波導(dǎo)縱向場法

縱向場法適用于正交柱坐標(biāo)系當(dāng)中。

波導(dǎo)中的齊次矢量亥姆霍茲方程如下：
\nabla^2\vec{E}+k^2\vec{E} =0

\nabla^2\vec{H}+k^2\vec{H} =0

采用廣義柱坐標(biāo)系(u1,u2,z),u1,u2為波導(dǎo)橫截面上的坐標(biāo)，z為波導(dǎo)傳播方向的坐標(biāo)。

下面研究電場矢量\vec{E}：

1.橫向場與縱向場的分解

將其分為橫向場分量\vec{E}_T和縱向場分量\vec{E}_Z，即\vec{E}=\vec{E}_T+\vec{E}_Z

齊次矢量亥姆霍茲方程分解為：

\nabla^2{E_Z}+k^2{E_Z} =0和\nabla^2\vec{E_T}+k^2\vec{E_T} =0

2.分離變量法求解縱向場

求解縱向場E_Z,利用分離變量法將其表示為E_Z(u1,u2,z)=E_Z(u1,u2)E_Z(z)=E_Z(t)E_Z(z)

而由于正交柱形曲線坐標(biāo)系中，z與u1，u2無關(guān)，所以拉普拉斯算子可以寫為：\nabla^2=\nabla_T^2+\partial^2/\partial z^2

所以，縱向場Ez的方程可以寫為：

（\nabla_T^2+\partial^2/\partial z^2）E_Z(t)E_Z(z)+k^2E_Z(t)E_Z(z)=0

\frac{\nabla_T^2E_Z(t)}{E_Z(t)} +\frac{1}{E_Z(z)}\frac{d^2E_Z(z)}{dz^2}+k^2=0

前兩項相互獨(dú)立，所以都為常數(shù)，設(shè)\frac{1}{E_Z(z)}\frac{d^2E_Z(z)}{dz^2}=\gamma^2

所以\frac{\nabla_T^2E_Z(t)}{E_Z(t)}+k^2+\gamma^2=0

即{\nabla_T^2E_Z(t)}+{E_Z(t)}(k^2+\gamma^2)={\nabla_T^2E_Z(t)}+{E_Z(t)}k_c^2=0?? 其中k_c^2=k^2+\gamma ^2

E_Z(z)有通解：E_Z(z)=Ae^{-\gamma z}+Be^{\gamma z}

于是E_Z=E_Z(t)(Ae^{-\gamma z}+Be^{\gamma z})

3.橫向場用縱向場來表示

由兩個旋度方程：

\nabla\times\vec{E} = -j\omega\mu\vec{H}

\nabla\times\vec{H} = j\omega\varepsilon\vec{E}

展開得到6個方程，其中對z求偏導(dǎo)用-j\gamma代替（正向波），

得到橫相場用縱向場表達(dá)的關(guān)系式：其中k_c^2=k^2+\gamma^2

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