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1.對函數(shù) $f(x)=sinx$ 及 $F(x)=x+cosx$ 在區(qū)間 $[0,{\pi\over 2}]$ 上驗(yàn)證柯西中值定理的正確性

解：

$f(x),F(x)在[0,{\pi\over 2}]上連續(xù),在(0,{\pi\over 2})內(nèi)可導(dǎo)$

$f'(x)=cosx,F'(x)=1-sinx,\forall x\in(0,{\pi\over 2}),F'(x)\neq 0$

$\therefore f(x),F(x)滿足Cauchy定理?xiàng)l件$

${f({\pi\over 2})-f(0)\over F({\pi\over 2})-f(0)}={1\over {\pi\over 2}-1}$

${f'(x)\over F'(x)}={cosx\over 1-sinx}={sin({\pi\over 2}-x)\over 1-cos({\pi\over 2}-x)}$

$={cos({\pi\over 4}-{x\over 2})\over sin({\pi\over 4}-{x\over 2})}=tan({\pi\over 4}-{x\over 2})$

$令{f'(x)\over F'(x)}={f({\pi\over 2})-f(0)\over F({\pi\over 2})-f(0)}$

$即,tan({\pi\over 4}-{x\over 2})={1\over {\pi\over 2}-1}$

$此時(shí)x=2[{\pi\over 4}-arc({\pi\over 2-1})]\in(0,{\pi\over 2})$

$即,取\xi=2[{\pi\over 4}-arc({\pi\over 2-1})]\in(0,{\pi\over 2}),$

$則{f'(\xi)\over F'(\xi)}={f({\pi\over 2})-f(0)\over F({\pi\over 2})-f(0)}$

2.證明對函數(shù) $y=px^2+qx+r$ 應(yīng)用拉格朗日中值定理時(shí)所求得的點(diǎn) $\xi$ 總是位于區(qū)間的正中間

證：

$y=f(x)=px^2+qx+r,f'(x)=2px+q$

$設(shè)[a,b]為任一閉區(qū)間$

$由Lagrange定理知,\exists \xi\in(a,b),使得$

$f'(\xi)={f(b)-f(a)\over b-a}$

$={b^2p+bq-a^2p-aq\over b-a}=(b+a)p+q$

$\therefore f'(\xi)=2p\xi+q=(b+a)p+q$

$\therefore f'(\xi)={b+a\over 2}$

$\therefore 由區(qū)間[a,b]的任意性知,\xi總是位于區(qū)間正中間$

3.不求出f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的導(dǎo)數(shù),說明方程f'(x)=0又幾個(gè)實(shí)根,并指出所在區(qū)間

解：

$\because f(x)在R上連續(xù)且可導(dǎo),f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0$

$\therefore 由Rolle定理知\exists \xi_1\in(1,2),\xi_2\in(2,3),\xi_3\in(3,4)$

$使得f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=f'(\xi_3)=0$

$又f'(x)為三次多項(xiàng)式$

$\therefore f'(x)=0只有三個(gè)根$

$\therefore f'(x)=0有3個(gè)實(shí)根\xi_1,\xi_2,\xi_3,分別屬于(1,2),(2,3),(3,4)三個(gè)區(qū)間$

4.證明恒等式： $arcsinx+arccosx={\pi\over 2}(-1\le x\le 1)$

證：

$令f(x)=arcsinx+arccosx,則$

$f'(x)={1\over \sqrt{1-x^2}}-{1\over \sqrt{1-x^2}}=0$

$\therefore f(x)在[-1,1]上恒為常數(shù)$

$\therefore f(x)=arcsinx+arccosx=f(0)=0+{\pi\over 2}={\pi\over 2}$

5.證明不等式： $當(dāng)x\gt 1時(shí),e^x\gt ex$

證：

$設(shè)f(x)=e^x$

$由Lagrange定理知,\exists \xi\in (1,x),使得$

$f'(\xi)={f(x)-f(1)\over x-1}$

$即f(x)-f(1)=e^x-e=(x-1)f'(\xi)=(x-1)e^{\xi}$

$\xi\in (1,x)\Rightarrow e^{\xi}\gt e$

$\therefore e^x-e=(x-1)e^{\xi}\gt (x-1)e$

$\therefore e^x\gt ex$

6.證明方程 $x^5+x-1=0$ 只有一個(gè)正根

證：

$設(shè)f(x)=x^5+x-1$

$假設(shè)f(x)=0有2個(gè)或2個(gè)以上的正根$

$即\exists x_1,x_2\gt 0,且x_1\neq x_2,使得$

$f(x_1)=f(x_2)=0$

$不妨設(shè)x_1\lt x_2$

$顯然f(x)在[x_1,x_2]上連續(xù),在(x_1,x_2)內(nèi)可導(dǎo)$

$由Rolle定理知$

$\exists \xi\in (x_1,x_2),使得$

$f'(\xi)=5\xi^4+1=0,矛盾,假設(shè)不成立$

$\therefore 方程x^5+x-1=0至多只有一個(gè)正根$

$又f(0)=-1,f(1)=1$

$f(0)f(1)=-1\lt 0$

$由介值定理知$

$\exists \xi'\in(0,1),使得$

$f(\xi')=0,即方程x^5+x-1=0只有一個(gè)正根$

7.設(shè) $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續(xù),在 $(a,b)$ 內(nèi)可導(dǎo),證明在 $(a,b)$ 內(nèi)有一點(diǎn) $\xi$ ,使得

$\begin{vmatrix}f(a)&f(b)\\ g(a)&g(b)\end{vmatrix} =(b-a)\begin{vmatrix}f(a)&f'(\xi)\\ g(a)&g'(\xi)\end{vmatrix}$

證：

$設(shè)F(x)=\begin{vmatrix}f(a)&f(x)\\ g(a)&g(x)\end{vmatrix},則 F'(x)=\begin{vmatrix}f(a)&f'(x)\\ g(a)&g'(x)\end{vmatrix}$

$\because f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)$

$由Lagrange定理知$

$\exists \xi\in(a,b),使F'(\xi)={F(b)-F(a)\over b-a}$

$\therefore F(b)-F(a)=\begin{vmatrix}f(a)&f(b)\\ g(a)&g(b)\end{vmatrix}-0=(b-a)F'(x)=\begin{vmatrix}f(a)&f'(\xi)\\ g(a)&g'(\xi)\end{vmatrix}$

$即\begin{vmatrix}f(a)&f(b)\\ g(a)&g(b)\end{vmatrix}=(b-a)F'(x)=\begin{vmatrix}f(a)&f'(\xi)\\ g(a)&g'(\xi)\end{vmatrix}$

8.證明：若函數(shù) $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 內(nèi)滿足關(guān)系式 $f'(x)=f(x)$ ,且 $f(0)=1$ ,則 $f(x)=e^x$

證：

$設(shè)F(x)={f(x)\over e^x},$

$則F'(x)={f'(x)e^x-f(x)e^x\over e^{2x}}$

$=(f'(x)-f(x))e^{-x}=0$

$\therefore F(x)\equiv C(常數(shù))$

$又F(0)={f(0)\over e^0}=1$

$\therefore F(x)=1,即f(x)=e^x$

9.設(shè)函數(shù) $y=f(x)$ 在 $x=0$ 的某鄰域內(nèi)具有n階導(dǎo)數(shù),且 $f(0)=f'(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0$ ,試用柯西中值定理證明： ${f(x)\over x^n}={f^{(n)}(\theta x)\over n!}(0\lt \theta\lt 1)$

證：

$\because y=f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有n階導(dǎo)數(shù)$

$由Cauchy定理知,\exists \xi_1\in(0,x),使得$

${f(x)\over x^n}={f(x)-f(0)\over x^n-0^n}={f'(\xi_1)\over n\xi_1^{n-1}}={f'(\xi_1)-f'(0)\over n\xi_1^{n-1}-0}$

$反復(fù)應(yīng)用Cauchy定理得$

$\exists \xi_2\in(0,\xi_1),\xi_3\in(0,\xi_2),\cdots,\xi_n\in(0,\xi_{n-1})\subset (0,x),使得$

${f(x)\over x^n}={f'(\xi_1)-f'(0)\over n\xi_1^{n-1}-0}={f''(\xi_1)-f''(0)\over n(n-1)\xi_2^{n-2}-0}=\cdots={f^{(n)}(\xi_n)\over n!}$

$即\exists \theta\in (0,1)使\theta x=\xi_n\in (0,x),使得$

${f(x)\over x^n}={f^{(n)}(\theta x)\over n!}(0\lt \theta\lt 1)$

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