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問題介紹

這是個超級超級經(jīng)典的分治算法??！這個問題大致是說，如何在給定的兩個有序數(shù)組里面找其中的中值，或者變形問題，如何在2個有序數(shù)組數(shù)組中查找Top K的值（Top K的問題可以轉(zhuǎn)換成求第k個元素的問題）。這個算法在很多實際應(yīng)用中都會用到，特別是在當前大數(shù)據(jù)的背景下。

我覺得下面的這個思路特別好，特別容易理解?。≌埌错樞蚩?。是來自leetcode上的stellari英文答案，我整理并自己修改了一下。

預(yù)備知識

先解釋下“割”

我們通過切一刀，能夠把有序數(shù)組分成左右兩個部分，切的那一刀就被稱為割(Cut)，割的左右會有兩個元素，分別是左邊最大值和右邊最小值。
我們定義L = Max(LeftPart)，R = Min(RightPart)

Ps. 割可以割在兩個數(shù)中間，也可以割在1個數(shù)上，如果割在一個數(shù)上，那么這個數(shù)即屬于左邊，也屬于右邊。（后面講單數(shù)組中值問題的時候會說）

比如說[2 3 5 7]這個序列，割就在3和5之間
[2 3 / 5 7]
中值就是（3+5）/2 = 4

如果[2 3 4 5 6]這個序列，割在4上，我們可以把4分成2個
[2 3 (4/4) 5 7]
中值就是（4+4）/2 = 4

這樣可以保證不管中值是1個數(shù)還是2個數(shù)都能統(tǒng)一運算。

割和第k個元素

對于單數(shù)組，找其中的第k個元素特別好做，我們用割的思想就是：

常識1：如果在k的位置割一下，然后A[k]就是L。換言之，就是如果左側(cè)有k個元素，A[k]屬于左邊部分的最大值。（都是明顯的事情，這個不用解釋吧?。?/p>

雙數(shù)組

我們設(shè):
????Ci為第i個數(shù)組的割。
????Li為第i個數(shù)組割后的左元素.
????Ri為第i個數(shù)組割后的右元素。

[圖片上傳失敗...(image-82acc2-1584541055375)]

如何從雙數(shù)組里取出第k個元素

[圖片上傳失敗...(image-9c664f-1584541055375)]

1. 首先????<=????Li<=Ri是肯定的（因為數(shù)組有序，左邊肯定小于右邊）
2. 如果我們讓??1<=??2L1<=R2 && ??2<=??1L2<=R1
3. 那么左半邊 全小于右半邊，如果左邊的元素個數(shù)相加剛好等于k，那么第k個元素就是Max(L1,L2)，參考上面常識1。
4. 如果 L1>R2，說明數(shù)組1的左邊元素太大（多），我們把C1減小，把C2增大。L2>R1同理，把C1增大，C2減小。

假設(shè)k=3

對于
[1 4 7 9][1 4 7 9]
[2 3 5][2 3 5]

設(shè)C1 = 2，那么C2 = k-C1 = 1
[1 4/7 9][1 4/7 9]
[2/3 5][2/3 5]

這時候，L1(4)>R2(3)，說明C1要減小，C2要增大，C1 = 1，C2=k-C1 = 2
[1/4 7 9][1/4 7 9]
[2 3/5][2 3/5]

這時候，滿足了??1<=??2L1<=R2 && ??2<=??1L2<=R1，第3個元素就是Max(1,3) = 3。

如果對于上面的例子，把k改成4就恰好是中值。

下面具體來看特殊情況的中值問題。

雙數(shù)組的奇偶

中值的關(guān)鍵在于，如何處理奇偶性，單數(shù)組的情況，我們已經(jīng)討論過了，那雙數(shù)組的奇偶問題怎么辦，m+n為奇偶處理方案都不同。

讓數(shù)組恒為奇數(shù)

有沒有辦法讓兩個數(shù)組長度相加一定為奇數(shù)或偶數(shù)呢？

其實有的，虛擬加入‘#'(這個trick在manacher算法中也有應(yīng)用)，讓數(shù)組長度恒為奇數(shù)（2n+1恒為奇數(shù)）。
Ps.注意是虛擬加，其實根本沒這一步，因為通過下面的轉(zhuǎn)換，我們可以保證虛擬加后每個元素跟原來的元素一一對應(yīng)

img

映射關(guān)系

這有什么好處呢，為什么這么加?因為這么加完之后，每個位置可以通過/2得到原來元素的位置。

img

在虛擬數(shù)組里表示“割”

不僅如此，割更容易，如果割在‘#'上等于割在2個元素之間，割在數(shù)字上等于把數(shù)字劃到2個部分。

奇妙的是不管哪種情況：

Li = (Ci-1)/2
Ri = Ci/2

例：

1. 割在4/7之間‘#'，C = 4，L=(4-1)/2=1 ，R=4/2=2
   剛好是4和7的原來位置！
2. 割在3上，C = 3，L=(3-1)/2=1，R=3/2 =1，剛好都是3的位置！

剩下的事情就好辦了，把2個數(shù)組看做一個虛擬的數(shù)組A，目前有2m+2n+2個元素，割在m+n+1處，所以我們只需找到m+n+1位置的元素和m+n+2位置的元素就行了。
左邊：A[m+n] = Max(L1+L2)
右邊：A[m+n+1] = Min(R1+R2)

Mid = (A[m+n]+A[m+n+1])/2
= (Max(L1+L2) + Min(R1+R2) )/2

至于在兩個數(shù)組里找割的方案，就是上面的方案。

分治的思路

有了上面的知識后，現(xiàn)在的問題就是如何利用分治的思想。

怎么分？

最快的分的方案是二分，有2個數(shù)組，我們對哪個做二分呢？
根據(jù)之前的分析，我們知道了，只要C1或C2確定，另外一個也就確定了。這里，為了效率，我們肯定是選長度較短的做二分，假設(shè)為C1。

怎么治？

也比較簡單，我們之前分析了：就是比較L1,L2和R1,R2。

• L1>R2，把C1減小，C2增大?！?gt; C1向左二分
• L2>R1，把C1增大，C2減小?！?gt; C1向右二分

越界問題

如果C1或C2已經(jīng)到頭了怎么辦？
這種情況出現(xiàn)在：如果有個數(shù)組完全小于或大于中值?？赡苡?種情況：

• C1 = 0 —— 數(shù)組1整體都比中值大，L1 >R2，中值在2中
• C2 = 0 —— 數(shù)組1整體都比中值小，L1 <R2，中值在1中
• C1 = n*2 —— 數(shù)組1整體都比中值小，L1 <R2，中位數(shù)在2中
• C2 = m*2 —— 數(shù)組1整體都比中值大，L1 >R2，中位數(shù)在1中

考慮下面兩種情況了，解決方案：

• 如果C1 = 0 —> 那么我們縮小L1，L1 = INT_MIN，保證判斷正確。
• 如果C1 = n*2 —> 那么我們增大R1，R1 = INT_MAX，保證判斷正確。

剩下兩種情況解決方案類似。

**代碼