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感謝PRESH TALWALKAR博士的分享，故事君對(duì)其文章進(jìn)行了編譯，當(dāng)然也適當(dāng)進(jìn)行了文學(xué)加工。
1
這是個(gè)虛構(gòu)的事件。如有雷同，純屬巧合……
假設(shè)有這樣一個(gè)國(guó)家，法律規(guī)定：凡是員工在生日當(dāng)天，公司必須給員工放假！公司必須一視同仁，確保每個(gè)員工在生日當(dāng)天放假，沒有任何理由！
當(dāng)然，法律還規(guī)定：除了生日當(dāng)天，員工其它的日子必須天天上班工作，也沒有任何理由。這是很崩潰的事情吧……
這里，假設(shè)一年里是365天。
很明顯的是，公司雇傭的員工越多，那么生日天必然越多，如果公司雇傭較少的人，在生產(chǎn)過程中可能會(huì)人手不足，造成更大的損失。
雖然每個(gè)員工一年中必須工作 364 天，可是，資本家們還不滿足，他們想盡可能地讓員工同時(shí)工作的總天數(shù)最長(zhǎng)。作為員工，其實(shí)在意的并不是這些，因?yàn)槊磕昀锉厝挥幸惶焓菍儆谒麄兊募偃铡?/p>
2
于是資本家們找到了數(shù)學(xué)界x，想讓x幫助他們計(jì)算出雇傭多少人才能保證一年中得到所有員工的最大可能的同時(shí)工作總天數(shù)。
x先生不白給啊，“刷刷刷”開始計(jì)算起來……
假設(shè)該公司有員工 n 個(gè)人，那么每個(gè)人的生日都是獨(dú)立事件，一個(gè)人在某一天出生的概率均是1/365；
那么這個(gè)人在某一天工作的概率是364/365，這對(duì)于所有的 n 個(gè)員工都是適用的。
既然每個(gè)人生日都是隨機(jī)的且獨(dú)立的，那么第 i 天不是生日天的概率是：
(364/365)(364/365)…(364/365) = (364/365)^n
這個(gè)可能性在一年中的每一天都是一樣的。所以，我們將365天的概率求和，
365×(364/365)^n
將該數(shù)乘以總?cè)藬?shù)n，得到一年中非生日的總天數(shù)：
n×365×(364/365)^n
我們假設(shè)這是一個(gè)連續(xù)的函數(shù)，
f（n）=n×365×(364/365)^n，
我們求出上述函數(shù)的最大值時(shí)刻即可，就是當(dāng)n為何值時(shí)，f（n）取最大值。
函數(shù)兩邊取自然對(duì)數(shù)，得：
ln（f（n））=ln（n×365×(364/365)^n）
=ln（n）+ln（365）+ln（(364/365)^n）
=ln（n）+ln（365）+n·ln（364/365)
接著取ln（f（n））的導(dǎo)數(shù)為0，可得：
[ln（f（n））]'=0，
1/n+ln（364/365)=0，
解得：n=-1/ln（364/365)，
n≈364.5。
對(duì)于n>0，我們可以得到在臨界點(diǎn)之前，即n<364.5時(shí)，導(dǎo)數(shù)值為正，當(dāng)n在臨界點(diǎn)之后，到數(shù)值為負(fù)，說明這個(gè)臨界點(diǎn)為最大值時(shí)n的取值。
當(dāng)雇傭員工人數(shù)達(dá)到364人及365人時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)其函數(shù)值相等。
f（364）
= 364(365)(364/365)^364
= 364(365)(365/365)(364/365)^364
= 365(365)(364/365)(364/365)^364
= 365(365)(364/365)^365
=?f(365)
這樣，這個(gè)公司需要雇傭364人或365人時(shí)，可以得到一個(gè)期望的工作天數(shù)大約是：
f(365)=365×365×(364/365)^365≈48943.5 天
（小伙伴們不要覺得這個(gè)數(shù)大于了365天，注意：如果6月1日共360人工作，那么就記同時(shí)工作天數(shù)360天……）
竟然算出來了？！
3
到這里，我們看不出絲毫的有趣性……
我們將這個(gè)數(shù)值與總天數(shù)（365^2）相比，
即：f（365）/365^2，
f（365）/365^2
=365×365×(364/365)^365/（365^2）
=(364/365)^365
=（1-1/365）^365
≈0.367
≈1/e.
e——?dú)W拉常數(shù)，約等于2.71828……
e真是無處不在，在數(shù)學(xué)界，它是個(gè)神的存在，和π一樣！
雖然數(shù)學(xué)家計(jì)算出來了，但他只是好奇數(shù)學(xué)問題，所以他回了資本家三個(gè)字“滾犢子！”
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END
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