關(guān)于彈性球殼上砸雞蛋的問題

早上有朋友問我一個問題：

一個彈性半球殼和一個彈性半橢圓球殼，各有一枚重量相同的雞蛋，從距離殼層頂部相同的高度落下，問哪個雞蛋更容易碎？

這個問題要完整分析比較麻煩，你要做的曲面積分比較多。

但好在只是問哪個更容易碎，所以我們可以一定的簡化來分析這個問題。

所以，就把分析過程記錄下來。

我們下面只考慮所謂的“極小形變”，即球殼的形變極其微小。

在這個前提下，我們可以將問題轉(zhuǎn)化為這么一個情況：

將球殼轉(zhuǎn)化為一個梯形臺，底寬 2L，高 H，頂寬 2l，且 \frac{l}{L} = \rho 可以視為一個常數(shù)，兩側(cè)斜邊的長度都是 \lambda = \sqrt{H^2 + (L - l)^2} = \sqrt{H^2 + L^2 (1 - \rho)^2}

這個情況下，雞蛋砸到球殼頂層后，形變主要發(fā)生在梯形的兩個斜邊相對頂部平面的角形變上。

在極小形變的要求下，此時彈性力來自這個角形變，且與形變角成正比。

不考慮球殼本身的質(zhì)量引起的動量變化，根據(jù)沖量定理，一段時間內(nèi)雞蛋動量的變化量等于球殼形變的彈性力在這段時間內(nèi)的積分（如果考慮球殼的質(zhì)量，那動量部分就要加上球殼的動量變化，那問題就更麻煩了，所以這里忽略，反正是定性討論嘛）。

下面，我們來計算這個彈性力。

根據(jù)上面所建立的模型，當球殼高度下降 \Delta H 時，兩邊斜邊的形變角度為：

\Delta \alpha = \arccos \frac{H}{\lambda} - \arccos \frac{H - dH}{\lambda} \approx \frac{\Delta H}{L \sqrt{1 - \rho^2}}

相應(yīng)的，此時雞蛋受到的向上的支撐力為：

F_P \approx 2 \kappa \Delta \alpha \sin \alpha \approx \frac{2 \kappa}{\lambda \sqrt{1 - \rho^2}} \Delta H

注意到，\lambda 中實際上包含了高度 H，所以它并不是一個真正的彈性形變。但在極小形變下，\lambda 的該變量我們可以忽略，所以此時可以認為它近似是一個彈性運動。

下面，根據(jù)彈性運動下的沖量定理（別忘了引力）：
\Delta P = \int F dt = \kappa_P \int S(t) dt - \int G dt\\ = \kappa_P \int_0^t \left[ \frac{m g}{\kappa_P} \sqrt{1 + \frac{\kappa v_0^2}{m g^2}} \sin \left(\sqrt \frac{\kappa_P}{m} \tau - \arctan \sqrt{\frac{m g^2}{\kappa_P v_0^2}} \right) \right] d \tau\\ = m g \sqrt{\frac{m}{\kappa_P} + \frac{v_0^2}{g^2}} \left[ \cos \left( \arctan \sqrt{\frac{m g^2}{\kappa_P v_0^2}} \right) - \cos \left( \sqrt{\frac{\kappa_P}{m}} t - \arctan \sqrt{\frac{m g^2}{\kappa_P v_0^2}} \right) \right]\\ = m \left\{ v_0 \left[ 1 - \cos \left( \sqrt{\frac{\kappa_P}{m}} t \right) \right] - \sqrt{\frac{m}{\kappa_P}} g \sin \left( \sqrt{\frac{\kappa_P}{m}} t \right) \right\}

而動量改變量在兩種情況下都是相同的：\Delta P = m v_0，所以我們可以估算出雞蛋下落到底部所需要的時間 T 為：

T = \sqrt{\frac{m}{\kappa_P}} \left[ \pi - \arctan \left( \frac{v_0}{g} \sqrt{\frac{\kappa_P}{m}} \right) \right]

因此，雞蛋的平均受力就是：

\bar F = \frac{\Delta P}{T} = v_0 \sqrt{m \kappa_P} \left[ \pi - \arctan \left( \frac{v_0}{g} \sqrt{\frac{\kappa_P}{m}} \right) \right]^{-1}

在所有系數(shù)都相等的情況下，顯然有效彈性系數(shù) \kappa_P 越大，平均受力越大（分母項的反正切函數(shù)部分由于 \kappa 很大所以基本接近最大值 \frac{\pi}{2}，故作用可以忽略）。

而，這個有效彈性系數(shù)，我們前面計算過了，是：

\kappa_P = \frac{2 \kappa}{\lambda \sqrt{1 - \rho^2}} = \frac{2 \kappa}{\sqrt{[H^2 + L^2 (1 - \rho)^2](1 - \rho^2)}}

當兩個球殼材料相同的時候，彈性系數(shù) \kappa 相等。而平臺區(qū)占比 \rho 在我們選用的模型中是一個常數(shù)（它的含義大致可以理解為曲面法向量與垂直方向夾角小于一個給定系數(shù)的區(qū)域面積與底面積的比，當這個夾角范圍足夠小的時候，它隨橢圓的長短軸比共變，所以作為一個常數(shù)基本算是一個可靠的近似）。所以，我們現(xiàn)在可以得到結(jié)論：

  • 如果球殼高度相等，則底部越長的球殼，有效彈性系數(shù)越小，所以雞蛋的平均受力越小；
  • 如果球殼底部長度相等，則高度越小的球殼，有效彈性系數(shù)越小，所以雞蛋的平均受力越小。

而，平均受力差不多可以衡量雞蛋的“易碎程度”，因此問題就解決了。

當然，這是在底部沒有固定的情況下。如果底部固定，那形變的主要來源就不是平臺區(qū)與斜邊相交處的角形變，而是平臺區(qū)與斜邊自身的彎曲形變，那情況就又不一樣了。

事實上，上面的分析更接近于柱面的情況而非球殼的情況，對于球殼即便是彈性形變，也會引入高階修正。不過我們這里既然只是一個定性分析，那就這樣也就足夠了。

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