5.1對流微分方程組的精確解（假設(shè)過程不精確，解方程精確）

1.方程組如下

\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\\ \rho(\frac{\partial u}{\partial \tau}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=F_x-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})\\ \rho(\frac{\partial v}{\partial \tau}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y})=F_x-\frac{\partial p}{\partial y}+\eta(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2})\\ \lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}+\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}=\rho C_p(\frac{\partial t}{\partial \tau}+u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})\\ h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x}\text{(解流場，得到溫度場，得到局部對流換熱系數(shù))} \end{cases}\tag{微分方程組完全體}

在只有重力場的作用下，體積力F_x=\rho g_x,F_y=\rho g_y

流動邊界層和熱邊界層的狀況決定了熱傳遞過程和邊界層內(nèi)溫度分布

2.采用邊界層理論分析數(shù)量級大小，對偏微分方程組進行簡化

數(shù)量級分析：保留量級較大的量，舍去量級較小的量

000.png

下標(biāo)∞表示原理壁面，邊界層厚度\delta，\delta_t隨x方向變化，是x的函數(shù)

取五個基本量來定義量級

①.主流速度u_\infty \sim O(1)主流速度比如為10m/s，是一個大量，量級定義為O(1)

②.溫度t \sim O(1)，無論是壁面溫度，流體溫度都是大量（工程中冷卻或加熱，不可能接近0K）

③.平板長度l \sim O(1)，平板長度一般都不小

④.邊界層厚度\delta \sim O(\delta)，\delta_t \sim O(\delta),邊界層厚度為平板長度的1.8%,括號里面的delta表示小量，這也是邊界層厚度的符號用\delta表示的原因

5個基本量的量綱確定，現(xiàn)在來看其他量大小

①.x相對于l來說是相當(dāng)，x \sim l\sim O(1);0\leq y\leq \delta,\therefore y\sim O(\delta)

O(1),O(\delta)表示數(shù)量級1和\delta,1>>\delta.

例：簡化-①二維②穩(wěn)態(tài)(與時間的偏微分為0)③強制對流（忽略浮升力）④層流⑤忽略重力加速度g(沒有體積力Fx和Fy)

u是沿著邊界層從0變化到u∞,u\sim u\infty\sim O(1)是個小量到大量，所以這里體現(xiàn)了不嚴格的地方

v是沿著y方向的速度，如果沒有y方向上的速度，流體就不會增厚（盡管很小，但是不是0），是一個小量

推導(dǎo)過程,連續(xù)性方程

\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\\ \therefore -\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}\sim \frac{u_\infty}{l}=\frac{O(1)}{O(1)}=1\\ \therefore -\frac{\partial v}{\partial y}\sim \frac{v}{O(\delta)}\sim O(1)\\ \therefore v\sim O(\delta)

3.大部分的量的大小都有了，我們帶入微分方程組

①連續(xù)性方程，這兩個方向上的速度分量互相平衡，推出了v為小量

\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\\ \color{#00F}{\frac{1}{1}}~~~~~~\color{#00F}{\frac{\delta}{\delta}}~~~~~~~ \end{aligned}

②x方向上u的動量方程,密度\rho一般為大量，\eta為O(\delta ^2)

注意二階偏導(dǎo)數(shù)\frac{\partial u^2}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial u}{\partial x}),所以\frac{\partial u^2}{\partial x^2}\sim\frac{1}{1^2},同理\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\sim \frac{1}{\delta ^2}

\begin{aligned} \rho(\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})\\ \color{#00F}{1(\frac{1}{1}~~~~~~~\delta\frac{1}\delta)~~~~~~~~?①~~~~?②(\frac{1}{1^2}~~~~~\frac{1}{\delta^2})~~~}\\ \end{aligned}

現(xiàn)在分析下兩個未知量級的量，根據(jù)牛頓定律，力產(chǎn)生加速度，等式右邊與左邊平衡。等市左邊是量級為O(1)的量，因此等式右邊必須為O(1)

因此，\frac{\partial p}{\partial x}必須\sim O(1) \therefore \frac{\partial p}{\partial x}\sim\frac{1}{1}

同樣的道理， \eta乘以一個\frac{1}{\delta ^2}的量為O(1)，因此\eta \sim \delta^2

\begin{aligned} \rho(u \frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})\\ \color{#00F}{1(1\frac{1}{1}~~~~~~~\delta\frac{1}\delta)~~~~~~~~\frac{1}{1}~~~~~~\delta^2(\frac{1}{1^2}~~~~~\frac{1}{\delta^2})~~~}\\ \end{aligned}

觀察\delta^2 \frac{1}{1^2}是一個小量，因此上面的式子可以簡化一項

\require{cancel} \rho(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta(\cancel{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2})
\therefore \color{#F00}{\rho(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\tag{1}

③y方向上v的動量方程，較為簡單

\begin{aligned} \rho(u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial y}+\eta(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2})\\ \color{#00F}{1(1\frac{\delta}{1}~~~~~~~\delta\frac{\delta}\delta)~~~~~~~~~~?①~~~\delta^2(\frac{\delta}{1^2}~~~~~\frac{\delta}{\delta^2})~~~}\\ \end{aligned}

分析上面的量級關(guān)系，同樣由于平衡，等式左邊是O(\delta)量級，所以\frac{\partial p}{\partial y}也為O(\delta)量級，整個方程平衡，都為小量，y方向上的動量守恒方程直接整體省略

\begin{aligned} \require{cancel} \color{#00F}{1(1\frac{\delta}{1}~~~~~~~~\delta\frac{\delta}\delta)~~~~~~~~~~~\delta~~~~~~~\delta^2(\frac{\delta}{1^2}~~~~~\frac{\delta}{\delta^2})~~~}\\ \cancel{\rho(u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial y}+\eta(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2})}\\ \end{aligned}

④還剩下一個能量方程，空氣的比熱Cp為1005左右為大量，盡管密度很小，但是\rho\cdot c_p為大量

\begin{aligned} \lambda(\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2t}{\partial y^2})=\rho C_p(u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})\\ \color{#00F}{\delta_t^2(\frac{1}{1^2}~~~~~~~~\frac{1}{\delta^2})~~~~~~~~~~~1(1\frac{1}{1}~~~~~\delta\frac{1}{\delta})~~~}\\ \end{aligned}

觀察上式，\frac{1}{1^2}遠小于\frac{1}{\delta ^2}，因此溫度隨x方向的二階偏微分可以省略

\require{cancel} \cancel{\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial x^2}}+\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}=\rho C_p(u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})\\ \therefore \color{#F00}{\rho C_p(u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})=\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}}\tag{2}

4.簡化后，我們把方程組寫出來，現(xiàn)在只有3個方程+1目標(biāo)方程.

\begin{cases} \color{#F0F}{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}\\ \color{#F0F}{\rho(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\\ \color{#F0F}{\lambda\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}=\rho C_p(u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y})}\\ \color{#F0F}{{h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x}}} \end{cases}\tag{3}

由于我們直接刪除了一個方程，上面的方程組4個，未知數(shù)5個（u,v,p,t,h）

還有一個方程去哪里補充？注意到我們在推導(dǎo)y方向上壓力偏微分為小量，同時得到了一個信息，壓力p沿著x方向變化，沿著y方向幾乎不變化,邊界層內(nèi)壓力與y無關(guān)，為主流壓力，需要推導(dǎo)新增壓力公式，如下：

\require{cancel} \because \rho(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\\ 在主流處，u\approx u_\infty,速度u在y方向無變化，對y的偏導(dǎo)數(shù)全為0\\ \color{#F0F}{\frac{\partial p}{\partial y}\sim O(\delta)~~~~~~~~~\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{dp}{dx}\sim O(1)}\\ \rho(u\frac{\partial u}{\partial x}+\cancel{v\frac{\partial u}{\partial y}})=-\frac{\partial p}{\partial x}+\cancel{\eta\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\\
\therefore -\frac{dp}{dx}=\rho u_\infty\frac{du_\infty}{dx}\tag{3.5}

注意\lambda=\rho\cdot a\cdot c_p,a=\frac{\lambda}{\rho c_p}，同時運動粘度\nu=\eta /\rho,方程組(3)加入(3.5)變形為如下

\begin{cases} \color{#F00}{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}\\ \color{#F00}{u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dx}+\nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\\ \color{#F00}{u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y}=a\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}}\\ \color{#F00}{ -\frac{dp}{dx}=\rho u_\infty\frac{du_\infty}{dx}}\\ h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x} \end{cases}\tag{4}

6.平板流動模型下的方程組，壓力p為已知數(shù),四個未知數(shù)：u，v，t，hx

\begin{cases} \color{#F00}{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}\\ \color{#F00}{u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=\nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\\ \color{#F00}{u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y}=a\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}}\\ h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x} \end{cases}\tag{5}

方程組有兩個形式完全一樣,動量傳遞與熱量傳遞形式相似.再特殊一點，\nu=a，\delta=\delta_t (Pr=1)，速度場與無量綱的)溫度場一樣

課本上直接經(jīng)過無量綱化，得到動量方程于能量方程形式接近的比擬理論，將求摩擦系數(shù)的公式類比求得對流換熱系數(shù)hx

5.無量綱化：無量綱的坐標(biāo)X,Y;無量綱的壓力；無量綱的速度U,V;無量綱的過余溫度\Theta

X=\frac{x}{l};Y=\frac{y}{l};P=\frac{p}{\rho u^2_\infty};U=\frac{u}{u_\infty};V=\frac{v}{u_\infty};\Theta=\frac{t-t_w}{t_f-t_w}
方程組（4.1）到（4.4）變形為：
\begin{cases} \frac{\partial U}{\partial X}+\frac{\partial V}{\partial Y}=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(Re-雷諾數(shù))}\\ U\frac{\partial U}{\partial X}+V\frac{\partial U}{\partial Y}=-\frac{dP}{dX}+\frac{1}{Re}\frac{\partial^2 U}{\partial Y^2}\\ U\frac{\partial \Theta}{\partial X}+V\frac{\partial \Theta}{\partial Y}=\frac{1}{Re\cdot Pr}\frac{\partial ^2 \Theta}{\partial Y^2}~~~~~~~~~~~~~~~\text{(Pr-普朗特數(shù)，運動粘度與熱擴散系數(shù)的比值)}\\ \end{cases}\tag{6}

觀察上面的組合，不知道如何解也能大概知道如下關(guān)系,dp/dx為已知數(shù)不是變量

U=f_1(X,Y,Re);V=f_2(X,Y,Re);\\ \Theta=f_3(X,Y,U,V,Re,pr)=f_3(X,Y,Re,Pr)

6.平板流動模型下的方程組，壓力p為已知數(shù),四個未知數(shù)：u，v，t，hx

現(xiàn)在方程組中(6.2)與（6.3）形式很接近，多了一項，思考該流動模型的物理原型-平板

平板流動下，主流方向速度不隨x變化(外掠圓管形成卡門渦街，東莞虎門大橋波浪震動;管內(nèi)流動)

\because 平板模型u_\infty=const \therefore \frac{du_\infty}{dx}=0
去掉壓力項，未知數(shù)p也去掉，方程組依然封閉
\begin{cases} \color{#F00}{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}\\ \color{#F00}{u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=\nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}\\ \color{#F00}{u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y}=a\frac{\partial ^2t}{\partial y^2}}\\ h_x=-\frac{\lambda}{t_w-t_\infty}(\frac{\partial t}{\partial y})_{w,x} \end{cases}\tag{平板簡化}

無量綱方程組順便簡化

\begin{cases} \frac{\partial U}{\partial X}+\frac{\partial V}{\partial Y}=0\\ U\frac{\partial U}{\partial X}+V\frac{\partial U}{\partial Y}=\frac{1}{Re}\frac{\partial^2 U}{\partial Y^2}\\ U\frac{\partial \Theta}{\partial X}+V\frac{\partial \Theta}{\partial Y}=\frac{1}{Re\cdot Pr}\frac{\partial ^2 \Theta}{\partial Y^2}\\ \end{cases}\tag{7}

現(xiàn)在U,V,\Theta的分布都是（0，1）,因此速度場接出來就可以類比得到溫度場下，然后解除換熱系數(shù)。

完整推導(dǎo)過程不做要求

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