五、海盜分金問(wèn)題

5名海盜分100枚金幣，先由1號(hào)海盜提方案，然后所有人表決，方案必須達(dá)到半數(shù)以上通過(guò)（兩方平票不通過(guò)），不通過(guò)則提方案的人被扔進(jìn)海里喂鯊魚，再由2號(hào)海盜提方案，以此類推。假定海盜都極度聰明理性，他們的行為準(zhǔn)則是：生存第一，其次利益最大化，當(dāng)其他條件相同，優(yōu)先選擇把別的海盜扔入大海（這樣可以減少泄密，占取船只）。

問(wèn)題來(lái)了，1號(hào)海盜提出怎樣的方案可以生存且利益最大？

答案：分配方案為按排號(hào)順序分配金幣數(shù)為（97,0,1，0,2）或（97,0,1,2,0）。

解析：直覺(jué)上1號(hào)海盜考慮本題，為了保命，應(yīng)該選擇盡量把金幣分給其他海盜，以求得方案通過(guò)，但實(shí)際他大可不必如此。

解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵在于換個(gè)思維方向。與其苦思冥想你要做什么決策，不如先想想最后剩下的人會(huì)做什么決策。

假設(shè)現(xiàn)在只剩下4號(hào)和5號(hào)了，很明顯，4號(hào)海盜不論怎樣提方案，5號(hào)都不會(huì)同意，這樣可以把4號(hào)海盜喂鯊魚，自己獨(dú)吞所有金幣和船只。

再把3號(hào)海盜考慮進(jìn)來(lái)。他提出的任何方案4號(hào)海盜都必須同意，否則自己就會(huì)在下一輪送命，所以3號(hào)海盜的提案就是（100,0,0），這個(gè)方案必能通過(guò)。

再逆推到2號(hào)海盜，他可以提出的方案是（98,0,1,1），對(duì)4號(hào)海盜和5號(hào)海盜各賄賂一枚金幣，這種情況下，4號(hào)和5號(hào)會(huì)投贊成票，否則在下一輪他們兩個(gè)是一毛錢也拿不到的。

逆推到1號(hào)海盜，他可以提供的方案就是（97,0,1，0,2）或（97,0,1,2,0），這個(gè)方案他本人、3號(hào)海盜和5號(hào)海盜（或者后一種的4號(hào)海盜）會(huì)投贊成票，方案通過(guò)。

題目變形：這道題目流行多年，存在不同的版本，各種條件稍微改變就是另外的結(jié)果。例如投票規(guī)則改變?yōu)椤狡钡那闆r下就算通過(guò)。這樣在只剩下4號(hào)和5號(hào)時(shí)，4號(hào)的方案就會(huì)是（100,0），3號(hào)的方案就是（99,0,1），2號(hào)的方案是（99,0,1,0），1號(hào)海盜的方案是（98,0,1,0,1）。

如果考慮實(shí)際的情況，地位高的人會(huì)先提方案，平票時(shí)提案人可以憑自己的權(quán)威通過(guò)，這種設(shè)定更加合理一些。

題目討論：這道題目在思考的時(shí)候采用了“遞歸”的數(shù)學(xué)思想?！斑f歸法”就是有一類題目，規(guī)模巨大但可以逐級(jí)分解為更小的問(wèn)題，從小問(wèn)題的解再歸納出整體的解。

海盜分金是一個(gè)非常古老的問(wèn)題，在1999年《科學(xué)美國(guó)人》正式把它發(fā)表之前，已經(jīng)至少流行10年了。海盜分金表明了博弈中先發(fā)優(yōu)勢(shì)。

經(jīng)濟(jì)學(xué)建立的前提之一就是理性人假設(shè)：人都是自私而且理性的，其所有行為都是力圖以最小的代價(jià)實(shí)現(xiàn)利益最大化。

但在真實(shí)的世界中，這樣的假設(shè)并不成立，人不是只講理性的機(jī)器，而是時(shí)時(shí)刻刻會(huì)受到感情的困擾，如果真的海盜分金，很難想象1號(hào)海盜可以拿著97枚金幣全身而退。

另一道博弈題目可以說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題：兩個(gè)人分100元，A提方案，B表決，如果B不同意則全都一文不得。

在博弈中A的方案一般傾向于（60,40）或者（55,45），最自私的也不過(guò)（70,30），實(shí)驗(yàn)表明，B所得如果少于30%，他將拒絕。

問(wèn)題拓展：海盜分金的題目還可以進(jìn)一步拓展，如果是6個(gè)海盜，情況會(huì)怎么樣？如果是200個(gè)以上呢？比較復(fù)雜，有興趣的朋友可以自行研究。