設(shè)和
為正整數(shù)。設(shè)
為
中次數(shù)最多為d的齊次多項(xiàng)式使得
V():={(
...:
x_0,...,
x_0,...,
}
是個(gè)有限集；這里是指n維復(fù)射影空間。證明：V(
)的元素個(gè)數(shù)至多是
。
這個(gè)證明的關(guān)鍵在于理解復(fù)射影空間中的齊次多項(xiàng)式的零集的性質(zhì)，以及如何利用這些性質(zhì)來估計(jì)多個(gè)多項(xiàng)式的零集的元素個(gè)數(shù)。通過組合原理，我們能夠得出一個(gè)關(guān)于零集元素個(gè)數(shù)的上界。
證：
1.問題條件:
和
為正整數(shù)。
是
中次數(shù)至多為
是有限集。
2.單個(gè)多項(xiàng)式零集的性質(zhì):
在中，單個(gè)次數(shù)為
的齊次多項(xiàng)式的零集是一個(gè)代數(shù)簇。對(duì)于齊次多項(xiàng)式
，其零集
是
中的一個(gè)超曲面。
3.多個(gè)多項(xiàng)式的零集的關(guān)系:
當(dāng)我們考慮多個(gè)齊次多項(xiàng)式 的零集時(shí)，
是這些超曲面的交集。根據(jù)條件，
是一個(gè)有限集，這表明這些超曲面是“橫截的”，即它們的交集是有限個(gè)點(diǎn)。
4.元素個(gè)數(shù)的估計(jì):
我們需要估計(jì) 的元素個(gè)數(shù)。一個(gè)有力的工具是貝祖定理(Bezout's theo- rem)。貝祖定理指出，如果我們有
個(gè)齊次多項(xiàng)式
，其中每個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)分別為
，那么這些多項(xiàng)式的零集的點(diǎn)數(shù)(在一般位置下)最多是
。
在我們的情況下，假設(shè)(即我們有
個(gè)多項(xiàng)式)，并且每個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)至多為
。根據(jù)貝祖定理，
的點(diǎn)數(shù)至多是
。
如果(即多項(xiàng)式的數(shù)量少于變量的數(shù)量)，我們可以通過添加
個(gè)次數(shù)為
的隨機(jī)齊次多項(xiàng)式來補(bǔ)足，這樣不改變?cè)瓎栴}的性質(zhì)。根據(jù)貝祖定理，新的系統(tǒng)的解的點(diǎn)數(shù)仍然至多是
。
綜上，的元素個(gè)數(shù)至多是
。
參考資料：裴蜀定理（貝祖定理）
數(shù)學(xué)定理
在數(shù)論中，裴蜀定理是一個(gè)關(guān)于最大公約數(shù)（或最大公約式）的定理，裴蜀定理得名于法國(guó)數(shù)學(xué)家艾蒂安·裴蜀。
裴蜀定理說明了對(duì)任何整數(shù) a、b和它們的最大公約數(shù) d ，關(guān)于未知數(shù) x以及 y 的線性的丟番圖方程（稱為裴蜀等式）。
簡(jiǎn)介
裴蜀定理（或貝祖定理）得名于法國(guó)數(shù)學(xué)家艾蒂安·裴蜀，說明了對(duì)任何整數(shù)a、b和它們的最大公約數(shù)d，關(guān)于未知數(shù)x和y的線性不定方程（稱為裴蜀等式）：若a,b是整數(shù),且gcd(a,b)=d，那么對(duì)于任意的整數(shù)x,y,ax+by都一定是d的倍數(shù)，特別地，一定存在整數(shù)x,y，使ax+by=d成立。
它的一個(gè)重要推論是：a,b互質(zhì)的充分必要條件是存在整數(shù)x,y使ax+by=1。
n個(gè)整數(shù)間的裴蜀定理
設(shè)a1,a2,a3......an為n個(gè)整數(shù)，d是它們的最大公約數(shù)，那么存在整數(shù)x1......xn使得x1a1+x2a2+...xn*an=d。
特別來說，如果a1...an存在任意兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的（不必滿足兩兩互質(zhì)），那么存在整數(shù)x1......xn使得x1a1+x2a2+...xn*an=1。證法類似兩個(gè)數(shù)的情況。
任意主理想環(huán)上的情況
裴蜀可以推廣到任意的主理想環(huán)上。設(shè)環(huán)A是主理想環(huán)，a和b 為環(huán)中元素，d是它們的一個(gè)最大公約元，那么存在環(huán)中元素x和y使得：
ax + by = d
這是因?yàn)樵谥骼硐氕h(huán)中，a和b的最大公約元被定義為理想aA + bA的生成元。
