關于Max不等式的證明

1.證明：\max\{a_i+b_i;i=1,2,\dotsc,n\}\leqslant \max\{a_i\}+\max\{b_i\}

證明：不失一般性，假設a_1+b_1\leqslant a_2+b_2\leqslant\dotsc\leqslant a_n+b_n，于是我們有\max\{a_i+b_i\}=a_n+b_n根據最大值性質，顯然有\max\{a_i\}\geqslant a_n,\max\{b_i\}\geqslant b_n于是就有\max\{a_i+b_i\}\leqslant \max\{a_i\}+\max\{b_i\}

2.證明：若\alpha\geqslant 0，則\max\{\alpha x_i;i=1,2,\dotsc,n\}=\alpha\max\{x_i\}；若\alpha<0，則\max\{\alpha x_i;i=1,2,\dotsc,n\}=\alpha\min\{x_i\}

證明：不失一般性，假設x_1\leqslant x_2\leqslant\dotsc\leqslant x_n，從而\max\{x_i\}=x_n，\min\{x_i\}=x_1；又因為\alpha\geqslant0，于是\alpha x_1\leqslant \alpha x_2\leqslant\dotsc\leqslant \alpha x_n，得到\max\{\alpha x_i\}=\alpha x_n，結論成立。

若\alpha<0，則\alpha x_1\geqslant \alpha x_2\geqslant\dotsc\geqslant \alpha x_n，于是\min\{\alpha x_i\}=\alpha x_1，結論也成立。

3.推論：若\alpha,\beta\geqslant0，則\max\{\alpha x_i+\beta y_i;i=1,2,\dotsc,n\}\leqslant \alpha\max\{x_i\}+\beta\max\{y_i\}

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