概念

決策樹(Decision Tree)分為兩大類，回歸樹(Regression Decision Tree)和分類樹(Classification Decision Tree)。前者用于預(yù)測實(shí)數(shù)值，如明天的溫度、用戶的年齡、網(wǎng)頁的相關(guān)程度；后者用于分類標(biāo)簽值，如晴天/陰天/霧/雨、用戶性別、網(wǎng)頁是否是垃圾頁面。這里要強(qiáng)調(diào)的是，前者的結(jié)果加減是有意義的，如10歲+5歲-3歲=12歲，后者則無意義，如男+男+女=到底是男是女？下面先介紹分類樹，決策樹一般情況下指的是分類樹。

分類樹是一種非線性有監(jiān)督分類模型，隨機(jī)森林是一種非線性有監(jiān)督分類模型。線性分類模型比如說邏輯回歸，可能會(huì)存在不可分問題，但是非線性分類就不存在。決策樹是機(jī)器學(xué)習(xí)中最接近人類思考問題的過程的一種算法，通過若干個(gè)節(jié)點(diǎn)，對特征進(jìn)行提問并分類（可以是二分類也可以使多分類），直至最后生成葉節(jié)點(diǎn)（也就是只剩下一種屬性）。

分類樹是一種簡單但是廣泛使用的分類器。通過訓(xùn)練數(shù)據(jù)構(gòu)建決策樹，可以高效的對未知的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。決策數(shù)有兩大優(yōu)點(diǎn)：1）決策樹模型可以讀性好，具有描述性，有助于人工分析；2）效率高，決策樹只需要一次構(gòu)建，反復(fù)使用，每一次預(yù)測的最大計(jì)算次數(shù)不超過決策樹的深度。

信息熵：熵代表信息的不確定性，信息的不確定性越大，熵越大；比如“明天太陽從東方升起”這一句話代表的信息我們可以認(rèn)為為0；因?yàn)樘枏臇|方升起是個(gè)特定的規(guī)律，我們可以把這個(gè)事件的信息熵約等于0；說白了，信息熵和事件發(fā)生的概率成反比：數(shù)學(xué)上把信息熵定義如下：H(X)＝H(P1，P2，…，Pn)＝-∑P(xi)logP(xi)

互信息：指的是兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度，即給定一個(gè)隨機(jī)變量后，另一個(gè)隨機(jī)變量不確定性的削弱程度，因而互信息取值最小為0，意味著給定一個(gè)隨機(jī)變量對確定一另一個(gè)隨機(jī)變量沒有關(guān)系，最大取值為隨機(jī)變量的熵，意味著給定一個(gè)隨機(jī)變量，能完全消除另一個(gè)隨機(jī)變量的不確定性。

一、分類決策樹

一個(gè)簡單的決策樹示意圖：

有人找我借錢（當(dāng)然不太可能。。。），借還是不借？我會(huì)結(jié)合根據(jù)我自己有沒有錢、我自己用不用錢、對方信用好不好這三個(gè)特征來決定我的答案，即分成兩類。

轉(zhuǎn)到更普遍一點(diǎn)的視角，對于一些有特征的數(shù)據(jù)，如果我們能夠有這么一顆決策樹，我們也就能非常容易地預(yù)測樣本的結(jié)論。所以問題就轉(zhuǎn)換成怎么求一顆合適的決策樹，也就是怎么對這些特征進(jìn)行排序。

在對特征排序前先設(shè)想一下，對某一個(gè)特征進(jìn)行決策時(shí)，我們肯定希望分類后樣本的純度越高越好，也就是說分支結(jié)點(diǎn)的樣本盡可能屬于同一類別。

其中N表示結(jié)論有多少種可能取值，p表示在取第k個(gè)值的時(shí)候發(fā)生的概率，對于樣本而言就是發(fā)生的頻率/總個(gè)數(shù)。（注意log是以2為底。）比如有20個(gè)樣本(X)的二分類問題，有15個(gè)樣本是狗，5個(gè)樣本不是狗，那么此時(shí)的熵為：
H(X)=-(0.75xlog0.75+0.25xlog0.25)=0.811；如果20個(gè)樣本全部是一類，那么該樣本的熵為0；如果20個(gè)樣本每類10個(gè)此時(shí)熵最大。樣本分布越均勻越混亂，熵越大。熵越小，說明樣本越純。擴(kuò)展一下，樣本X可能取值為n種（x1。。。。xn）?？梢宰C明，當(dāng)p（xi）都等于1/n 時(shí)，也就是樣本絕對均勻，熵能達(dá)到最大。當(dāng)p（xi）有一個(gè)為1，其他都為0時(shí)，也就是樣本取值都是xi，熵最小。

1.1 決策樹算法

ID3

假設(shè)在樣本集X中，對于一個(gè)特征a，它可能有（a1，a2。。。an）這些取值，如果用特征a當(dāng)根節(jié)點(diǎn)對樣本集X進(jìn)行劃分，肯定會(huì)有n個(gè)分支結(jié)點(diǎn)。剛才提了，我們希望劃分后，分支結(jié)點(diǎn)的樣本越純越好，也就是分支結(jié)點(diǎn)的“總熵”越小越好。由于每個(gè)分支結(jié)點(diǎn)的樣本個(gè)數(shù)不一樣，因此我們計(jì)算“總熵”時(shí)應(yīng)該做一個(gè)加權(quán)，假設(shè)第i個(gè)結(jié)點(diǎn)樣本個(gè)數(shù)為W(ai)，其在所有樣本中的權(quán)值為W(ai) / W(X)。所以我們可以得到一個(gè)總熵：

這個(gè)公式代表含義一句話：加權(quán)后各個(gè)結(jié)點(diǎn)的熵的總和。這個(gè)值應(yīng)該越小，分類后的樣本純度越高。

這時(shí)候，我們引入一個(gè)名詞叫信息增益G（X，a），意思就是a這個(gè)特征給樣本帶來的信息的提升。公式就是：

由于對一個(gè)樣本而言，H(X)是一個(gè)固定值，因此信息增益G應(yīng)該越大越好。尋找使得信息增益最大的特征作為目標(biāo)結(jié)點(diǎn)，并逐步遞歸構(gòu)建樹，這就是ID3算法的思想。

以一個(gè)簡單的例子來說明信息增益的計(jì)算：

上面的例子，我們計(jì)算一下如果以特征1作為目標(biāo)結(jié)點(diǎn)的信息增益：

首先計(jì)算樣本的熵H（X）：

再計(jì)算所有分支結(jié)點(diǎn)的總熵，可以看到特征1有3個(gè)結(jié)點(diǎn)A、B、C，其分別為6個(gè)、6個(gè)、5個(gè)樣本。所以A的權(quán)值為6/17, B的權(quán)值為6/17, C的為5/17。因?yàn)槲覀兿Ｍ麆澐趾蠼Y(jié)點(diǎn)的純度越高越好，即總熵最小，因此還需要再分別計(jì)算結(jié)點(diǎn)A、B、C的熵。

特征1=A：樣本有3個(gè)是、3個(gè)否，其熵為：

特征1=B：2個(gè)是、4個(gè)否，其熵為0.918；特征1=C：4個(gè)是、1個(gè)否，其熵為0.722。這樣分支結(jié)點(diǎn)的總熵就等于：

特征1的信息增益G就等于0.998-0.889=0.109

類似地，我們也能算出其他的特征的信息增益，最終取信息增益最大的特征作為根節(jié)點(diǎn)。

C4.5

在ID3算法中其實(shí)有個(gè)很明顯的問題。如果有一個(gè)樣本集，它有一個(gè)叫id或者姓名之類的（唯一的）的特征，那就完蛋了。設(shè)想一下，如果有N個(gè)樣本，id這個(gè)特征肯定會(huì)把這個(gè)樣本也分成N份，也就是有N個(gè)結(jié)點(diǎn)。由于每個(gè)結(jié)點(diǎn)只有一個(gè)值，那每個(gè)結(jié)點(diǎn)的熵就為0。就是說所有分支結(jié)點(diǎn)的總熵為0，那么這個(gè)特征的信息增益一定會(huì)達(dá)到最大值。因此如果此時(shí)用ID3作為決策樹算法，根節(jié)點(diǎn)必然是id這個(gè)特征。這顯然這是不合理的。一般情況下，如果一個(gè)特征對樣本劃分的過于稀疏，這個(gè)也是不合理的（取值特別多的特征不適合做根節(jié)點(diǎn)）。

為了解決這個(gè)問題，C4.5算法采用了信息增益率來作為特征選取標(biāo)準(zhǔn)。所謂信息增益率，是在信息增益基礎(chǔ)上，除了一項(xiàng)split information,來懲罰值更多的屬性。

而這個(gè)split information其實(shí)就是特征個(gè)數(shù)的熵H（A）。還以上面的例子說明，如果以特征1作為結(jié)點(diǎn)，可以分為A B C三種結(jié)點(diǎn)，那么：
H(A)=H(特征1)=-(6/17xlog(6/17)x2+5/17(log(5/17))).

為什么這樣可以減少呢，以上面id的例子來理解一下。如果id把n個(gè)樣本分成了n份，那id這個(gè)特征的取值的概率都是1/n，文章引言已經(jīng)說了，樣本絕對均勻的時(shí)候，熵最大。

因此這種情況，以id為特征，雖然信息增益最大，但是懲罰因子split information也最大，以此來拉低其增益率，這就是C4.5的思想。

CART（Classification And Regression Tree，分類與回歸樹）

決策樹的目的最終還是尋找到區(qū)分樣本的純度的量化標(biāo)準(zhǔn)。在CART決策樹中，采用的是基尼指數(shù)來作為其衡量標(biāo)準(zhǔn)。基尼系數(shù)（和基尼指數(shù)有區(qū)別的）直觀的理解是，從集合中隨機(jī)抽取兩個(gè)樣本，如果樣本集合越純，取到不同樣本的概率越小。這個(gè)概率反應(yīng)的就是基尼系數(shù)。因此如果一個(gè)樣本有K個(gè)分類，假設(shè)樣本的某一個(gè)特征a有n個(gè)取值的話，那么以a為根節(jié)點(diǎn)會(huì)有n個(gè)子節(jié)點(diǎn)，其某一個(gè)結(jié)點(diǎn)下取到不同樣本的概率為：

而基尼指數(shù)，則是對所有結(jié)點(diǎn)的基尼系數(shù)進(jìn)行加權(quán)處理

計(jì)算出來后，我們會(huì)選擇基尼指數(shù)最小的那個(gè)特征作為最優(yōu)劃分特征。

1.2 過擬合解決辦法

剪枝

剪枝的目的其實(shí)就是防止過擬合，它是決策樹防止過擬合的最主要手段。決策樹中，為了盡可能爭取的分類訓(xùn)練樣本，所以我們的決策樹也會(huì)一直生長。但是呢，有時(shí)候訓(xùn)練樣本可能會(huì)學(xué)的太好，以至于把某些樣本的特有屬性當(dāng)成一般屬性。這時(shí)候就我們就需要主動(dòng)去除一些分支，來降低過擬合的風(fēng)險(xiǎn)。

剪枝一般有兩種方式：預(yù)剪枝和后剪枝。

預(yù)剪枝

一般情況下，只要結(jié)點(diǎn)樣本已經(jīng)100%純了，樹才會(huì)停止生長。但這個(gè)可能會(huì)產(chǎn)生過擬合，因此我們沒有必要讓它100%生長，所以在這之前，設(shè)定一些終止條件來提前終止它。這就叫預(yù)剪枝，這個(gè)過程發(fā)生在決策樹生成之前。

一般我們預(yù)剪枝的手段有：
1、限定樹的深度
2、節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)數(shù)目小于閾值
3、設(shè)定結(jié)點(diǎn)熵的閾值

后剪枝

顧名思義，這個(gè)剪枝是在決策樹建立過程后。后剪枝算法的算法很多，有些也挺深?yuàn)W，這里提一個(gè)簡單的算法的思想Reduced-Error Pruning (REP)。該剪枝方法考慮將樹上的每個(gè)節(jié)點(diǎn)都作為修剪的候選對象，但是有一些條件決定是否修剪，通常有這幾步：

1、刪除其所有的子樹，使其成為葉節(jié)點(diǎn)。
2、賦予該節(jié)點(diǎn)最關(guān)聯(lián)的分類
3、用驗(yàn)證數(shù)據(jù)驗(yàn)證其準(zhǔn)確度與處理前比較

如果不比原來差，則真正刪除其子樹。然后反復(fù)從下往上對結(jié)點(diǎn)處理。這個(gè)處理方式其實(shí)是處理掉那些“有害”的節(jié)點(diǎn)。

1.3 隨機(jī)森林

構(gòu)建大量的決策樹組成森林來防止過擬合；雖然單個(gè)樹可能存在過擬合，但通過廣度的增加就會(huì)消除過擬合現(xiàn)象。隨機(jī)森林（Random forest）：生成多顆決策樹，投票選舉的原則。

集成學(xué)習(xí)的概念：

圖中可以看到，每個(gè)個(gè)體學(xué)習(xí)器（弱學(xué)習(xí)器）都可包含一種算法，算法可以相同也可以不同。如果相同，我們把它叫做同質(zhì)集成，反之則為異質(zhì)。

隨機(jī)森林則是集成學(xué)習(xí)采用基于bagging策略的一個(gè)特例。

從上圖可以看出，bagging的個(gè)體學(xué)習(xí)器的訓(xùn)練集是通過隨機(jī)采樣得到的。通過n次的隨機(jī)采樣，我們就可以得到n個(gè)樣本集。對于這n個(gè)樣本集，我們可以分別獨(dú)立的訓(xùn)練出n個(gè)個(gè)體學(xué)習(xí)器，再對這n個(gè)個(gè)體學(xué)習(xí)器通過集合策略來得到最終的輸出，這n個(gè)個(gè)體學(xué)習(xí)器之間是相互獨(dú)立的，可以并行。

Baggging 與 Boosting

Baggging 和Boosting都是模型融合的方法，可以將弱分類器融合之后形成一個(gè)強(qiáng)分類器，而且融合之后的效果會(huì)比最好的弱分類器更好。

Baggging

隨機(jī)森林使用的是baggging，即從原始樣本集中抽取訓(xùn)練集，每輪使用 bootstraping 的方法抽取 n 個(gè)訓(xùn)練樣本，然后放回（在訓(xùn)練集中，有些樣本可能被多次抽取到，而有些樣本可能一次都沒有被抽中）。經(jīng)過 k 輪抽取，得到 k 個(gè)訓(xùn)練集（k個(gè)訓(xùn)練集之間是相互獨(dú)立的）。每次使用一個(gè)訓(xùn)練集得到一個(gè)模型，k 個(gè)訓(xùn)練集共得到 k 個(gè)模型。由于是隨機(jī)采樣，這樣每次的采樣集是和原始樣本集不同的，和其他采樣集也是不同的，這樣得到的個(gè)體學(xué)習(xí)器也是不同的。（注：這里并沒有具體的分類算法或回歸方法，我們可以根據(jù)具體問題采用不同的分類或回歸方法，如決策樹、感知器等。）

隨機(jī)森林最主要的問題是有了 k 個(gè)模型，怎么設(shè)定結(jié)合策略，主要方式也有這么幾種：

• 加權(quán)平均法

當(dāng)學(xué)習(xí)器的權(quán)值都為1/n時(shí)，這個(gè)平均法叫簡單平均法。

• 投票法

對分類問題：將上步得到的 k 個(gè)模型采用投票的方式得到分類結(jié)果。投票法類似我們生活中的投票，如果每個(gè)學(xué)習(xí)器的權(quán)值都是一樣的。有絕對投票法，也就是票數(shù)過半；相對投票法，少數(shù)服從多數(shù)。如果有加權(quán)，依然是少數(shù)服從多數(shù)，只不過這里面的數(shù)是加權(quán)后的。

Boosting

AdaBoosting方式每次都使用全部的樣本，每輪訓(xùn)練改變樣本的權(quán)重。下一輪訓(xùn)練的目標(biāo)是找到一個(gè)函數(shù) f 來擬合上一輪的殘差。當(dāng)殘差足夠小或者達(dá)到設(shè)置的最大迭代次數(shù)則停止。Boosting會(huì)減小在上一輪訓(xùn)練正確的樣本的權(quán)重，增大錯(cuò)誤樣本的權(quán)重。（對的殘差小，錯(cuò)的殘差大）梯度提升的Boosting方式是使用代價(jià)函數(shù)對上一輪訓(xùn)練出的模型函數(shù)f的偏導(dǎo)來擬合殘差。

二者之間的區(qū)別

• 樣本選擇
  Bagging：訓(xùn)練集是在原始集中有放回選取的，從原始集中選出的各輪訓(xùn)練集之間是獨(dú)立的。
  Boosting：每一輪的訓(xùn)練集不變，只是訓(xùn)練集中每個(gè)樣例在分類器中的權(quán)重發(fā)生變化。而權(quán)值是根據(jù)上一輪的分類結(jié)果進(jìn)行調(diào)整。

• 樣例權(quán)重
  Bagging：使用均勻取樣，每個(gè)樣例的權(quán)重相等。
  Boosting：根據(jù)錯(cuò)誤率不斷調(diào)整樣例的權(quán)值，錯(cuò)誤率越大則權(quán)重越大。

• 預(yù)測函數(shù)
  Bagging：所有預(yù)測函數(shù)的權(quán)重相等。
  Boosting：每個(gè)弱分類器都有相應(yīng)的權(quán)重，對于分類誤差小的分類器會(huì)有更大的權(quán)重。

• 并行計(jì)算
  Bagging：各個(gè)預(yù)測函數(shù)可以并行生成。
  Boosting：各個(gè)預(yù)測函數(shù)只能順序生成，因?yàn)楹笠粋€(gè)模型參數(shù)需要前一輪模型的結(jié)果。

這兩種方法都是把若干個(gè)分類器整合為一個(gè)分類器的方法，只是整合的方式不一樣，最終得到不一樣的效果，將不同的分類算法套入到此類算法框架中一定程度上會(huì)提高了原單一分類器的分類效果，但是也增大了計(jì)算量。下面是將決策樹與這些算法框架進(jìn)行結(jié)合所得到的新的算法：

• Bagging + 決策樹 = 隨機(jī)森林
• AdaBoost + 決策樹 = 提升樹
• Gradient Boosting + 決策樹 = GBDT

提升樹和GBDT，下面會(huì)分別介紹。

1.4 例子

以一個(gè)簡單的二次函數(shù)的代碼來看看決策樹怎么用吧。

訓(xùn)練數(shù)據(jù)是100個(gè)隨機(jī)的真實(shí)的平方數(shù)據(jù)，不同的深度將會(huì)得到不同的曲線；測試數(shù)據(jù)也是隨機(jī)數(shù)據(jù)，但是不同深度的樹的模型，產(chǎn)生的預(yù)測值也不太一樣，如圖：

這幅圖的代碼如下：

我的是python 3.6環(huán)境，需要安裝numpy、matplotlib、sklearn這三個(gè)庫，需要的話直接pip install，大家可以跑跑看看，雖然簡單但挺有趣。

# -*- coding:utf-8 -*- 
import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt 
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor 


if __name__ == "__main__":

    # 準(zhǔn)備訓(xùn)練數(shù)據(jù)
    N = 100 
    x = np.random.rand(N) * 6 - 3 
    x.sort()
    y = x*x
    x = x.reshape(-1, 1)

    mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

    # 決策樹深度及其曲線顏色
    depth = [2, 4, 6, 8, 10]
    clr = 'rgbmy' # 實(shí)際值
    plt.figure(facecolor='w')
    plt.plot(x, y, 'ro', ms=5, mec='k', label='實(shí)際值')

    # 準(zhǔn)備測試數(shù)據(jù)
    x_test = np.linspace(-3, 3, 50).reshape(-1, 1)

    # 構(gòu)建決策樹
    dtr = DecisionTreeRegressor()
    # 循環(huán)不同深度情況下決策樹的模型，并用之測試數(shù)據(jù)的輸出 
    for d, c in zip(depth, clr):
        # 設(shè)置最大深度（預(yù)剪枝）
        dtr.set_params(max_depth=d)
        # 訓(xùn)練決策樹
        dtr.fit(x, y)
        # 用訓(xùn)練數(shù)據(jù)得到的模型來驗(yàn)證測試數(shù)據(jù)
        y_hat = dtr.predict(x_test)
        # 畫出模型得到的曲線
        plt.plot(x_test, y_hat, '-', color=c, linewidth=2, markeredgecolor='k', label='Depth=%d' % d)
    # 一些畫圖的基本參數(shù)
    plt.legend(loc='upper center', fontsize=12)
    plt.xlabel('X')
    plt.ylabel('Y')
    plt.grid(b=True, ls=':', color='#606060')
    plt.title('二次函數(shù)決策樹', fontsize=15)
    plt.tight_layout(2)
    plt.show()

二、回歸決策樹

2.1 回歸樹

首先看看回歸樹是如何工作的。下面我們以對人的性別判別/年齡預(yù)測為例來說明，每個(gè)instance都是一個(gè)我們已知性別/年齡的人，而feature則包括這個(gè)人上網(wǎng)的時(shí)長、上網(wǎng)的時(shí)段、網(wǎng)購所花的金額等。

作為對比，先說分類樹，我們知道C4.5分類樹在每次分枝時(shí)，會(huì)選取信息增益率最大的特征，按照該標(biāo)準(zhǔn)分枝得到新節(jié)點(diǎn)，用同樣方法繼續(xù)分枝直到所有人都被分入性別唯一的葉子節(jié)點(diǎn)，或達(dá)到預(yù)設(shè)的終止條件，若最終葉子節(jié)點(diǎn)中的性別不唯一，則以多數(shù)人的性別作為該葉子節(jié)點(diǎn)的性別。

回歸樹總體流程也是類似，不過在每個(gè)節(jié)點(diǎn)（不一定是葉子節(jié)點(diǎn)）都會(huì)得一個(gè)預(yù)測值，以年齡為例，該預(yù)測值等于屬于這個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有人年齡的平均值。分枝時(shí)窮舉每一個(gè)feature的每個(gè)閾值找最好的分割點(diǎn)，但衡量最好的標(biāo)準(zhǔn)不再是和熵有關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)，而是最小化均方差--即（每個(gè)人的年齡-預(yù)測年齡）平方和除以 N。這很好理解，被預(yù)測出錯(cuò)的人數(shù)越多，錯(cuò)的越離譜，均方差就越大，通過最小化均方差能夠找到最靠譜的分枝依據(jù)。分枝直到每個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)上人的年齡都唯一（這太難了）或者達(dá)到預(yù)設(shè)的終止條件（如葉子個(gè)數(shù)上限），若最終葉子節(jié)點(diǎn)上人的年齡不唯一，則以該節(jié)點(diǎn)上所有人的平均年齡做為該葉子節(jié)點(diǎn)的預(yù)測年齡。

2.2 提升樹

提升樹以回歸樹為基分類器。它的idea在于，第一個(gè)回歸樹預(yù)測的效果可能一般，但是第二個(gè)回歸樹把第一個(gè)預(yù)測錯(cuò)的殘差作為輸入。也就是說，如果一個(gè)點(diǎn)的值被預(yù)測錯(cuò)誤，那么在下一個(gè)回歸樹里面的模型的權(quán)值會(huì)變大。通過這個(gè)方式，來提高模型的效果。

訓(xùn)練提升樹的步驟：

• step1 構(gòu)建第一個(gè)回歸樹T1(x)
  如何構(gòu)建回歸樹T1(x)？
  a. 從數(shù)據(jù)集里面找到一個(gè)切分點(diǎn)s，將數(shù)據(jù)集分成兩個(gè)部分。
  b. 對于每個(gè)部分，找到一個(gè)值c，使得內(nèi)部的y到所有的平方損失函數(shù)最小。
  (遍歷所有可能的切分點(diǎn)s，找到最好的效果。那么問題又來了，如何判斷一個(gè)點(diǎn)的切分的效果好與壞？）
• 在上一顆回歸樹回歸的基礎(chǔ)上，把殘差作為下一棵回歸樹的任務(wù)，繼續(xù)構(gòu)造回歸樹。
• 不斷循環(huán)這個(gè)過程

計(jì)算c的公式是：

判斷一個(gè)點(diǎn)s，切分效果的好與壞的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)候：

下面，我們帶入這個(gè)具體的例子里面進(jìn)行分析。假設(shè)，現(xiàn)在的切分點(diǎn)是s=1.5 ， 那么數(shù)據(jù)集就會(huì)被分成兩個(gè)部分，一個(gè)是R1={1} ， R2={2, 3 , ..., 10} 。對于切分的兩個(gè)部分里面，求c1和c2。根據(jù)上面的公式，c1=5.56 , c2=7.50 。那么，在我們這個(gè)例子里面，m(s)的值是：

如果，遍歷所有可能的切分點(diǎn)，對于每一個(gè)切分點(diǎn)都會(huì)有一個(gè)值。

也就說，當(dāng)在s=6.5的時(shí)候，切分的效果是最好的。

也就是說，我們現(xiàn)在得到了第一顆回歸樹，T1（x）。對于小于6.5的數(shù)據(jù)，我們把他預(yù)測成6.24，對于大于等于6.5的數(shù)據(jù)，我們把它預(yù)測成8.91。然后，就到了最重要的一步，將殘差數(shù)據(jù)放入下一個(gè)回歸樹進(jìn)行訓(xùn)練。

下面去訓(xùn)練下一個(gè)學(xué)習(xí)器：

判斷的終止條件是：

對于求出的第一個(gè)回歸樹：

對于求出的第二個(gè)回歸樹：

依次類推：

最后：

2.3 梯度提升樹GBDT

GBDT(Gradient Boosting Decision Tree) 又叫 MART（Multiple Additive Regression Tree)，是一種迭代的決策樹算法，該算法由多棵決策樹組成，所有樹的結(jié)論累加起來做最終答案。它在被提出之初就和SVM一起被認(rèn)為是泛化能力（generalization)較強(qiáng)的算法。近些年更因?yàn)楸挥糜谒阉髋判虻臋C(jī)器學(xué)習(xí)模型而引起大家關(guān)注。

GBDT的核心在于累加所有樹的結(jié)果作為最終結(jié)果，就像前面對年齡的累加（-3是加負(fù)3），而分類樹的結(jié)果顯然是沒辦法累加的，所以GBDT中的樹都是回歸樹，不是分類樹，這點(diǎn)對理解GBDT相當(dāng)重要（盡管GBDT調(diào)整后也可用于分類但不代表GBDT的樹是分類樹）。

GBDT主要由三個(gè)概念組成：Regression Decistion Tree（即DT)，Gradient Boosting（即GB)，Shrinkage (算法的一個(gè)重要演進(jìn)分枝，目前大部分源碼都按該版本實(shí)現(xiàn)）。搞定這三個(gè)概念后就能明白GBDT是如何工作的，要繼續(xù)理解它如何用于搜索排序則需要額外理解 RankNet 概念，之后便功德圓滿。

算法原理

GBDT的原理和提升樹差不多，但是提升樹在某些時(shí)候不方便求殘差，梯度提升樹則是用損失函數(shù)的負(fù)梯度方向值來近似擬合殘差。GBDT很好的結(jié)合了回歸樹與提升樹的思想，并將它們推廣到更一般的情形。例如提升樹中第三步計(jì)算殘差是在損失函數(shù)為平方損失函數(shù)來計(jì)算的，如果損失函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，則計(jì)算殘差 變得不是很方便，以及在第四步訓(xùn)練回歸樹時(shí)，計(jì)算節(jié)點(diǎn)輸出值 c_m 也變得不容易進(jìn)行。

算法過程如下：

以上算法將回歸樹和提升樹的算法結(jié)合起來，在第5步中求解 ，如果損失函數(shù)為平方損失函數(shù)，則解法與前面的回歸樹一致，直接取均值即可。如果是其他損失函數(shù)，則需要具體進(jìn)行求解。具體而言，就是取導(dǎo)數(shù)為零來解等式。

不過對于分類情況，由于樣本輸出不是連續(xù)的值，而是離散的類別，導(dǎo)致我們無法直接從輸出類別去擬合類別輸出的誤差。為了解決這個(gè)問題，主要有兩個(gè)方法，一個(gè)是用指數(shù)損失函數(shù)，此時(shí)GBDT退化為Adaboost算法。另一種方法是用類似于邏輯回歸的對數(shù)似然損失函數(shù)的方法。也就是說，我們用的是類別的預(yù)測概率值和真實(shí)概率值的差來擬合損失。本文僅討論用對數(shù)似然損失函數(shù)的GBDT分類。而對于對數(shù)似然損失函數(shù)，我們又有二元分類和多元分類的區(qū)別。

GBDT損失函數(shù)

對于分類算法，其損失函數(shù)一般有對數(shù)損失函數(shù)和指數(shù)損失函數(shù)兩種:

• 如果是指數(shù)損失函數(shù)，則損失函數(shù)表達(dá)式為：
  
• 如果是對數(shù)損失函數(shù)，分為二元分類和多元分類兩種：
  二元：
  
  多元：
  

對于回歸算法，常用損失函數(shù)有如下4種:

• 均方差，這個(gè)是最常見的回歸損失函數(shù)：
  

• 絕對損失，這個(gè)損失函數(shù)也很常見：
  

• Huber損失，它是均方差和絕對損失的折衷產(chǎn)物，對于遠(yuǎn)離中心的異常點(diǎn)，采用絕對損失，而中心附近的點(diǎn)采用均方差。這個(gè)界限一般用分位數(shù)點(diǎn)度量。

• 分位數(shù)損失。它對應(yīng)的是分位數(shù)回歸的損失函數(shù)。