n維向量的概念

定義：n個有次序的數(shù)a1，a?，a，所組成的數(shù)組稱為n維向量，這n個數(shù)稱為該向量的個分量，第i個數(shù)a，稱為第個分量。

分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，
分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量。

復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

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復(fù)數(shù)的集合意義：

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復(fù)數(shù)的絕對值（復(fù)數(shù)模）的概念：

平面向量Oz的模|OZ，叫復(fù)數(shù)a+bi的模，記作|z|或|a+bil即復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上對應(yīng)的點Z（a，b）到原點的距離。

n維向量的表示方法

n維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行矩陣，通常用aT，b，a，Br等表示，如：

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向量空間

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設(shè)矩陣A經(jīng)初等行變換變成B，則B的每個行向量都是A的行向量組的線性組合，即B的行向量組能由A的行向量組線性表示.由初等變換可逆性？可知，A的行向量組能由B的行向量組線性表示，于是A的行向量組與B的行向量組等價。

對方程組4的各個方程做線性運所得到的一個方程就稱為方程繃的一個線性組合；若方程組B的每個方程都是方程細的線性組合，就稱方程組B能由方程組4線性表示，這時方程組A的解一定是方程組細的解；若方程1與方程組B能相互線性表示，就這兩個方程組等價，等價的方程組一定同解

線性相關(guān)性

1.若a1，a2，an，線性無關(guān)，則只有當A1=…=A，=0時，才有aa1+2a2+·…+A，an=0成立。
2.對于任一向量組，不是線性無關(guān)就是了線性相關(guān).
3.向量組只包含一個向量a時，若a=0則說a線性相關(guān)，若a0，則說a線性無關(guān).
4.包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的.
5.對于含有兩個向量的向量組，它線性相關(guān)的充要條件是兩向量的分量對應(yīng)成比例，幾何意義是兩向量共線；三個向量相關(guān)的幾何意義是三向量共面。
線性相關(guān)的判定：
定理向量組a1，a2…，an當m>2時）線性相關(guān)的充分必要條件是a1，α?…，an中至少有一個向量可由其余m1個向量線性表示。
線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用
(1)若方程組中有某個方程是其余方程的線性組合時，這個方程就是多余的，這時稱方程組（各個方程）是線性相關(guān)的；當方程組中沒有多余方程，就稱該方程組（各個方程）線性無關(guān)（或線性獨立）.
(2)若向量組A:a1，a?…，am線性相關(guān)則向量組B:a1，αm,am+l也線性相關(guān)反言之，若向量組B線性無關(guān)，則向量組4也線性無關(guān).

一個間重組著有線性相關(guān)的部分組，則該向量組線性相關(guān).特別地，含有零向量的向量組必線性相關(guān).反之，若一個向量組線性無關(guān)，則它的任何部分組都線性無關(guān)。

最大線性無關(guān)向量組

定義設(shè)有向量組4，如果在4中能選出個向量a1，a，a，滿足
（1）向量組A0：a1，?，a，線性無關(guān)；
（2）向量組4中任意+1個向量（如果中有r+1個向量的話）都線性糕，那未稱向量是向量組4的一個最大線性無關(guān)向量組（簡稱最大無關(guān)組）；最大無關(guān)組所含向量做r稱為向量組的秩只含零向量的向量組漪最大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為0.

矩陣與向量組秩的關(guān)系

定理矩陣的秩等于它的列量組的秩，也等于它的行向量組的秩
面證設(shè)A=（a1，Q2，am），R（A）=r，并設(shè)r階子式D.40.根據(jù)4.2定理2由D.f0知所在的r列線性無關(guān)；又由A中所有r+1階子式均為零，知4中任意r+1個列向量都線性相關(guān).因此D，所在的r列是A的列向量的一個最大無關(guān)組，所以列向量組的秩等于r.類似可證A的行向量組的秩也等于R（A）.

若D，是矩陣A的一個最高階非零子式，則D，所在的r列即是列向量組的一個最大無關(guān)組，D，所在的r行即是行向量組的一個最大無關(guān)組.
注意：（1）最大無關(guān)組不唯一；
（2）向量組與它的最大無關(guān)組是等價的。

齊次線性方程組解的性質(zhì)

方程組的全體解向量所組成的集合，對于加法和數(shù)乘運算是封閉的，因此構(gòu)成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組Ax=0的解空間.

非齊次線性方程組解的性質(zhì)

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與方程組Ax=b有解等價的命題線性方程組Ax=b有解
令向量b能由向量組a1，aa…，a，線性表示；令向量組a1，a?，a，與向量組a1，C?，，b等價；令矩陣4=（a1，a2…，a，）與矩陣B=（a1，aa…，an，b）
的秩相等

向量空間的概念

定義設(shè)V為n維向量的集合，如果集合卡空，且集合V對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么就稱集合V為向量空間。

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2.n維向量的集合是一個向量空間，記作R"

子空間

定義設(shè)有向量空間，及2，若向量空間么C2，就說V是V2的子空間

向量空間的基與維數(shù)

定義設(shè)V是向量空間，如果r個向量a，a?，
.a.EK且滿足
（1）a1，2，a，線性無關(guān)；
（2）V中任一向量都可由a，a…，a，線性表示。那么，向量組a1，a…，a，就稱為向量V的一個基，r稱為向量空間V的維數(shù)，并稱V為r維向量空間
說明
（1）只含有零向量的向量空間稱為0維向量空間，因此它沒有基.
（2）若把向量空間V看作向量組，那么V的基就是向量組的最大無關(guān)組，V的維數(shù)就是向量組的秩.
（3）若向量組a1，aa…，a，是向量空間的一個基，則V可表示為

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