之前在《Multiple Scattering Calculations for Technology》中看到了部分講四通道模型的內(nèi)容，其中涉及到多個(gè)參數(shù)，而這些參數(shù)之間的關(guān)系仍然是有些模糊不清。

另外，在一個(gè) PPT 文件中也看到了對(duì)四通道模型的描述，但其中的多項(xiàng)式系數(shù)的值是如何得到的也不甚清楚。

最近，又看到一篇論文，《Four-flux models to solve the scattering transfer equation in terms of Lorenz-Mie parameters》，其中對(duì)于四通道模型的描述則可以將之前的理解貫穿起來(lái)。

一、涉及到的系數(shù)

上圖中，(I) 代表入射光位置，(O) 代表透射光位置，(S) 代表介質(zhì)后的背景表面，介質(zhì)厚度為 Z。介質(zhì)中粒子直徑為 d，密度為 N，介質(zhì)折射率為 m。這篇論文的目的是將介質(zhì)的反射率與透射率與 d、N、m 聯(lián)系起來(lái)。

引入系數(shù)：（1）準(zhǔn)直光的吸收系數(shù) k ，即準(zhǔn)直光在通過(guò)厚度為 dz 的無(wú)線(xiàn)薄層時(shí)，因介質(zhì)吸收而失去的光通為 kdz；（2）散射系數(shù) s；（3）向前散射率 ξ，即在一個(gè)粒子處發(fā)生散射時(shí)，方向向前的通量占總散射通量的比例，我們可以將其理解為一個(gè)與相位函數(shù)意義相同的值；（4）平均路徑系數(shù) ε，即當(dāng)光通穿過(guò)厚度為 dz 的介質(zhì)，平均路徑長(zhǎng)度為 εdz。對(duì)準(zhǔn)直光而言，ε 值為 1，對(duì)漫射光而言，ε 值已被證實(shí)為 2，即漫射光經(jīng)過(guò)無(wú)限薄層的平均路徑是準(zhǔn)直光經(jīng)過(guò)的二倍。

那么我們可以定義（1）準(zhǔn)直光和漫射光向前散射系數(shù)分別為 ξs 和 εξs；（2）準(zhǔn)直光和漫射光向后散射系數(shù)分別為 (1 - ξ) s 和 ε(1 - ξ)s；（3）漫射光的吸收系數(shù)為 εk .

這里與之前的論文對(duì)比可以得到：

把 ε = 2，a₀ = 1，a₁ = 1 代入發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式成立，且 ξ = 0.75，與米氏散射的相位函數(shù)很接近。由此發(fā)現(xiàn)了兩篇論文的互通之處。

而根據(jù)米氏散射，有：

k = NC_abs = N(C_ext - C_sca) = (1 - a)NC_ext
s = NC_sca = aNC_ext

C_sca、C_abs、C_ext 分別是米氏散射、吸收、消耗系數(shù)，而 a = s / (k + s) . 在這里，將介質(zhì)的物理性質(zhì)（粒子密度N）與其光學(xué)性質(zhì)（吸收、散射系數(shù)）聯(lián)系起來(lái)了。

除了吸收與散射，還需要考慮反射（即邊界條件）：（1）準(zhǔn)直光在 I 和 O 處的反射率 r_c（即另一論文中的 R_c）；（2）在 I 和 O 處向介質(zhì)內(nèi)行進(jìn)的漫射光的反射率 r_de（R_e）；（3）在 I 和 O 處向介質(zhì)外行進(jìn)的漫射光的反射率 r_di（r_ij）；（4）在背景板處準(zhǔn)直光和漫射光的反射率 r_cb（R_s）、r_db（R_d）

【注】在背景 S 與介質(zhì)底層 O 之間會(huì)存在多次的反射（可以使用等比數(shù)列表示）

二、系數(shù)間關(guān)系的建立

微分方程組的解為：

引入的新系數(shù)較多（與之前的論文進(jìn)行對(duì)照發(fā)現(xiàn)兩篇論文是完全符合的）：

這里還有四個(gè)重要的系數(shù) C₁、 C₂、 C₃、 C₄ 的值沒(méi)有討論，因?yàn)樗鼈兊闹凳怯蛇吔鐥l件決定的。邊界條件包括入射光類(lèi)型、反射率等，這些在之前有過(guò)討論?！?/p>

對(duì)比以上幾個(gè)方程組，就可以得到系數(shù)C₁、 C₂、 C₃、 C₄ 的值：

其中：

三、透射率的計(jì)算

透射光由三部分組成：入射光為準(zhǔn)直光，且以準(zhǔn)直光形式透射出來(lái)；入射光為準(zhǔn)直光，但以漫射光形式透射出來(lái)；入射光為漫射光，且以漫射光形式透射出來(lái)。

τ = τ_cc + τ_cd + τ_dd

1. 準(zhǔn)直透射光
   透過(guò)背景S的透射光通（使用等比數(shù)列的求和公式）為：

物理意義上又滿(mǎn)足以下公式：

假設(shè)背景 S 吸收了 (1 - τ_c) 的準(zhǔn)直光，則準(zhǔn)直光→準(zhǔn)直光的透射率可表示為：

也可以被表示為：

τ_cc⁰ 為在背景 S 不存在時(shí)介質(zhì)的透射率。

將 I_c(0) 替換為 I_c(Z)，即得到與準(zhǔn)直入射光強(qiáng)度相關(guān)的透射率公式 ：

【注】如果 τ_c = 1，且所有反射率都為0，則該公式退化為比爾定律：

2. 漫透射光
   漫透射光有兩種來(lái)源：準(zhǔn)直入射光透射、漫射入射光透射?？偟穆干涔馔繛椋?/li>

根據(jù)光通守恒：

假設(shè)背景 S 吸收了 (1 - τ_d) 的漫射光，則漫透射率可表示為：

τ_dt⁰ 為在背景 S 不存在時(shí)介質(zhì)的漫透射率。

將公式表示為與入射光通量相關(guān)的形式：

以上公式中的系數(shù)部分與準(zhǔn)直入射光 I_c^Z 有關(guān)，部分與漫射入射光 I_d^Z 有關(guān)。因此，可以將漫透射率 τ_dt 分為兩部分：τ_cd、τ_dd，分別對(duì)應(yīng)準(zhǔn)直入射光、漫射入射光的漫透射率：

四、反射率的計(jì)算

反射光也由三部分組成：入射光為準(zhǔn)直光，且以準(zhǔn)直光形式反射出來(lái)；入射光為準(zhǔn)直光，但以漫射光形式反射出來(lái)；入射光為漫射光，且以漫射光形式反射出來(lái)。

R = R_cc + R_cd + R_dd

1. 準(zhǔn)直反射光
   這部分反射光由兩部分通量組成：介質(zhì)上表面發(fā)生的準(zhǔn)直入射光反射的通量 + 經(jīng)介質(zhì)散射 / 吸收后從上表面透射出的準(zhǔn)直光通量：

套公式，將其轉(zhuǎn)換為只與入射光有關(guān)的形式：

根據(jù)上式可知，當(dāng) r_c = 0 且 r_cb = 0 時(shí)，R_cc = 0.

2. 漫反射光
   這部分反射光也可以分為兩部分：介質(zhì)上表面發(fā)生的漫射入射光反射的通量 + 經(jīng)介質(zhì)散射 / 吸收后從上表面透射出的漫射通量：

轉(zhuǎn)換為只與入射光相關(guān)的形式：

上式中的系數(shù)部分與準(zhǔn)直入射光 I_c^Z 有關(guān)，部分與漫射入射光 I_d^Z 有關(guān)。因此，可以將漫反射率 R_dt 分為兩部分：R_cd、R_dd，分別對(duì)應(yīng)準(zhǔn)直入射光、漫射入射光的漫反射率：

五、Special Cases

1. 透明介質(zhì)：k→0
2. 均勻不散射介質(zhì)：s→0
3. 無(wú)限厚不透明介質(zhì)：Z→∞
4. 三通道，即沒(méi)有入射光反方向的準(zhǔn)直光通道 J_c(z)，且不考慮邊界反射及背景S：r_c = r_de = r_di = 0，r_cb = r_db = 0，τ_c = τ_d = 1
5. 雙通道，即入射光只有漫射光而無(wú)準(zhǔn)直光

當(dāng) r_c = r_de = r_di = 0，r_cb = r_db = 0，Z→∞，I_oc = 0（即K-M模型應(yīng)用場(chǎng)景），則反射率 R = R_dd。另外，令 K = 2k，S = s（ε = 2，ξ = 0.5），即可得到K-M方程：