- 概述
- 透視投影
- 正交投影
概述
計(jì)算機(jī)顯示器是一個(gè)2D平面。OpenGL渲染的3D場(chǎng)景必須以2D圖像方式投影到計(jì)算機(jī)屏幕上。GL_PROJECTION矩陣用于該投影變換。首先，它將所有定點(diǎn)數(shù)據(jù)從觀察坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到裁減坐標(biāo)。接著，這些裁減坐標(biāo)通過除以w分量的方式轉(zhuǎn)換到歸一化設(shè)備坐標(biāo)（NDC）。
因此，我們需要記住一點(diǎn)：裁減變換（視錐剔除）與NDC變換都保存在GL_PROJECTION矩陣中。下述章節(jié)描述如何從6個(gè)限定參數(shù)（左、右、下、上、近平面、遠(yuǎn)平面）構(gòu)建投影矩陣。
注意，視錐剔除（裁減）在裁減坐標(biāo)上執(zhí)行，并且在除以wc之前。裁減坐標(biāo)xc、yc、zc會(huì)與wc做比較檢測(cè)。如果任一坐標(biāo)小于-wc或大于wc，則該頂點(diǎn)將會(huì)拋棄。
接著，OpenGL重新構(gòu)建那些裁減掉的多邊形的邊。
透視投影
在透視投影中，截棱錐體（觀察坐標(biāo)）中的3D點(diǎn)會(huì)被映射到立方體（NDC）中。x坐標(biāo)的范圍從[l,f]到[-1,1]，y坐標(biāo)的范圍從[b,t]到[-1,1]，z坐標(biāo)的范圍從[n,f]到[-1,1]。
注意，觀察坐標(biāo)為右手坐標(biāo)系，NDC使用左手坐標(biāo)系。也就是說，位于原點(diǎn)的照相機(jī)在觀察坐標(biāo)中看向-Z軸，而在NDC中看向+Z軸。因?yàn)間lFrustum()只接收正的近平面與遠(yuǎn)平面距離值，我們需要在構(gòu)建GL_PROJECTION矩陣時(shí)對(duì)他們?nèi)》础?/p>
OpenGL中，觀察空間中的3D點(diǎn)被投影到近平面（投影平面）上。下圖展示觀察空間中的點(diǎn)(xe,ye,ze)如何投影到近平面上的點(diǎn)(xp,yp,zp)。
從視錐體的俯視圖看出，使用相似三角形比率計(jì)算方式將觀察空間的x坐標(biāo)xe被映射到xp。
從視錐體的側(cè)視圖看出，yp也使用相同的方式計(jì)算出：
注意，xp與yp二者都依賴于ze，它們與-ze成反比例。也就是說，它們都被-ze除。這是構(gòu)建GL_PROJECTION矩陣的第一點(diǎn)提示。在觀察坐標(biāo)通過與GL_PROJECTION矩陣相乘變換之后，裁減坐標(biāo)依舊是其次坐標(biāo)。它最終通過除以裁減坐標(biāo)的w分量才變成歸一化設(shè)備坐標(biāo)（NDC）。（更詳細(xì)描述參考OpenGL變換。）
因此，我們可以將裁減坐標(biāo)的w分量設(shè)置為-ze。這樣，GL_PROJECTION矩陣的第四行變?yōu)?0,0,-1,0)。
接著，我們通過線性關(guān)系將xp與yp映射到NDC中的xn與yn：[l,r]=>[-1,1]，[b,t]=>[-1,1]。
然后,我們用上面的方程式替換xp與yp。
注意，我們?yōu)橥敢暢ǎ▁c/wc, yc/wc）將每個(gè)等式相被-ze整除。前面我們已經(jīng)將wc設(shè)置為-ze，大括號(hào)中的項(xiàng)為裁減坐標(biāo)中xc與yc。
從這個(gè)等式，我們可以發(fā)現(xiàn)GL_PROJECTION矩陣的第一與第二行。
現(xiàn)在，我們僅僅解決GL_PROJECTION矩陣的3行。由于觀察空間中的ze總是投影到近平面上的-n點(diǎn)，zn的計(jì)算方法與其他坐標(biāo)的計(jì)算方法有稍許不同。不過我們需要唯一的z值來進(jìn)行裁剪與深度測(cè)試。此外，我們也會(huì)進(jìn)行逆投影（逆變換）操作。因?yàn)?，我們知道z并不依賴于x與y的值，我們借助w分量找尋zn與ze之間的關(guān)系。因此，我們可以像這樣指定GL_PROJECTION矩陣的第三行：
在觀察空間，we等于1。因此，等式變?yōu)椋?/p>
為了計(jì)算系數(shù)A與B，我們使用(ze,zn)關(guān)系式(-n,-1)與(-f,1)，且將它們帶入到上述等式。
為了求解A與B，重寫等式(1)：
將等式(1')帶入等式(2)，然后求解A：
將A帶入等式(1)中，求出B：
我們解出A與B。因此ze與zn的關(guān)系變?yōu)椋?/p>
最后，我們解出GL_PROJECTION矩陣的所有元素。完整的投影矩陣為：
該投影矩陣為通用截面體。如果視錐體為對(duì)稱的，即r=-l且t=-b，則矩陣可簡(jiǎn)化為：
在開始后面講述之前，請(qǐng)回顧ze與zn之間的關(guān)系：等式(3)。你會(huì)注意到它是一個(gè)有理數(shù)方程且ze與zn并非線性關(guān)系。也就是說近平面具有非常高的精度，而遠(yuǎn)平面的精度很低。如果[-n,-f]的范圍變得很大，會(huì)引起深度精度問題（深度沖突）：遠(yuǎn)平面附近ze的小變化不會(huì)影響zn值。為了最小化深度緩存精度問題，n與f的距離應(yīng)該盡可能小。
正交投影
正交椎體與歸一化設(shè)備坐標(biāo)（NDC）
構(gòu)造正交投影的GL_PROJECTION矩陣比透視投影模式簡(jiǎn)單很多。
觀察空間的xe、ye與ze分量都線性映射到NDC。我們只需將長方體縮放為正方體，然后移動(dòng)它到原點(diǎn)。讓我們使用線性關(guān)系推導(dǎo)出GL_PROJECTION中的所有元素。
因?yàn)閷?duì)于正交投影并不需要w分量，GL_PROJECTION矩陣的第4行依舊為(0,0,0,1)。因此，正交投影完整的GL_PROJECTION矩陣為：
如果視錐體是對(duì)稱的（r=-l且t=-b），它可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。
英文原文：http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html
