由于13，14都是講期限結(jié)構(gòu)的模型的，所以把兩塊合并了，并從使用模型來(lái)把learning object組織起來(lái)

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Model 1: Model 1：term structure with no drift 只有波動(dòng)沒有趨勢(shì)

• 考點(diǎn)13.1.構(gòu)建和描述一個(gè)no drift的短期利率樹，說(shuō)明模型有效性
• 考點(diǎn)13.2.計(jì)算使用正態(tài)分布利率和無(wú)漂移的的模型得到的短期利率變化和標(biāo)準(zhǔn)差

模型公式和構(gòu)建的利率樹

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Model 1 有效性

• no drift假設(shè)會(huì)導(dǎo)致downward-sloping預(yù)測(cè)的期限結(jié)構(gòu)有更大的convexity
• model 1預(yù)測(cè)了一個(gè)flat volatility，實(shí)際上volatility是hump-shaped
• model 1只有一個(gè)fact：short-term rate
• model 1隱含了任何short term rate的變化都會(huì)導(dǎo)致收益率曲線的平移

計(jì)算IR變化和IR變換的standard deviation

Example：
short term IR = 6%
IR annual volatility = 120bps = 1.2%

1.計(jì)算短期IR的standard deviation，

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2.構(gòu)建no drift利率樹，樹上節(jié)點(diǎn)利率是前一步節(jié)點(diǎn)利率+或-上短期IR的Standard Deviation

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Model 2 Term Structure Model with drift 有趨勢(shì)有波動(dòng)，趨勢(shì)恒定

• 考點(diǎn)：13.3.描述利率期限結(jié)構(gòu)模型中如何確定負(fù)面短期利率的概率的方法

模型公式和構(gòu)建的利率樹

由于model 1肯能會(huì)產(chǎn)生negative IR，所以在Model 1上引入了和時(shí)間相關(guān)的positive risk premium=drift term，主要解決model 1可能產(chǎn)生負(fù)利率的情況

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Model 2 有效性

• model 2 比model 1更有效，drift term可以明顯觀察到期限結(jié)構(gòu)的upward-sloping
• 不好的地方是估計(jì)的drift可能會(huì)很高，不太適合long run

解決negative IR的兩個(gè)方法

• 使用non-negative分布，比如lognormal或者Chi-squared分布.但這樣會(huì)引入skewness或者不合適的波動(dòng)率
• 強(qiáng)制讓負(fù)利率變成0，這種方法比前面一種更好一些，因?yàn)椴粫?huì)改動(dòng)整個(gè)利率分布

如果模型是用來(lái)給coupon bond定價(jià)的，那么negative rate的影響就比較小
如果模型是給opting定價(jià)的，那么negative rate影響就比較大

例題分析：

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根據(jù)model2 的利率樹分析 rud = 8% + 2 * 0.5% * 1 = 9%
所以答案 C

Ho-lee模型 有趨勢(shì)，有波動(dòng)，趨勢(shì)不恒定

• 考點(diǎn) 13.4.基于帶有時(shí)間以來(lái)的Ho-lee模型構(gòu)建一個(gè)短期利率樹

模型公式和構(gòu)建的利率樹

Ho-Lee模型認(rèn)為drift有不同的時(shí)間依賴性，如果兩個(gè)時(shí)間的dift相同，Ho-Lee模型就會(huì)變成Model 2

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考點(diǎn) 13.5.描述arbitrage-free models的用法和特點(diǎn)，以及問題

Arbitrage model

通常用在流動(dòng)性差或者定制的securities，也經(jīng)常用來(lái)估計(jì)security的衍生品。

Arbitrage Free model

用在模型價(jià)格必須匹配市場(chǎng)價(jià)格上。
適用于比較兩個(gè)security價(jià)格
兩個(gè)缺點(diǎn)：
1.校準(zhǔn)到市場(chǎng)價(jià)格是主觀的，如果利率不是平移的，那么用Arbitrage model更好。
2.假設(shè)標(biāo)的價(jià)格是精準(zhǔn)的。因此不適用極端波動(dòng)

Vasicek模型，有趨勢(shì)，有波動(dòng)，趨勢(shì)是均值回歸

• 考點(diǎn) 13.6 描述使用Vasicek模型構(gòu)建recombining tree的過(guò)程
• 考點(diǎn) 13.7 計(jì)算在T年內(nèi)期望利率下，Vasicek模型的IR變化，IR變化的標(biāo)準(zhǔn)差
• 考點(diǎn) 13.8 描述Vasicek模型的有效性

Vasicek Model公式 考慮漂移是會(huì)均值回歸的

Vasicek假設(shè)短期利率是均值回歸的，所以加入了均值回歸參數(shù)

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Vasicek模型計(jì)算IR變化，IR變化的標(biāo)準(zhǔn)差

太復(fù)雜很難出現(xiàn)在考試
Example：
reversion adjustment parameter = 0.03
annual standard deviation = 1.5%
long term rate = 6%
current interest rate = 6.2%
annual drift = 0.36%

1.計(jì)算出長(zhǎng)期的回歸利率是18%

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2.使用Vasicek計(jì)算下個(gè)利率樹上節(jié)點(diǎn)的利率

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3.把利率樹轉(zhuǎn)換成combining tree
這時(shí)候得到利率樹不是combine tree的，所以需要調(diào)整漲跌概率來(lái)得到一個(gè)combining
tree

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先計(jì)算出ruu，然后再計(jì)算出上漲的概率p

4.最后根據(jù)概率p和ruu計(jì)算出standard deviation

計(jì)算T年的期望利率，half life

1.長(zhǎng)期回歸利率和當(dāng)前利率的差是11.8%
2.把利率差根據(jù)10年回歸調(diào)整參數(shù)進(jìn)行折現(xiàn)
3.用回歸利率減去折現(xiàn)后的利率就是10年的期望利率

描述Vasicek Model的有效性

• Vasicek產(chǎn)生了一個(gè)downward-sloping的波動(dòng)率，Model的波動(dòng)率是flat
• Model 1隱含了利率parallel shift，但是Vasicek沒有
• 如果短期利率波動(dòng)是因?yàn)榻?jīng)濟(jì)新聞，那么均值回歸參數(shù)越大，經(jīng)濟(jì)新聞就就被消化的越快

例題分析：

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答案 D，均值回歸參數(shù)越大，經(jīng)濟(jì)新聞就就被消化的越快

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答案D

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Model 3：Term Structure Model with Time-Dependent Volatility，波動(dòng)率隨時(shí)間變化

• 考點(diǎn) 14.1 描述Model 3
• 考點(diǎn) 14.2 計(jì)算Model 3的IR變化，IR變換標(biāo)準(zhǔn)差
• 考點(diǎn) 14.2 評(píng)估Model 3的有效性

Model 3 模型公式

可以理解成是把當(dāng)前波動(dòng)率按照一個(gè)折現(xiàn)系數(shù)按照時(shí)間折現(xiàn)

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Model 3 有效性

• 增加了flexibility，對(duì)IR caps/floor這種產(chǎn)品很有效
• 如果model3的decay rate和Vasicek的mean reversion rate一樣，那么最終分布的標(biāo)準(zhǔn)差就是一樣的
• model 3適合fixed income 的option的定價(jià)， Vasicek適合對(duì)fixed income進(jìn)行估值或?qū)_
• model 3的關(guān)鍵問題是預(yù)測(cè)的短期波動(dòng)率是常量，Vasicek隱含了波動(dòng)率是downward-sloping

例題分析：

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Model 3 可以適用各種波動(dòng)率的變化。所以第一句話的后半段不對(duì)，答案B

CIR 和 lognormal 模型

CIR 趨勢(shì)均值回歸，波動(dòng)率隨時(shí)間變化

• 考點(diǎn)14.4 描述CIR和lognormal
• 考點(diǎn)14.5 計(jì)算CIR和Lognormal的IR變化，IR變化標(biāo)準(zhǔn)差
• 考點(diǎn)14.6 描述帶確定性漂移和均值回歸的Lognormal模型

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Cox-Ingesoll-Ross 模型公式

basis-point波動(dòng)率會(huì)按照rate的平方根來(lái)增長(zhǎng)，dr會(huì)隨著rate減少而增加
沒有負(fù)利率，總是右偏的

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例題分析

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答案B是CIR的缺點(diǎn)，由于模型沒有負(fù)利率，而且是右偏的，所以在計(jì)算out-of-the money option的時(shí)候會(huì)有不同的概率分布，因此計(jì)算的價(jià)格也不同
A和C是CIR的優(yōu)點(diǎn)

Model 4 模型公式

沒有負(fù)利率，總是右偏的
lognormal的收益率波動(dòng)率是常數(shù)，但是basis point的波動(dòng)率會(huì)隨著IR而增加

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例題分析

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根據(jù)lognormal的兩個(gè)波動(dòng)率的特性，答案A

帶確定性漂移（Deterministic Drift）Lognormal模型

Ho-Lee 模型的漂移是additive
Lognormal模型的漂移是multiplicative

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帶均值回歸（Mean reversion）的Lognormal模型

Black Karasinshki Model，非常靈活，允許隨時(shí)間變化的波動(dòng)率和均值回歸特性。

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