這個(gè)問(wèn)題當(dāng)然不是新問(wèn)題，上個(gè)世紀(jì)中后葉就已經(jīng)有物理學(xué)家搞過(guò)這個(gè)問(wèn)題了。這個(gè)在索恩[1]的《黑洞與時(shí)間彎曲》里就已經(jīng)有過(guò)介紹，索恩自己對(duì)這方面的問(wèn)題也是很有研究的，特別是和霍金一起搞了有時(shí)間穿越功能的蟲(chóng)洞在遭遇電磁場(chǎng)時(shí)會(huì)發(fā)生什么災(zāi)難的問(wèn)題。
這里是在想重頭計(jì)算一下，因?yàn)闆](méi)自己動(dòng)手過(guò)，總是感覺(jué)不酸爽——來(lái)，給爺捏個(gè)肩～～
我們不考慮太復(fù)雜的問(wèn)題，就考慮下面這個(gè)問(wèn)題：
這個(gè)問(wèn)題是這樣的：
一個(gè)點(diǎn)粒子從(0, 0)的位置發(fā)出，速度矢量為V1。接著在(x, y)的位置和自己發(fā)生了碰撞（自己？對(duì)，自己）。然后，碰撞發(fā)生后，這枚粒子飛向了(p, q)位置的一個(gè)蟲(chóng)洞，這個(gè)蟲(chóng)洞可以將粒子傳遞到(m, n)的位置，且保持進(jìn)入時(shí)的速度矢量不變。且，(p, q)的蟲(chóng)洞不單可以在空間將粒子傳遞到(m, n)，甚至還可以在時(shí)間上傳遞，所以實(shí)際上是從(p, q, t)時(shí)空點(diǎn)傳遞到(m, n, t - Δt)這個(gè)時(shí)空點(diǎn)。從這個(gè)時(shí)空點(diǎn)出來(lái)的粒子，繼續(xù)飛，飛到(x, y)的位置，又和過(guò)去的自己發(fā)生了碰撞，接著它就被撞飛，飛到了(a, b)這個(gè)位置。
上訴所有碰撞都是完全彈性碰撞。
現(xiàn)在，求發(fā)生碰撞的位置(x, y)，以及最終飛到的位置(a, b)（只要一個(gè)方向即可）。
在這個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，我們還可以進(jìn)一步問(wèn)一個(gè)更有趣的問(wèn)題：如果不僅僅發(fā)生一次碰撞，會(huì)怎么樣？
我們先將這個(gè)問(wèn)題用數(shù)學(xué)的形式描述一遍（只考慮二維空間）：
從而已經(jīng)有下列方程：
在我們現(xiàn)在的問(wèn)題中，由于V2和V3相等，所以能量動(dòng)量守恒實(shí)際上給出了V1必須等于V4，這點(diǎn)對(duì)于整個(gè)問(wèn)題來(lái)說(shuō)其實(shí)幫助不大。
在剩下的六個(gè)方程（3組矢量方程，在2維中就是總共六個(gè)方程），位置的變量為：u_x、u_y、t1、t2、x、y，總共六個(gè)，從而是可以存在唯一解的：
我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問(wèn)題雖然看上去復(fù)雜，但解起來(lái)倒是一點(diǎn)都不困難。
而且，最關(guān)鍵的是，我們發(fā)現(xiàn)第一次被未來(lái)的自己撞飛后的粒子的速度，完全僅由蟲(chóng)洞的性質(zhì)決定，而和粒子自身的初始狀態(tài)一點(diǎn)關(guān)系沒(méi)有。更有趣的是，由于能量動(dòng)量守恒，對(duì)于點(diǎn)粒子來(lái)說(shuō)，這個(gè)蟲(chóng)洞是否存在，以及他在整個(gè)過(guò)程中其實(shí)已經(jīng)被偷梁換柱，這些都不重要，因?yàn)閷?duì)最終結(jié)果來(lái)說(shuō)沒(méi)有絲毫影響——蟲(chóng)洞以及自己經(jīng)過(guò)蟲(chóng)洞和過(guò)去與未來(lái)的自己發(fā)生碰撞這是完全可以被忽略。
只有一次自相互作用的情況看來(lái)非常Trival，和沒(méi)有自相互作用的情況基本相同，就是多了一點(diǎn)“幽靈糾纏”，似乎沒(méi)什么花頭。
那么，我們來(lái)看，如果存在兩次自相互作用會(huì)如何。
這里有一個(gè)關(guān)于點(diǎn)粒子完全彈性碰撞的小坑。
學(xué)過(guò)中學(xué)物理的人肯定還記得當(dāng)年中學(xué)物理老師有要求大家推導(dǎo)過(guò)一維完全彈性碰撞的推導(dǎo)的習(xí)題。在那里，完全彈性碰撞是有位移解的：
初速度為v1與v2的兩個(gè)物體完全彈性碰撞后的速度u1和u2
但如此美好的性質(zhì)在大于一維的情況下是不存在的，因?yàn)槟芰縿?dòng)量守恒給出D+1個(gè)方程，而碰撞后的位置量有2D個(gè)，所以當(dāng)D>1的時(shí)候，光有這些方程是不足夠得到位移末態(tài)的。
這個(gè)問(wèn)題在非點(diǎn)粒子的情況，比如兩個(gè)小球碰撞的請(qǐng)求，卻是可解的，因?yàn)榉屈c(diǎn)粒子就可以談?wù)摻佑|面，于是理想情況下垂直接觸面的方向上發(fā)生完全彈性碰撞，平行接觸面的D-1個(gè)方向上自由運(yùn)動(dòng)，于是就回到了一維完全彈性碰撞問(wèn)題了。
在這篇文章前面計(jì)算的問(wèn)題中，我們忽略點(diǎn)粒子帶來(lái)的這個(gè)小坑，認(rèn)為其實(shí)是“半徑非常小到足夠忽略的小球的彈性碰撞”，并認(rèn)為最后的解總能滿足要求的。
有興趣的可以做一下小球的蟲(chóng)洞穿越一次碰撞問(wèn)題，結(jié)果差不多。
兩次碰撞的情況比較復(fù)雜。
我們先來(lái)看一下兩次碰撞的軌跡圖：
其中，PB很明顯是初始粒子的軌跡，DQ是末態(tài)粒子的軌跡，AB和AD是第一與第二次穿越粒子的軌跡，但暫時(shí)還不能區(qū)分誰(shuí)是誰(shuí)，BC和DC則可能是穿越粒子再次也可能是初態(tài)粒子第一次穿越，BD則可能是初態(tài)粒子也可能是某次穿越粒子。
但，無(wú)論如何，我們可以通過(guò)沖動(dòng)的設(shè)定知道，AB肯定并行于DC，BC平行于AD，于是ABCD構(gòu)成一個(gè)平行四邊形。
任何形式的平行四邊形都是滿足條件的，只要A和C分別固定的在蟲(chóng)洞的過(guò)去端和未來(lái)端即可。而，PB是初始條件，不會(huì)改變。因此平行四邊形的B點(diǎn)必然是在一條確定的直線上的（從P點(diǎn)出發(fā)，沿著初始速度方向）。B點(diǎn)確定了，D點(diǎn)也就確定了。
于是，整個(gè)系統(tǒng)的唯一變量就只是從P運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間t，從而也就是B的位置。
在B和D點(diǎn)上存在碰撞過(guò)程的能量動(dòng)量守恒，形成約束。簡(jiǎn)單分析可知，DQ必然也是平行于PB的——而且，如果在B點(diǎn)能量動(dòng)量守恒條件滿足，那么在D點(diǎn)也必然滿足。
于是，問(wèn)題的答案其實(shí)就是，是否存在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間t，使得B點(diǎn)位置決定的平行四邊形在B點(diǎn)上滿足能量動(dòng)量守恒，且沿著AB和BC走所用的時(shí)間為Δt。如果有解，那就存在兩次碰撞——至于說(shuō)到底是誰(shuí)和誰(shuí)碰撞，這個(gè)倒是不怎么重要。。。
于是，問(wèn)題就化簡(jiǎn)為如下方程：
這里，我們假定了粒子的質(zhì)量，而且認(rèn)為不同線上的粒子質(zhì)量不同——為什么這么做？后面我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有趣的地方的～
現(xiàn)在來(lái)看一下這個(gè)方程的部分解：
之所以說(shuō)部分解，因?yàn)檫€沒(méi)有帶入能量守恒這個(gè)約束條件。
但，我們已經(jīng)看到，這里我們預(yù)設(shè)了一些質(zhì)量項(xiàng)，也就是說(shuō)，如果我們?cè)试S出現(xiàn)一些“別樣”的粒子的話，這個(gè)能量守恒條件是總能實(shí)現(xiàn)的，而這樣的情況，在整體運(yùn)動(dòng)軌跡不變的情況下，體現(xiàn)為一些“鬼魅”一般的運(yùn)動(dòng)的，如下圖：
在這張軌跡圖中，紅色表示原始的粒子，它只進(jìn)行了一次穿越，而綠色則表示“鬼”粒子，它和原始粒子相撞兩次，兩次改變粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，但最終要的是，這個(gè)“鬼”粒子是無(wú)始無(wú)終的！
鬼粒子從A這個(gè)出口出現(xiàn)，跑到B點(diǎn)和粒子相撞，被撞飛到D點(diǎn)，和穿越而來(lái)的粒子再次相撞，并來(lái)到入口C，結(jié)果這個(gè)通過(guò)C-A沖動(dòng)回到過(guò)去的鬼粒子居然恰好就是早先從A出來(lái)的那個(gè)鬼粒子！
鬼粒子和現(xiàn)實(shí)粒子相撞還有另一種形式：
這里，粒子從P跑到B，與從A出來(lái)的鬼相撞，改變方向來(lái)到D，有和這個(gè)鬼撞了一次，最后飛向Q。而對(duì)鬼粒子來(lái)說(shuō)，從A出來(lái)的鬼粒飛到B，相撞，飛到C，接著從A出來(lái)，但此時(shí)從A出來(lái)的鬼并不是一開(kāi)始從A出現(xiàn)的鬼（同一個(gè)粒子，但不同時(shí)刻），這次從A出來(lái)的鬼飛向D，又相撞，飛到C，并從A出來(lái)——而這次出來(lái)的時(shí)刻才是鬼第一次出現(xiàn)的時(shí)刻。
也就是說(shuō)，鬼的軌跡是這樣的：A(1)->B->C->A(2)->D->C->A(1)。
事實(shí)上，也可以這么非：A(1)->D->C->A(2)->B->A(1)。
當(dāng)然了，當(dāng)只有一個(gè)粒子而沒(méi)有鬼的時(shí)候，也存在解，只不過(guò)此時(shí)的解具有比較強(qiáng)的限制約束，只允許一種情況的發(fā)生，而粒子所走的路徑則為：PBCADCABDQ，或者PBDCABCDQ。
從最終實(shí)驗(yàn)結(jié)果的角度來(lái)說(shuō)，上述兩條路徑其實(shí)都可以看作是有鬼的情況，只不過(guò)現(xiàn)在鬼的質(zhì)量和被試粒子相同罷了。
事實(shí)上，一次自相互作用的情況也可以看作存在鬼粒子的，只不過(guò)這樣的話，鬼粒子和粒子之間不存在任何相互作用，兩者交叉而過(guò)，相安無(wú)事。
下面來(lái)具體分析一下兩次碰撞過(guò)程的一些特性。
由于，A和C并不是完全等價(jià)的，必須是A出粒子，C進(jìn)粒子，所以這就對(duì)矢量的方向性有了嚴(yán)格的限制——比如說(shuō)，BD就必須是B指向D，否則B處就是三根入線一根出線，這個(gè)過(guò)程怎么都不可能配平（也就是能量動(dòng)量不可能守恒）。
這也就要求，前面給的解中的s、u、w必須大于零，這就要求：
其中第二條很有意思，就是要求入射粒子必須足夠靠近C-A蟲(chóng)洞在過(guò)去端的出口。在考慮到碰撞對(duì)于粒子運(yùn)動(dòng)的作用是讓粒子保持運(yùn)動(dòng)方向不變地移動(dòng)到相對(duì)C-A蟲(chóng)洞兩個(gè)出口的中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)上，所以實(shí)際上就是說(shuō)，這樣的蟲(chóng)洞會(huì)對(duì)靠近過(guò)去端出口的粒子造成一種向未來(lái)端推的推力。產(chǎn)生的效果就是把粒子“輸運(yùn)”到和中點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的另一端去。
這樣的蟲(chóng)洞除了會(huì)對(duì)粒子的位置發(fā)生影響外，還會(huì)對(duì)粒子到達(dá)目的地的時(shí)間發(fā)生影響。以之前給出的入射粒子會(huì)發(fā)生一次穿越的情況來(lái)說(shuō)，中間從B走到D的粒子是鬼粒子，而鬼粒子的動(dòng)量雖然被確定，但速度并沒(méi)有，解中的s是含有鬼粒子質(zhì)量m_D的，因此原則上說(shuō)，通過(guò)調(diào)節(jié)這個(gè)鬼粒子的質(zhì)量，粒子從D離開(kāi)的時(shí)間可以在一個(gè)范圍內(nèi)發(fā)生變化，從而發(fā)生改變。
我們甚至可以從上述結(jié)論來(lái)推測(cè)高次碰撞的情況——所有奇數(shù)次的，都可以看作出現(xiàn)了一個(gè)獨(dú)立鬼粒子，從A到C不斷循環(huán)往復(fù)（就是從C回到A后發(fā)現(xiàn)恰好就是鬼粒子出生的時(shí)刻，從而未來(lái)的自己就是現(xiàn)在的自己，周而復(fù)始）。
而偶數(shù)次和奇數(shù)次中除了那個(gè)獨(dú)來(lái)獨(dú)往的鬼之外的部分，則可能形成各種平行四邊形，不斷疊加，從而我們可以發(fā)現(xiàn)粒子的軌跡是在最大的四邊形的左上角開(kāi)始走一條始終朝著右下（但不唯一）的折線，最終通過(guò)AC之間的中點(diǎn)，在對(duì)稱(chēng)著走一條折線，接著射出。
是否可能出現(xiàn)不是平行四邊形的更加復(fù)雜的軌跡呢？比如下面這個(gè)：
由于能量動(dòng)能量守恒，所以我們發(fā)現(xiàn)中間的多邊形不能存在除了與射入、射出軌跡相連的點(diǎn)以及CA兩點(diǎn)之外的突點(diǎn)，從而就只能是平行四邊形了。
如果入射的不單單是一個(gè)粒子，而是兩個(gè)粒子，那么就不只是平行四邊形的疊加，還會(huì)有對(duì)邊平行的平行六邊形的疊加，這連個(gè)入射粒子之間還會(huì)有相互作用——彼此的直接碰撞，或者彼此通過(guò)鬼粒子碰撞。
到這里，基本上對(duì)于這一類(lèi)系統(tǒng)中的完全彈性碰撞問(wèn)題就基本都清楚了。
當(dāng)然，問(wèn)題本身還可以繼續(xù)拓展，比如作為出口的C如果和A不是“平行”的，比如所有進(jìn)入A的粒子在從C出來(lái)的時(shí)候并不保持原方向，而是有一個(gè)偏向，那么事情就又好玩了，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)此時(shí)C-A蟲(chóng)洞的作用不單單是提供了一個(gè)位置上的偏移，還提供了一個(gè)轉(zhuǎn)折。
還可以追問(wèn)，如果這樣的蟲(chóng)洞不止一組，而是有兩組甚至多組，會(huì)怎么樣？
這些問(wèn)題這次就不分析了。
下面來(lái)扯一些更加有趣也更加扯淡的東西。
從上面的分析與計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象，那就是原本一個(gè)初始條件只有一個(gè)必然結(jié)果的經(jīng)典力學(xué)，現(xiàn)在有了完全不同的面貌——我們完全不知道最后的結(jié)果會(huì)是什么了。
而且，更有趣的是，這樣的相互作用很容易讓人想到量子場(chǎng)論中的Φ4理論。
Φ4理論中如果只考慮一個(gè)粒子，那么我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)粒子在最低階近似（樹(shù)圖）下和經(jīng)典物理是相同的，但一旦引入圈圖，問(wèn)題就變得不一樣了。
單粒子Φ場(chǎng)的一階展開(kāi)是一次真空漲落與該粒子的耦合：
二階圈圖則可以很負(fù)責(zé)，除了兩個(gè)單圈疊加（從而有兩個(gè)圈與粒子世界線相切），還有這種形式：
和這種形式：
不知道你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，這樣的圖和前面話說(shuō)的軌跡圖是很像的呀，只要將A和C看作是同一個(gè)點(diǎn)（比如一個(gè)圓筒剖開(kāi)，剖線正好經(jīng)過(guò)A/C點(diǎn)，于是在上面將它視為A，下面將它視為C，但其實(shí)是同一個(gè)點(diǎn)），那兩邊就是完全相同的了！
而在直線從圓中穿過(guò)的圖，如果我們將上半部分圓弧的中點(diǎn)視為AC蟲(chóng)洞，那么真空漲落粒子可以通過(guò)AC蟲(chóng)洞，也可以不通過(guò)，這兩個(gè)情況就對(duì)應(yīng)了前面分析中的入射粒子不穿越蟲(chóng)洞和穿越蟲(chóng)洞一次這兩個(gè)情況。
那么，下面的圓圈疊圓圈又表示什么呢？
這個(gè)其實(shí)是計(jì)算中一直沒(méi)考慮的情況：一個(gè)鬼粒子沖出來(lái)和入射粒子發(fā)生一次碰撞，同時(shí)另一個(gè)鬼粒子也出現(xiàn)，并和第一個(gè)鬼粒子發(fā)生了直線上的完全彈性碰撞。這并不會(huì)改變?nèi)魏谓Y(jié)果，事實(shí)上都可以認(rèn)為這兩個(gè)粒子以及入射粒子三者一點(diǎn)碰撞都沒(méi)發(fā)生過(guò)。
大概，軌跡圖和場(chǎng)論中的費(fèi)曼圖之間的區(qū)別就僅僅是每張圖的對(duì)稱(chēng)因子了吧。
前面是從圖的角度來(lái)數(shù)的，從更加物理的角度來(lái)說(shuō)，兩者當(dāng)然也有不同，比如在計(jì)算上，圈圖很容易導(dǎo)致發(fā)散，在有蟲(chóng)洞的經(jīng)典物理中則沒(méi)有發(fā)散，歐耶。另一方面，經(jīng)典情況下鬼粒子的質(zhì)量雖然是任意的，但所有粒子都必須滿足在殼條件，但這在量子下卻不需要——所以才會(huì)發(fā)散。而相同點(diǎn)是，費(fèi)曼圖在交點(diǎn)上也必須滿足能量動(dòng)量守恒。而在線的意義上，軌跡圖和費(fèi)曼圖中的線都表示傳播子，只不過(guò)軌跡圖的傳播子還是經(jīng)典的傳播子，場(chǎng)論中的線的傳播子已經(jīng)是場(chǎng)的自由解，從而不再是經(jīng)典路徑所代表的傳播子了。
因此，大概要在這種情況下推出不確定關(guān)系是不大可能的了——雖然現(xiàn)在我們已經(jīng)看到粒子的位置并不是那么“確定”了。
總結(jié)一下吧。
給經(jīng)典物理的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題——自由粒子運(yùn)動(dòng)——加上一個(gè)類(lèi)時(shí)蟲(chóng)洞后，我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)典物理的機(jī)械決定觀已經(jīng)發(fā)生了很不一樣的改變了。
我們現(xiàn)在幾乎不能確定粒子到底會(huì)沿著什么樣的軌跡運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樯鲜鏊薪舛际峭瑯雍侠淼乜梢詫?shí)際存在的軌跡。
我們或許可以爭(zhēng)辯那些由于蟲(chóng)洞的出現(xiàn)而發(fā)生的碰撞并不具有良好的魯棒性——從而輕微的擾動(dòng)就能導(dǎo)致碰撞的不會(huì)發(fā)生。但無(wú)論如何，現(xiàn)在經(jīng)典物理已經(jīng)變得模糊不清了。
我們并不清楚在這種情況下經(jīng)典物理到底是否會(huì)成為所有可能路徑的求和，從而需要使用路徑積分——倘若真的如此的話，那具有蟲(chóng)洞的經(jīng)典物理和量子場(chǎng)論之間的區(qū)別，大概就是這里被積分的泛函必須滿足在殼條件了吧。。。
而如果這里不需要對(duì)所有可能的請(qǐng)款做求和的話，那我們就面臨另一個(gè)有趣的問(wèn)題——我們?cè)趺粗赖降装l(fā)生的是哪一種情況？
或許，此時(shí)就只能認(rèn)為，由于魯棒性要求，所欲那些具有碰撞的解都不會(huì)發(fā)生了吧。
另，難道沒(méi)人覺(jué)得這很像海因萊因的那篇經(jīng)典的科幻小說(shuō)，《All are you zombie》，么？它的電影版就是今年年初澳大利亞的電影《前目的地Predestination》。
如果你覺(jué)得這篇東西寫(xiě)得還行，愿意打賞我一口咖啡，請(qǐng)戳打賞頁(yè)～～
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如果你還不知道這位的話，那你一定知道《星際穿越》了。這部片子里那個(gè)牛逼的黑洞就是在索恩老師的直到下算出來(lái)的。 ?
