區(qū)域上的邊界條件 $1$ 是指示器函數(shù)。根據(jù)Potts模型的定義，我們發(fā)現(xiàn)模型的能量正比于橫縱像素的變化。當(dāng)圖像 $I$ 由大的恒定取與，他將具有相應(yīng)的能量。

定義：一個連續(xù)圖像可以將離散圖像泛化（generalize）為定義域與值域。

Remark：對于離散圖像的相似的定義域和值于的泛化可以用于連續(xù)模型

Remark：離散與連續(xù)混合的表現(xiàn)是非常常見的

Remark：插值。通過數(shù)字化過程，最初的完美圖像已經(jīng)被量化到整數(shù)坐標(biāo)了。為了研究連續(xù)圖形并分析，我們需要不斷地對非整數(shù)坐標(biāo)進(jìn)行插值。

圖像操作

在圖像的函數(shù)解釋下，我們可以用數(shù)學(xué)的角度去處理圖像。

在圖像的函數(shù)解釋下，圖像的三個主要操作：

空間范圍操作（Spatial Range Operation）如計算圖像所有強(qiáng)度值的和
范圍映射操作（Range map operation）比如計算圖的差別
定義域操作或幾何變換比如平移和旋轉(zhuǎn)

空間范圍操作

空間范圍操作講一個區(qū)域內(nèi)所有信息集合起來，將一個圖像的區(qū)域定義成 $W\subseteq \Lambda \subseteq Z^2$ 。其中W代表一張圖像中的窗口（windows）。

定義：一個空間范圍操作 $f$ 是一個講一張圖映射到一個實數(shù)的函數(shù)

$f: W\times(Z^2\rightarrow Z)\rightarrow R / W \times I \rightarrow R$

其中 $I$ 為圖像本身。

Remark：我們使用縮寫 $I[W]$ 來表示定義域由 $W$ 所截取的新圖，這種新圖也叫子圖（sub-image），或者image patch。

Remark：我們可以講 $W$ 當(dāng)作一種函數(shù)，當(dāng) $W=\Lambda\rightarrow B^{\Lambda}$ 時，這種函數(shù)講像素映射到 $B=\{0, 1\}$ 。我們可以將mask應(yīng)用在圖像上。在空間范圍操作應(yīng)用之前，我們也可以基于窗口 $W$ 在函數(shù) $f$ 上實現(xiàn)特殊的定義域。

Remark：一個空間范圍操作是線性的當(dāng)

$f_W(\alpha_i I_i + \alpha_j I_j)=\alpha_i f_W(I_i)+\alpha_jf_W(I_j)$

$\alpha_i$ 與 $\alpha_j$ 是任意常標(biāo)量。

Remark：空間范圍操作可以在圖像領(lǐng)域中被組合去組成復(fù)雜的操作符。

范圍映射操作

范圍映射擦歐總作用于圖像值域，他們將單個操作作用域整個圖像域 $\Lambda$

定義：一個范圍映射操作 $g:(W\times I \rightarrow R)\times I \rightarrow J$ 對于圖像 $J$ 來說，是一個函數(shù) $f$ 作用域圖像定義域 $\Lambda$ 的每一個空間中，范圍映射操作會產(chǎn)生一個新的圖像。

圖像 $J$ $f: W \times I \rightarrow R$

procedure GENERIC_RANGE_MAP_OPERATOR:
foreach pixel s $\in \Lambda_J$ do

? let $W_s$ be the window into $\Lambda$ at centered at s

? $J(s)=f(I, W_s)$

? end for

end procedure

Remark：范圍映射操作的輸出集是實數(shù)集。實際操作上，它常被放寬到實數(shù)或者其他的范圍。

Remark：范圍映射操作通常被用于一個被稱作強(qiáng)度轉(zhuǎn)換（intensity transformations）的像素窗口。文獻(xiàn)中存在許多可能的強(qiáng)度變換 (very many possibly intensity transformations exist in the literature，不會翻譯)并且包括了操作符比如直方圖均衡化（histogram equalization），線性放大（linear scaling）或者log轉(zhuǎn)換等。

例子單像素范圍映射強(qiáng)度轉(zhuǎn)換。一個強(qiáng)度轉(zhuǎn)換的例子是對負(fù)圖像的轉(zhuǎn)換。每一個新像素的值是輸入值的負(fù)值。

$J(S)=-I(S)$

Remark：一個特殊的范圍映射例子是映射到二進(jìn)制像素而不是實數(shù)：

$g:(W\times I\rightarrow B)\times I \rightarrow B$

對于二進(jìn)制圖像 $B$ 。

例子二進(jìn)制函數(shù)的范圍映射

考研率一個二進(jìn)制閾值操作符 $f_b$ 。在一個確定的范圍對每一個像素窗口， $f_b$ 選擇像素值 $(\Gamma^-\le I[W]\le \Gamma^+)$ 。

$f_b(I[W];\Gamma^-,\Gamma^+)=\left\{ \begin{aligned} 1\quad & \Gamma^-\leq I[W]\leq\Gamma^+\\ 0\quad & otherwise \end{aligned} \right.$

或在更大的窗口中使用空間范圍操作符，比如：

$f_b(I，W;\Gamma^-,\Gamma^+)=\left\{ \begin{aligned} 1\quad & \Gamma^-\leq sum(I, W)\leq\Gamma^+\\ 0\quad & otherwise \end{aligned} \right.$

Remark：在一個范圍操作符中，空間范圍操作在一個大窗口 $W$ 將應(yīng)用相同的操作在這個圖的每一個區(qū)域內(nèi)。

Remark：一個特別重要的參數(shù)在一個空間操作符中的是核（kernel）。一個核 $\kappa$ 是一個與 $W$ 大小相同的矩陣。核的值都是實數(shù)， $\kappa\in\mathbb{R}^{|W|}$ 。在核操作中，核 $\kappa$ 與圖像窗口 $I[W]$ 的元素積操作被計算與累加起來。這個操作最容易被向量化的核 $\kappa$ 與圖像窗口 $I[W]$ 的點積所表示。向量化一個矩陣代表連接一個矩陣的所在列，并且將其連成一個長列向量。

當(dāng)核操作被應(yīng)用于整個圖像中的一個范圍映射的時候，我們可以將這個過程稱作離散卷積，并用符號 $\otimes$ 表示。我們?yōu)榱溯敵鰣D像位置 $J(s, t)$ 而寫下這個卷積。核的大小是 $2m+1\times 2m+1$ 因此一個窗口可以索引至 $s-m ...s+m$ 與 $t-n ... t+n$ 被寫作

$J(s, t) = \kappa \otimes I[W]=\Sigma^m_{k=-m}\Sigma^n_{l=-n}\kappa(k,l)I(s-k, t-l)=\vec{\kappa}^TI\vec{[W]}$

我們將核映射應(yīng)用于所有位置，適當(dāng)?shù)乜紤]圖像邊界，即簡單的說 $\kappa\otimes I$ ，它是創(chuàng)建圖像的函數(shù)。這里有一個卷積的連續(xù)模擬，但是我們暫不進(jìn)行討論。假如維度與核相匹配，這個操作可以清晰地泛化到高維。

例子離散圖像求導(dǎo)

在圖像的函數(shù)解釋下，像這樣的計算式非常正常的。

對 $I(x, y)$ 的部分求導(dǎo)是

$\frac{\partial I(x,y)}{\partial x} = lim_{h\rightarrow 0}\frac{I(x+h, y)-I(x, y)}{h}$

考慮一個離散圖像模型，我們有一個固定的值 $h$ 可以讓我們?nèi)タ紤]一個有限（離散）差別的解釋：

$\frac{dI(x,y)}{dx}=\frac{I(x+h,y)-I(x,y)}{h}$

最后，考慮到離散圖像 $I$ ，我們可以將 $h$ 設(shè)為1來表示一個像素的差別。我們將有限差別符設(shè)為 $\nabla_x=\frac{dI(x,y)}{dx}=I(x+1,y)-I(x,y)$

將其用于核中，則縱向為 $\kappa=[1,-1]^T$ ，橫向為 $\kappa=[1,-1]$

Remark：范圍操作可以是二元，三元，或者同時任意數(shù)字

例子圖像拉普拉斯與0-crossing

考慮圖像 $I$ 被核 $\kappa_1$ 與 $\kappa_2$ 所卷積處理， $\kappa_1$ 與 $\kappa_2$ 是分別從 $\sigma=1$ 與 $\sigma=2$ 的高斯函數(shù)中取樣出來。將卷積出來的圖像稱為 $G_1$ 與 $G_2$ 。取兩者之差 $G_2-G_1$ ?？梢园l(fā)現(xiàn)圖像的邊緣被凸顯出來。

一個突然的強(qiáng)度改變會在一階導(dǎo)提升到頂峰，或者在二階導(dǎo)達(dá)到0-crossing

之前的例子（離散圖像求導(dǎo)）表現(xiàn)了一階導(dǎo)，這個例子考慮二階導(dǎo)

$\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$

這兩個（二階導(dǎo)和高斯核）效果相近

專業(yè)術(shù)語翻譯對照（不確定是不是對的）

完美圖像: perfect Image

定義域: Domain

值域：range

朗伯模型Lambertian Model

數(shù)字圖像 digital Image

非負(fù)自然像素 non-negative natural pixels

取樣：Sampling

量化：quantization

感興趣的信號 signals of interest.

雙態(tài)化模型：two-state Ising model

指示器函數(shù)：indicator function

泛化generalize

空間范圍操作 Spatial Range Operation

范圍映射操作 Range map operation

文獻(xiàn)中 in the literature

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圖像如函數(shù)

圖像如函數(shù)

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