海森堡（Heisenberg）不確定性原理

在日常生活中，你能很容易地確定物體的速度和相對(duì)位置，比如高速攝像機(jī)能夠確切地確定你超速的位置和速度，并能將罰單準(zhǔn)確地寄到你手里。

但如果你是量子世界中的一個(gè)粒子，交警就不太容易給你寄超速罰單了，因?yàn)樗麄內(nèi)绻氪_定你的速度，就無法精確地定位你的位置；如果想精確定位你的位置，就無法精確確定你的速度。

這就是量子世界中所謂的海森堡不確定性原理，在量子世界中廣泛成立，是粒子波動(dòng)性的一種本質(zhì)體現(xiàn)。

比如水中的漣漪，也即是水波。如果想精確測(cè)定水波的波速，你最好測(cè)定讓更多的波峰和波谷通過你的測(cè)量點(diǎn)，通過的波峰和波谷越多，波速測(cè)量得就越準(zhǔn)確；但是波的位置就越含糊，——通過了那么多的波峰和波谷，到底哪個(gè)位置算是波的位置？

相反，如果你僅測(cè)量某一個(gè)固定的波峰，那么就很容易確定它的位置。但是因?yàn)槿狈ζ渌ǚ寤虿ü鹊男畔?，就難以確定它的確切的速度。

簡(jiǎn)而言之：不確定性原理描述了兩個(gè)互補(bǔ)屬性之間的權(quán)衡，例如速度和位置。

對(duì)于兩個(gè)物理量A和B，其Hermitian算子分別用\hat{A} 和\hat{B} 表示，它們的對(duì)易子（commutator）為[\hat{A} ,\hat{B} ]=\hat{A} \hat{B}-\hat{B} \hat{A}=i\hat{C} 。比如粒子的位置x和動(dòng)量p_{x} 的算子\hat{x} 和\hat{p} _{x},[\hat{x} ,\hat{p} _{x}]\phi =-xi?\frac{d\phi }{dx}+ i?\frac{d(x\phi )}{dx}=i?\phi ，這里算子\hat{C} =?,也即是對(duì)后面的波函數(shù)簡(jiǎn)單乘上系數(shù)?。

根據(jù)量子力學(xué)的公設(shè)，我們可以證明兩個(gè)物理量測(cè)量誤差的積（標(biāo)準(zhǔn)偏差）大于或等于\frac{1}{2}〈 [\hat{A} ,\hat{B} ]〉，其中〈 [\hat{A} ,\hat{B} ]〉為[\hat{A} ,\hat{B} ]的平均值。

這就是Heisenberg不確定性原理。

Heisenberg沒有對(duì)上述結(jié)論提供任何證明，只是用電子與電磁波的相互作用的思想實(shí)驗(yàn)來說明了一下。這個(gè)思想實(shí)驗(yàn)又稱為Heisenberg顯微鏡。

下面我們用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法證明海森堡不確定性原理。

物理量A的測(cè)量方差(\Delta A)^2為其標(biāo)準(zhǔn)偏差的平方，即：

(\Delta A)^2=〈(\hat{A}-〈\hat{A} 〉)^2〉? ?（1）

其中〈X〉表示物理量X的測(cè)量平均值，將上述表達(dá)式展開后可得：

(\Delta A)^2=〈(\hat{A}-〈\hat{A} 〉)^2〉=〈\hat{A}^2〉-2〈\hat{A} 〉〈\hat{A} 〉+〈\hat{A} 〉^2=〈\hat{A}^2 〉-〈\hat{A} 〉^2

即

(\Delta A)^2=〈\hat{A}^2 〉-〈\hat{A} 〉^2? ?（2）

算子\hat{A} 和\hat{B} 的標(biāo)準(zhǔn)偏差算子記作\hat{??} =\hat{A} -〈\hat{A} 〉和\hat{?} =\hat{B} -〈\hat{B} 〉，你可以看出[\hat{??} ,\hat{?} ]=[\hat{A} ,\hat{B}]。我們知道對(duì)于物理量u，它的大小可表示為u=〈\phi |\hat{u} \phi 〉，所以

(\Delta A)^2\cdot (\Delta B)^2=〈\Psi |\hat{??} ^2\Psi〉〈\Psi |\hat{?}^2 \Psi 〉=〈\hat{??} \Psi |\hat{??} \Psi〉〈\hat{?} \Psi |\hat{?} \Psi〉

上面用到了Hermitian算子的性質(zhì)。根據(jù)Schwarz不等式，有

(\Delta A)^2\cdot (\Delta B)^2=〈\hat{??} \Psi |\hat{??} \Psi〉〈\hat{?} \Psi |\hat{?} \Psi〉\geq |〈\hat{??} \Psi|\hat{?} \Psi〉|^2

因?yàn)?/p>

〈\hat{??} \Psi|\hat{?} \Psi〉=〈\Psi|\hat{??} \hat{?} \Psi〉=〈\Psi|([\hat{??}, \hat{?}]+\hat{B} \hat{A} ) \Psi〉=i〈\Psi|\hat{C} \Psi〉+〈\hat{?} \Psi|\hat{??} \Psi〉=i〈\Psi|\hat{C} \Psi〉+〈\hat{??} \Psi|\hat{?} \Psi〉^*

所以

i〈\Psi|\hat{C} \Psi〉=2iIm\left\{ 〈\hat{??} \Psi|\hat{?} \Psi〉 \right\}

這就意味著

|〈\hat{??} \Psi|\hat{?} \Psi〉|^2\geq \frac{|〈 \Psi|\hat{C} \Psi〉|^2}{4}

即

(\Delta A)^2\cdot (\Delta B)^2\geq |〈\hat{??} \Psi|\hat{?} \Psi〉|^2\geq \frac{|〈 \Psi|\hat{C} \Psi〉|^2}{4} ? ?（3）

考慮到|〈\Psi|\hat{C} \Psi〉|=|〈\Psi|[\hat{A},\hat{B} ] \Psi〉|，所以有

\Delta A\cdot \Delta B\geq \frac{1}{2} |〈\Psi|[\hat{A},\hat{B} ] \Psi〉|? ? (4)

這分兩種情況：

（a）\hat{C} =0，意味著算子\hat{A} ，\hat{B} 對(duì)易，則\Delta A\cdot \Delta B\geq0，即兩個(gè)物理量的測(cè)量誤差可以任意小，也即是它們可以同時(shí)被精確地測(cè)量出來。

（b）在物理量為位置和動(dòng)量的情況下，\hat{C} =?，也即是\Delta A\cdot \Delta B\geq \frac{?}{2} 。

也即是說你不能同時(shí)確切地確定粒子的位置和動(dòng)量?jī)蓚€(gè)物理量。因?yàn)楫?dāng)你想盡量提高粒子位置測(cè)量精度的時(shí)候，粒子的動(dòng)量測(cè)量值的測(cè)量偏差就會(huì)增大，同樣當(dāng)你想提高動(dòng)量的測(cè)量精度時(shí)，位置的測(cè)量偏差也會(huì)增大，如圖1所示。海德堡不確定性原理是粒子波動(dòng)性的一種自然屬性，當(dāng)首次估算系統(tǒng)大小時(shí)，就能看出它的作用。


圖1 Heisenberg不確定性原理示意圖。以單個(gè)粒子在x軸的位置為例，粒子位于x=0處，|\Psi (x)|^2表示測(cè)量位置上相應(yīng)的測(cè)量概率密度，如果曲線窄而高，表明位置的測(cè)量精度高，波函數(shù)\Psi (x)可以展開成無窮級(jí)數(shù)的形式\Psi (x)=\sum\nolimits_{p}c_{p}e^{ipx}，其中p為粒子的動(dòng)量，注意表達(dá)式中每一項(xiàng)e^{ipx}為動(dòng)量算子的特征函數(shù)，所以如果\Psi (x)=e^{ipx}，相應(yīng)的動(dòng)量就有一個(gè)確定的測(cè)量值p。但是如果\Psi (x)=\sum\nolimits_{p}c_{p}e^{ipx}，那么動(dòng)量測(cè)量值為p的概率為\vert c_{p} \vert ^2。當(dāng)p的分布范圍較廣時(shí)，相應(yīng)位置分布的曲線就比較窄\vert \Psi (x) \vert ^2。反之亦然。

案例1：H原子系統(tǒng)的大小的估算

假設(shè)原子核靜止不同，電子繞核旋轉(zhuǎn)。我們知道電子必須要遵守海森堡不確定性原理的，也即是\Delta x\cdot \Delta p_{x}\geq \frac{?}{2} ,在最緊湊的情況下，\Delta x\cdot \Delta p_{x}= \frac{?}{2} 。我們可以將這里的\Delta x作為氫原子的半徑r，其中\Delta p_{x}=\sqrt{〈p_{x}^2〉-〈p_{x}〉^2} =\sqrt{〈p_{x}^2〉-0}=\sqrt{〈p_{x}^2〉} ，所以r\cdot \sqrt{〈p_{x}^2〉} =\frac{?}{2} ，或者 \sqrt{〈p_{x}^2〉} =\frac{?}{2r} 。假設(shè)粒子的總能量為動(dòng)能和勢(shì)能之和：E=\frac{ 〈p^2〉 }{2m} -\frac{e^2}{r} =\frac{ 〈p_{x}^2+p_{y}^2+p_{z}^2〉 }{2m} -\frac{e^2}{r} =\frac{3?^2}{8mr^3} -\frac{e^2}{r}。能量的最小值通過\frac{dE}{dr} =0=-2\frac{3?^2}{8mr^3} +\frac{e^2}{r^2}求取，即e^2=\frac{3?^2}{4mr} 。

反過來可求得氫原子的半徑r=\frac{3?^2}{4me^2} =0.75a_{0},其中a_{0}=0.529?，為氫原子的玻爾第一軌道半徑。由此可見，僅根據(jù)海森堡不確定性原理估算的氫原子的半徑與a_{0}在同一個(gè)數(shù)量級(jí)上。

根據(jù)海森堡不確定性原理，當(dāng)x=0,\Delta x=0、也即是電子坍縮到原子核上時(shí)，系統(tǒng)的能量達(dá)到了-∞，即系統(tǒng)向外釋放無窮大的能量，這對(duì)宇宙來講無疑是一場(chǎng)災(zāi)難。

另外海森堡不確定性原理用于估算物質(zhì)的質(zhì)量密度時(shí)，也能得到正確的數(shù)量級(jí)。

那么現(xiàn)在的問題是：電子能坍縮到原子核上嗎？如果能的話，是不是通過這種方式就可以消滅整個(gè)宇宙？

案例2：原子核大小的估算

一個(gè)原子核有多大？根據(jù)海森堡不確定性原理，我們僅需知道一個(gè)參數(shù)就可以將其估算出來，——核子的結(jié)合能：數(shù)量級(jí)為8 MeV。 現(xiàn)在進(jìn)入一個(gè)由核力掌控的世界，任何問題看起來都相當(dāng)復(fù)雜。忽略復(fù)雜的核子作用力，假設(shè)一個(gè)核子在一個(gè)平均勢(shì)能的空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)，核子的結(jié)合能為 8 MeV，所以我們可以假設(shè)原子核動(dòng)能的數(shù)量級(jí)差不多也是這么多，即?E=8?MeV。根據(jù)動(dòng)能與動(dòng)量的關(guān)系，我們有E=\frac{ 〈p^2〉 }{2m_{N}}=\frac{ 〈\Delta p^2〉 }{2m_{N}}（這里假設(shè)整個(gè)核子靜止不懂，平均動(dòng)量為0），由此可以計(jì)算得到\Delta p=\sqrt{〈\Delta p^2〉} =\sqrt{2m_{N}E} 。根據(jù)海森堡不確定性原理，在最緊湊的情況下，核子的半徑a=\frac{?}{2\Delta p} =\frac{?}{2\sqrt{2m_{N}E} }。采用原子單位制（?=1，e=1,m=1，其中，m為電子的質(zhì)量），計(jì)算可得a=\frac{?}{2\sqrt{2m_{N}E} }=\frac{?}{2\sqrt{2\times 1840\times 8\times 10^{6}\times 3.67516\times 10^{-2}} }?a.u.\approx 10^{-13}?cm。比氫原子的半徑大概小100,0000倍。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了我們的計(jì)算結(jié)果：原子核大小就是這么一搞數(shù)量級(jí)！

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