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GBB (Gaussian Bounding Box)

GBB，全稱高斯邊界框 (Gaussian Bounding Box)，是一種用二維高斯分布來表示邊界框的方法。傳統(tǒng)的邊界框（無論是水平的 HBB 還是旋轉(zhuǎn)的 OBB）通常用幾個離散的參數(shù)來定義（例如中心點、寬高、角度）。而 GBB 則將邊界框看作是一個概率分布，具體來說，是一個二維高斯（正態(tài)）分布。

二維高斯分布參數(shù)定義

均值向量 (Mean Vector) $\boldsymbol{\mu}$
一個二維向量 $(\mu_x, \mu_y)$ ，表示高斯分布的中心，通常對應(yīng)于目標(biāo)對象的中心點 $(c_x, c_y)$ 。數(shù)學(xué)形式為：
$\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} \mu_x \\ \mu_y \end{bmatrix}$

協(xié)方差矩陣 (Covariance Matrix) $\boldsymbol{\Sigma}$
一個 $2 \times 2$ 的對稱半正定矩陣，描述數(shù)據(jù)點圍繞均值的分布形狀和方向。其形式為：
$\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_x^2 & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_y^2 \end{bmatrix}$
其中：

對角線元素 $\sigma_x^2, \sigma_y^2$ ：分別表示 $x$ 和 $y$ 方向上的方差。
非對角線元素 $\sigma_{xy}$ （等于 $\sigma_{yx}$ ）：表示 $x$ 和 $y$ 之間的協(xié)方差，反映分布的傾斜程度或方向。

公式說明

均值向量：
$\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} \mu_x \\ \mu_y \end{bmatrix}$
協(xié)方差矩陣：
$\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_x^2 & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_y^2 \end{bmatrix}$

OBB轉(zhuǎn)換為GBB

OBB 到 GBB 的轉(zhuǎn)換過程

OBB 參數(shù)定義

有向包圍盒（Oriented Bounding Box, OBB）由以下參數(shù)描述：

中心點： $(c_x, c_y)$
半長軸長度： $a$ （沿主方向）
半寬軸長度： $b$ （沿次方向）
旋轉(zhuǎn)角度： $\theta$ （主方向相對于 $x$ 軸的逆時針角度）

GBB 參數(shù)定義

目標(biāo)高斯分布參數(shù)（Gaussian Bounding Box, GBB）包括：

均值向量 $\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} c_x \\ c_y \end{bmatrix}$
協(xié)方差矩陣 $\boldsymbol{\Sigma}$ （需從 OBB 推導(dǎo)）

轉(zhuǎn)換步驟

均值向量確定
直接繼承 OBB 的中心點：
$\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} c_x \\ c_y \end{bmatrix}$
協(xié)方差矩陣推導(dǎo)
協(xié)方差矩陣 $\boldsymbol{\Sigma}$ 的幾何意義與橢圓分布的主軸方向一致，推導(dǎo)步驟如下：
- 步驟 1：構(gòu)造縮放矩陣
  將 OBB 的半長軸 $a$ 和半寬軸 $b$ 轉(zhuǎn)換為橢圓的軸長標(biāo)準差 $\sigma_x, \sigma_y$ ：
  $\sigma_x = \frac{a}{\sqrt{12}}, \quad \sigma_y = \frac{\sqrt{12}}$
  （注：假設(shè) OBB 覆蓋 12σ 范圍）
  
  縮放矩陣為：
  $\mathbf{S} = \begin{bmatrix} \sigma_x^2 & 0 \\ 0 & \sigma_y^2 \end{bmatrix}$
- 步驟 2：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣
  根據(jù) OBB 的旋轉(zhuǎn)角度 $\theta$ ，定義旋轉(zhuǎn)矩陣 $\mathbf{R}(\theta)$ ：
  $\mathbf{R}(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$
- 步驟 3：計算協(xié)方差矩陣
  協(xié)方差矩陣 $\boldsymbol{\Sigma}$ 是旋轉(zhuǎn)和縮放的組合：
  $\boldsymbol{\Sigma} = \mathbf{R}(\theta) \cdot \mathbf{S} \cdot \mathbf{R}(\theta)^\top$
  
  展開計算：
  $\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_x^2 & 0 \\ 0 & \sigma_y^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$
- 步驟 4：簡化結(jié)果
  最終協(xié)方差矩陣的顯式形式為：
  $\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_x^2 \cos^2\theta + \sigma_y^2 \sin^2\theta & (\sigma_x^2 - \sigma_y^2) \sin\theta \cos\theta \\ (\sigma_x^2 - \sigma_y^2) \sin\theta \cos\theta & \sigma_x^2 \sin^2\theta + \sigma_y^2 \cos^2\theta \end{bmatrix}$

公式總結(jié)

均值向量：
$\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} c_x \\ c_y \end{bmatrix}$
協(xié)方差矩陣：
$\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} \frac{a^2}{12} \cos^2\theta + \frac{b^2}{12} \sin^2\theta & \left(\frac{a^2}{12} - \frac{b^2}{12}\right) \sin\theta \cos\theta \\ \left(\frac{a^2}{12} - \frac{b^2}{12}\right) \sin\theta \cos\theta & \frac{a^2}{12} \sin^2\theta + \frac{b^2}{12} \cos^2\theta \end{bmatrix}$

注意事項

方向定義：旋轉(zhuǎn)角度 $\theta$ 是 OBB 主軸相對于 $x$ 軸的逆時針角度。
3σ 假設(shè)：假設(shè) OBB 的邊長遠大于高斯分布的 3σ 范圍，實際應(yīng)用中可根據(jù)需求調(diào)整系數(shù)。
對稱性驗證：最終協(xié)方差矩陣 $\boldsymbol{\Sigma}$ 必須是對稱且半正定的。

ProbIoU

ProbIoU 是一種用于衡量兩個概率性邊界框（通常是高斯邊界框 GBB）之間相似度或重疊程度的指標(biāo)或損失函數(shù)。它與傳統(tǒng)的 IoU (Intersection over Union) / GIoU / DIoU / CIoU 以及旋轉(zhuǎn)框的 RIoU (Rotated IoU) 不同，因為它不是直接計算幾何形狀的交集和并集面積比，而是基于概率分布的度量。

為計算不同 GBB 間的相似度，本文首先采用了 Bhattacharyya Coefficient( $B_C$ )。兩個概率密度函數(shù) $p(x)$ 和 $q(x)$ 間的 $B_C$ 按下列公式進行計算：

$BC(p, q) = \int_{\mathbb{R}^2} \sqrt{p(x)q(x)} \, dx$

其中 $B_C(p, q) \in [0, 1]$ ，當(dāng)且僅當(dāng)兩個分布相同時， $B_C(p, q) = 1$ 。

基于上述 $B_C(p, q)$ ，可以得到不同分布間的巴氏距離 (Bhattacharyya Distance, $B_D$ )。兩個概率密度函數(shù) $p(x)$ 和 $q(x)$ 間的 $B_D$ 按下列公式進行計算：

$B_D(p, q) = -\ln B_C(p, q)$

當(dāng) $p \sim \mathcal{N}(\mu_1, \Sigma_1)$ ， $q \sim \mathcal{N}(\mu_2, \Sigma_2)$ 且目標(biāo)檢測中實際問題為 2 維向量及矩陣時，巴氏距離 $B_D$ 可通過如下公式進行計算：

$B_D = B_1 + B_2$

$B_1 = \frac{1}{4} \cdot \frac{(a_1 + a_2)(y_1 - y_2)^2 + (b_1 + b_2)(x_1 - x_2)^2 + 2(c_1 + c_2)(x_2 - x_1)(y_1 - y_2)}{(a_1 + a_2)(b_1 + b_2) - (c_1 + c_2)^2}$

$B_2 = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{(a_1 + a_2)(b_1 + b_2) - (c_1 + c_2)^2}{4\sqrt{(a_1b_1 - c_1^2)(a_2b_2 - c_2^2)}} \right)$

參數(shù)定義：

$\mu_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}, \quad \Sigma_1 = \begin{bmatrix} a_1 & c_1 \\ c_1 & b_1 \end{bmatrix}, \quad \mu_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}, \quad \Sigma_2 = \begin{bmatrix} a_2 & c_2 \\ c_2 & b_2 \end{bmatrix}$

由于 Bhattacharyya Distance 不滿足三角不等式，因此它并不是嚴格定義的距離度量。為表示真實距離，本文采用 Hellinger Distance (HD)，其公式如下：

$H_D(p, q) = \sqrt{1 - B_C(p, q)}$

其中 $H_D(p, q) \in [0, 1]$ ，當(dāng)且僅當(dāng)兩個分布相同時， $H_D(p, q) = 0$ 。

Probabilistic IoU (ProbIoU)

基于上述 Hellinger Distance，本文提出高斯分布相似性計算方法 ProbIoU，其具體計算公式如下：

$\text{ProbIoU} = 1 - H_D(p, q)$

特性說明：

$\text{ProbIoU} \in [0, 1]$ ，值越大表示分布相似性越高
當(dāng)兩分布完全相同時， $\text{ProbIoU} = 1$
公式通過非線性映射將巴氏系數(shù)轉(zhuǎn)換為更直觀的相似性度量

計算OBB的ProbIoU

python計算OBB的ProbIoU

def probiou(obb1, obb2, eps=1e-7):
    # Calculate the prob iou between oriented bounding boxes, https://arxiv.org/pdf/2106.06072v1.pdf.
    def covariance_matrix(obb):
        # Extract elements
        w, h, r = obb[2:5]
        a = (w ** 2) / 12
        b = (h ** 2) / 12

        cos_r = torch.cos(torch.tensor(r))
        sin_r = torch.sin(torch.tensor(r))
        
        # Calculate covariance matrix elements
        a_val = a * cos_r ** 2 + b * sin_r ** 2
        b_val = a * sin_r ** 2 + b * cos_r ** 2
        c_val = (a - b) * sin_r * cos_r

        return a_val, b_val, c_val

    a1, b1, c1 = covariance_matrix(obb1)
    a2, b2, c2 = covariance_matrix(obb2)

    x1, y1 = obb1[:2]
    x2, y2 = obb2[:2]

    t1 = ((a1 + a2) * ((y1 - y2) ** 2) + (b1 + b2) * ((x1 - x2) ** 2)) / ((a1 + a2) * (b1 + b2) - (c1 + c2) ** 2 + eps)
    t2 = ((c1 + c2) * (x2 - x1) * (y1 - y2)) / ((a1 + a2) * (b1 + b2) - (c1 + c2) ** 2 + eps)
    t3 = torch.log(((a1 + a2) * (b1 + b2) - (c1 + c2) ** 2) / (4 * torch.sqrt(a1 * b1 - c1 ** 2) * torch.sqrt(a2 * b2 - c2 ** 2) + eps) + eps)

    bd = 0.25 * t1 + 0.5 * t2 + 0.5 * t3
    hd = torch.sqrt(1.0 - torch.exp(-torch.clamp(bd, eps, 100.0)) + eps)
    return 1 - hd

cuda計算OBB的ProbIoU

static __device__ void convariance_matrix(float w, float h, float r, float& a, float& b, float& c){
    float a_val = w * w / 12.0f;
    float b_val = h * h / 12.0f;
    float cos_r = cosf(r); 
    float sin_r = sinf(r);

    a = a_val * cos_r * cos_r + b_val * sin_r * sin_r;
    b = a_val * sin_r * sin_r + b_val * cos_r * cos_r;
    c = (a_val - b_val) * sin_r * cos_r;
}

static __device__ float box_probiou(
    float cx1, float cy1, float w1, float h1, float r1,
    float cx2, float cy2, float w2, float h2, float r2,
    float eps = 1e-7
){

    // Calculate the prob iou between oriented bounding boxes, https://arxiv.org/pdf/2106.06072v1.pdf.
    float a1, b1, c1, a2, b2, c2;
    convariance_matrix(w1, h1, r1, a1, b1, c1);
    convariance_matrix(w2, h2, r2, a2, b2, c2);

    float t1 = ((a1 + a2) * powf(cy1 - cy2, 2) + (b1 + b2) * powf(cx1 - cx2, 2)) / ((a1 + a2) * (b1 + b2) - powf(c1 + c2, 2) + eps);
    float t2 = ((c1 + c2) * (cx2 - cx1) * (cy1 - cy2)) / ((a1 + a2) * (b1 + b2) - powf(c1 + c2, 2) + eps);
    float t3 = logf(((a1 + a2) * (b1 + b2) - powf(c1 + c2, 2)) / (4 * sqrtf(fmaxf(a1 * b1 - c1 * c1, 0.0f)) * sqrtf(fmaxf(a2 * b2 - c2 * c2, 0.0f)) + eps) + eps); 
    float bc = 0.25f * t1 + 0.5f * t2 + 0.5f * t3;
    bc = fmaxf(fminf(bd, 100.0f), eps);
    float hd = sqrtf(1.0f - expf(-bc) + eps);
    return 1 - hd;    
}

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Gaussian Bounding Box 和 ProbIoU

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GBB (Gaussian Bounding Box)

二維高斯分布參數(shù)定義

公式說明

OBB轉(zhuǎn)換為GBB

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OBB 參數(shù)定義

GBB 參數(shù)定義

轉(zhuǎn)換步驟

公式總結(jié)

注意事項

ProbIoU

Probabilistic IoU (ProbIoU)

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OBB 到 GBB 的轉(zhuǎn)換過程

OBB 參數(shù)定義

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轉(zhuǎn)換步驟

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