（參考百度百科）
導數(shù)定義：
設函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在x0處有增量Δx，(x0+Δx)也在該鄰域內(nèi)時，相應地函數(shù)取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy與Δx之比當Δx→0時極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)記作
導函數(shù)：
如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)每一點都可導，就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)可導。這時函數(shù)y=f(x)對于區(qū)間內(nèi)的每一個確定的x值，都對應著一個確定的導數(shù)值，這就構成一個新的函數(shù)，稱這個函數(shù)為原來函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)，記作y'、f'(x)、dy/dx或df(x)/dx，簡稱導數(shù)。
幾何意義：
函數(shù)y=f(x)在x0點的導數(shù)f'(x0)的幾何意義：表示函數(shù)曲線在點P0(x0,f(x0))處的切線的斜率（導數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點上的切線斜率）。
偏導數(shù)：
偏導數(shù)的表示符號為:?。
x方向的偏導
設有二元函數(shù) z=f(x,y) ，點(x0,y0)是其定義域D 內(nèi)一點。把 y 固定在 y0而讓 x 在 x0?有增量 △x ，相應地函數(shù) z=f(x,y) 有增量（稱為對 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果 △z 與 △x 之比當 △x→0 時的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù) z=f(x,y) 在 (x0,y0)處對 x 的偏導數(shù)，記作 f'x(x0,y0)或。函數(shù) z=f(x,y) 在(x0,y0)處對 x 的偏導數(shù)，實際上就是把 y 固定在 y0看成常數(shù)后，一元函數(shù)z=f(x,y0)在 x0處的導數(shù)。
y方向的偏導
同樣，把 x 固定在 x0，讓 y 有增量 △y ，如果極限存在那么此極限稱為函數(shù) z=(x,y) 在 (x0,y0)處對 y 的偏導數(shù)。記作f'y(x0,y0)。
幾何意義：
偏導數(shù) f'x(x0,y0) 表示固定面上一點對 x 軸的切線斜率；偏導數(shù) f'y(x0,y0) 表示固定面上一點對 y 軸的切線斜率
高階導數(shù)：
一階導數(shù)的導數(shù)稱為二階導數(shù)，二階以上的導數(shù)可由歸納法逐階定義。二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)。
y = f(x)的導數(shù) y = f'(x)仍是 x 的函數(shù)，通常把導函數(shù)y=f'(x) 的導數(shù)叫做函數(shù)的二階導數(shù)，記作:f''(x),y"? 即
或者寫成：
類似地，二階導數(shù)的導數(shù)叫做三階導數(shù)，三階導數(shù)的導數(shù)叫做四階導數(shù)…… . 一般地，n-1階導數(shù)的導數(shù)叫做 n 階導數(shù)，即
分別記作：
或者寫為：
二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)。
高階導數(shù)的計算法則：
1. u(x),v(x)和的n階導數(shù)
設函數(shù)u(x),v(x)在點x都具有n階導數(shù)，則有：
2??u(x),v(x)積的n階導數(shù) （萊布尼茲公式）：
設函數(shù)u(x),v(x)在點x都具有n階導數(shù)：則有
復合函數(shù)及鏈式法則：
鏈式法則是求復合函數(shù)的導數(shù)（偏導數(shù)）的法則。
從一元函數(shù)出發(fā)，設?x 是實數(shù)，f 和 g?是從實數(shù)映射到實數(shù)的函數(shù)。假設 y=g(x)，且 u=f(g(x))=f(y)，即?u 是 x?的符合函數(shù)。是指
這個結論可推廣到任意有限個函數(shù)復合到情形，于是復合函數(shù)的導數(shù)將是構成復合這有限個函數(shù)在相應點的 導數(shù)的乘積，就像鎖鏈一樣一環(huán)套一環(huán)，故稱鏈式法則。
多元函數(shù)的鏈式法則：
若多元函數(shù) u=g(y1,y2,...,ym) 在點 ??=(b1,b2,...,bm) 處可微，bi=fi(a1,a2,...,an)(i=1,2,...,m)，每個函數(shù) fi(x1,x2,...,xn) 在點 (a1,a2,...,an) 處都可微，則函數(shù) u=g(f1(x1,x2,...,xn)，f2(x1,x2,...,xn),...,fm(x1,x2,...,xn)) 也在(a1,a2,...,an) 處可微，且
這就是多元函數(shù)的鏈式法則，若同時考察一組（p 個）復合函數(shù) u1,u2,...,up，其中 uk=gk(fi(x1,x2,...,xn),f2(x1,x2,...,xn),...,fm(x1,x2,...,xn))(k=1,2,...,p)，將它們的偏導數(shù)寫成矩陣（雅可比矩陣)，則可以看到鏈式法則在形式上更有規(guī)律性，這時
若對于上面考察的這些函數(shù)，令 ??=(g1,g2,...,gp)，??=(f1,f2,...,fm)，于是，?? 是 p 維向量值函數(shù)（定義與 ??m?的子集上），?? 是 m 維向量值函數(shù)（定義于??n?的子集上），按照定義，它們的導數(shù)是相應的雅可比矩陣，
等式右端為兩矩陣??‘ (?? (??)) 與??‘ (??) 的矩陣乘積），其中??=(a1,a2,...,an).這就是向量值函數(shù)的鏈式法則，它在形式上與一元函數(shù)的鏈式法則完全相同
函數(shù)的凹凸性：
中國數(shù)學界關于函數(shù)凹凸性定義和國外很多定義是反的。國內(nèi)教材中的凹凸，是指曲線，而不是指函數(shù)，圖像的凹凸與直觀感受一致，卻與函數(shù)的凹凸性相反。只要記住“函數(shù)的凹凸性與曲線的凹凸性相反”就不會把概念搞亂了
定義：如果定義在某一區(qū)間上的一元實函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，且對這一區(qū)間中的任何兩點X1、X2，當X1<X2 時，有不等式
其中q1、q2為正數(shù)，q1+q2=1，這時，我們把函數(shù)f(x)叫做凹函數(shù)，或叫做下凸函數(shù)。
如果把上述條件中的“≥”改成“>”，則叫做嚴格凹函數(shù)，或叫做嚴格下凸函數(shù)。
如果y=f(x)是(嚴格)凹函數(shù)，那么它的圖象是(嚴格)凹曲線，或叫做(嚴格)下凸曲線。
如果一元實函數(shù)f(x)在某區(qū)間二階可導，那么這一函數(shù)為凹函數(shù)的充要條件是在這一區(qū)間上恒有f‘’(x)≤0(對于嚴格凹函數(shù)，只要改成f‘’(x)<0就可以了)。
設函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)連續(xù)可導且滿足f''(x)>0；設x1
因ax1+(1-a)x2-x1=(1-a)(x2-x1)>0；
則x1
根據(jù)拉格朗日中值定理。
必存在x1<μ< ax1+(1-a)x2；
使f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)= (1-a)(x2-x1)f'(μ)；
同理。
存在ax1+(1-a)x2<ξ
使f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]= a(x2-x1)f'(ξ)；
故a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}- (1-a){f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]}=a (1-a)(x2-x1)[f’(μ)- f’(ξ)]；
根據(jù)拉格朗日中值定理。
有μ<δ<ξ；
f'(μ)- f'(ξ)=(μ-ξ)f''(δ)；
因f''(x)>0；
則f'(μ)- f'(ξ)<0；
則a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}- (1-a){f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]}<0；
整理后得f[ax1+(1-a)x2]
同理，若f''(x)≤0，則結果相反 。
即若f''(x)≤0，則f[ax1+(1-a)x2]≥af(x1)+(1-a)f(x2)；滿足凹函數(shù)的定義。
證明完畢；
泰勒公式：
泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠平滑的話，在已知函數(shù)在某一點的各階導數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數(shù)值做系數(shù)構建一個多項式來近似函數(shù)在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函數(shù)值之間的偏差。
若函數(shù)f(x)在包含x0的某個閉區(qū)間[a,b]上具有n階導數(shù)，且在開區(qū)間(a,b)上具有(n+1)階導數(shù)，則對閉區(qū)間[a,b]上任意一點x，成立下式：
其中，
實際應用中，泰勒公式需要截斷，只取有限項，一個函數(shù)的有限項的泰勒級數(shù)叫做泰勒展開式。泰勒公式的余項可以用于估算這種近似的誤差。
