前提：數(shù)據(jù)正態(tài)性是諸如回歸分析、方差分析等進行前需要進行的判斷。

1. 所有方法：

• 首先最常用的方法是圖示法，包括正態(tài)圖和P-P/Q-Q圖。正態(tài)圖看一下是不是“鐘形”分布曲線；P-P是查看實際數(shù)據(jù)累積比例與對應(yīng)正態(tài)分布累積比例的散點圖；Q-Q是查看實際數(shù)據(jù)與對應(yīng)正態(tài)分布分位數(shù)的符合程度。

• 其次是正態(tài)性檢驗方法，利用觀測數(shù)據(jù)判斷總體是否服從正態(tài)分布的檢驗稱為正態(tài)性檢驗，它是統(tǒng)計判決中重要的一種特殊的擬合優(yōu)度假設(shè)檢驗。

• 最后是描述法（偏度-峰度檢驗法），即通過描述數(shù)據(jù)偏度和峰度系數(shù)來檢驗數(shù)據(jù)的正態(tài)性。參考正態(tài)分布的偏度為0，峰度為3（實際應(yīng)用中通常將峰度值減去3，根據(jù)具體的軟件需要注意）。一般現(xiàn)實數(shù)據(jù)是不可能達到這個要求的，所以如果峰度絕對值小于10并且偏度絕對值小于3，即可判定數(shù)據(jù)基本為正態(tài)分布。

幾種方法對比。從上面介紹可以看出，正態(tài)性檢驗最為苛刻，而實際中可能存在樣本不足的情況，此時如果數(shù)據(jù)的圖示法基本符合正態(tài)分布也是可行的。同時，采用偏度峰度的判別方法也簡單可行，但容易受到異常值的影響。

一般而言，如果原始數(shù)據(jù)不滿足正態(tài)分布（比如偏態(tài)分布），通過取對數(shù)、開根號這種數(shù)據(jù)變換方法可使數(shù)據(jù)更接近正態(tài)性。

2. 正態(tài)性檢驗方法：

檢驗方法

• Shapiro-Wilktest（夏皮羅維爾克檢驗法，W檢驗）：Shapiro-Wilk檢驗需要首先對數(shù)據(jù)進行排序，統(tǒng)計量可以看做是排序值與最佳無偏線性估計值之間的平方，值越高，代表樣本與正態(tài)分布更匹配。W統(tǒng)計量計算公式參見Shapiro-Wilk。
• Kolmogorov-Smirnov（科爾莫戈羅夫檢驗法，K-S檢驗）：Kolmogorov-Smirnov檢驗是基于累計分布函數(shù)的，單樣本K-S檢驗可用于檢測一個數(shù)據(jù)的觀測值是否符合特定的理論分布（比如正態(tài)分布等）；兩樣本的K-S檢驗可用于比較兩個觀測樣本的經(jīng)驗函數(shù)是否存在顯著差異。K-S檢驗是一種穩(wěn)健的非參數(shù)化方法，不依賴于均值位置、適用范圍廣。K-S統(tǒng)計量的計算公式參見Kolmogorov-Smirnov。

檢驗思路【重點】

• 檢驗問題：W檢驗與K-S檢驗的原假設(shè)H0為：總體服從正態(tài)分布。
• 判斷思路：因為原始假設(shè)為數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布，所以如果得到的顯著性值很?。ㄐ∮谠O(shè)定的0.01,0.005,0.001等），那么原假設(shè)被推翻，說明數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布；反之，如果統(tǒng)計變量的顯著性值大于設(shè)定的顯著性水平，那么原假設(shè)成立，數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布（簡單來說，p>0.05是我們的目標，如果滿足，即可說明數(shù)據(jù)滿足正態(tài)性分布）。

方法對比

• 原理不同：上述可知兩個方法的基本原理不一致。
• 樣本量大?。涸谶x擇時，經(jīng)常依據(jù)樣本量的大小進行選擇。對于W檢驗，適用于小樣本，作者推薦樣本量小于20的時候使用（參考Shapiro-Wilk），SPSS統(tǒng)計軟件以及搜索資料發(fā)現(xiàn)，在樣本量小于50時，推薦使用W檢驗；在樣本量位于50-5000的情況下，可以同時考慮W檢驗和K-S檢驗；在樣本量大于5000時，一般只使用K-S檢驗（SPSS在樣本量大于5000時只顯示K-S統(tǒng)計量）。

3. SPSS、R和Python語言代碼實戰(zhàn)

SPSS

• 采用SPSS進行分析的方法，直接一搜索能出來好多，很簡單（可參見spss如何進行正態(tài)性檢驗）。

R語言

• 對于R語言，參見多組多個變量的正態(tài)性檢驗，可知基本函數(shù)如下。

# W 檢驗
shapiro.test(mydata$age)

# K-S檢驗采用nortest包中的lillie.test()函數(shù)來實現(xiàn)
library(ggplot2)
head(diamonds)
install.packages("nortest")
library(nortest)

lillie.test(diamonds$price)

Python語言

下面展示下用Python中的scipy包進行檢驗。

• W檢驗
  函數(shù)形式：scipy.stats.shapiro(x)
  官方鏈接：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.shapiro.html
  主要參數(shù)：x為輸入的樣本數(shù)據(jù)。不管樣本量如何，當(dāng)原假設(shè)成立時，拒絕原假設(shè)的概率接近5%。

from scipy import stats
rng = np.random.default_rng()
x = stats.norm.rvs(loc=5, scale=3, size=100, random_state=rng)

shapiro_test = stats.shapiro(x)

shapiro_test
ShapiroResult(statistic=0.9813305735588074, pvalue=0.16855233907699585)

shapiro_test.statistic
0.9813305735588074

shapiro_test.pvalue
0.16855233907699585

• K-S檢驗
  函數(shù)形式：scipy.stats.kstest(rvs, cdf, args=(), N=20, alternative='two-sided', mode='auto')
  官方鏈接：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.kstest.html
  主要參數(shù)：rvs為待檢驗的數(shù)組或列表；cdf為檢驗方法，如果是單樣本檢驗，數(shù)值為'norm', 'expon', 'rayleigh', 'gamma'等，設(shè)置為'norm’即為正態(tài)性檢驗；默認是雙邊檢驗；N設(shè)置輸入的rvs為變量生成函數(shù)時指定數(shù)組的長度；其他變量不解釋了。

from scipy import stats
x = np.linspace(-15, 15, 9)
stats.kstest(x, 'norm')
# 輸出：KstestResult(statistic=0.444356027159..., pvalue=0.038850140086...)

• 偏度-峰度檢驗
  函數(shù)形式：scipy.stats.normaltest(a, axis=0, nan_policy='propagate')
  官方鏈接：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.normaltest.html
  主要參數(shù)：a，為包含待測試樣本的數(shù)組；axis，計算測試所沿著的軸，默認值為0，如果為None，則計算整個數(shù)組a；nan_policy定義當(dāng)輸入包含nan時如何處理。

from scipy import stats
rng = np.random.default_rng()
pts = 1000
a = rng.normal(0, 1, size=pts)
b = rng.normal(2, 1, size=pts)
x = np.concatenate((a, b))

k2, p = stats.normaltest(x)

4 完結(jié)

從應(yīng)用角度來看很簡單，在Python下，就是stats.normaltest(x)、stats.kstest(x, 'norm')以及stats.shapiro(x)三個的調(diào)用，后兩者在樣本量為50和5000時進行區(qū)分調(diào)用。

其他參考資料：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/70755099
https://www.statsref.com/HTML/index.html
https://www.51xxziyuan.com/58/1287.html