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眾所周知，圓周率是圓的周長與直徑的比值。在古代的數(shù)學(xué)史上，圓周率的研究和計算一定程度上反應(yīng)了當(dāng)時的數(shù)學(xué)水平。古希臘阿基米德，阿拉伯的卡西，古印度阿耶波多，古代中國祖沖之和劉徽等等數(shù)學(xué)家，都致力于圓周率的研究和計算，先后給出了圓周率的估值。劉徽等人使用的是割圓術(shù)：使用內(nèi)接于圓的正多邊形逼近圓，多邊形的邊數(shù)越多，其周長與面積也越接近圓。思路很簡單，但其計算量是個不小的挑戰(zhàn)。也似乎在計算前，缺少了對計算的論證。不同于古代正多邊形的估算，現(xiàn)代借助計算機，已經(jīng)可以求得的圓周率達(dá)到了驚人的位數(shù)，2019年3月14日，谷歌宣布圓周率已到小數(shù)點后31.4萬億位。那么現(xiàn)代計算的依據(jù)是什么呢？

劉徽

圓周率是無理數(shù)

1737年，歐拉證明了e是無理數(shù)；蘭伯特根據(jù)歐拉的工作證明：如果x是非零有理數(shù)，那么 $e^x$ 和 $\tan x$ 都不是有理數(shù)。再根據(jù)此結(jié)果，由 $\tan\frac{\pi}{4}=1$ ，可得到 $\frac{\pi}{4}$ 不是有理數(shù)，因此圓周率是無理數(shù)。

圓周率是超越數(shù)

勒讓德首先猜測圓周率可能不是有理系數(shù)方程的根，勒讓德的猜測促進了無理數(shù)的分類。任何有理系數(shù)多項式代數(shù)方程的任何一個根叫做一個代數(shù)數(shù)。即方程 $a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+a_{2} x^{n-2}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n}=0$ 的根叫做代數(shù)數(shù)，其中 $a_i$ 是有理數(shù)。而那些不是代數(shù)數(shù)的數(shù)叫做超越數(shù)。

1873年，法國數(shù)學(xué)家埃爾米特給出了自然常數(shù) $e$ 的超越性的證明，1882年，德國數(shù)學(xué)家林德曼證明了 $\pi$ 也是超越數(shù)。但是 $e+\pi$ 是不是無理數(shù)、超越數(shù)還有待確定，歐拉常數(shù) $\gamma=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}-\log n\right)$ 是不是無理數(shù)也同樣有待確定。

圓周率的計算公式

維加于1789年發(fā)表公式： $\begin{aligned}\frac{\pi}{4}&=4\arctan\frac{1}{5}-2\arctan\frac{1}{408}+\arctan\frac{1}{1393}\\ &=5\arctan\frac{1}{7}+2\arctan\frac{3}{79}\\ &=2\arctan\frac{1}{3}+\arctan\frac{1}{7}\\ &=2\arctan\frac{1}{2}-\arctan\frac{1}{7} \end{aligned}$
歐拉-維加公式： $\frac{\pi}{4}=5\arctan\frac{1}{7}+2\arctan\frac{3}{79}$
歐拉公式： $\pi=48\arctan\frac{1}{18}+32\arctan\frac{1}{57}-20\arctan\frac{1}{239}$
克拉森公式： $\frac{\pi}{4}=2\arctan\frac{1}{3}+\arctan\frac{1}{7}$
盧瑟福公式(1841)： $\frac{\pi}{4}=4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{70}+\arctan\frac{1}{99}$
高斯公式： $\frac{\pi}{4}=3\arctan\frac{1}{4}+\arctan\frac{1}{20}+\arctan\frac{1}{1985}\\ \pi=48\arctan\frac{1}{18}+32\arctan\frac{1}{57}-20\arctan\frac{1}{239}$
達(dá)澤公式： $\frac{\pi}{4}=\arctan\frac{1}{2}+\arctan\frac{1}{5}+\arctan\frac{1}{8}$
布賽爾公式： $\pi=32\arctan\frac{1}{10}-16\arctan\frac{1}{515}-4\arctan\frac{1}{239}$
艾斯克托公式(1896)： $\begin{aligned}\pi=&88\arctan\frac{1}{28}+8\arctan\frac{1}{443}\\ &-20\arctan\frac{1}{1393}-40\arctan\frac{1}{11018}\end{aligned}$
肖魯茲公式(1844): $\pi=4\arctan\frac{1}{2}+4\arctan\frac{1}{5}+4\arctan\frac{1}{8}$
斯特姆公式： $\pi=24\arctan\frac{1}{8}+8\arctan\frac{1}{57}+4\arctan\frac{1}{239}$
山克斯公式(1853)： $\pi=24\arctan\frac{1}{8}+8\arctan\frac{1}{57}+4\arctan\frac{1}{239}$
赫頓： $\pi=12\arctan\frac{1}{4}+4 \arctan\frac{5}{99}$
馬庭(1706)： $\pi=16\arctan\frac{1}{5}-4\arctan\frac{1}{239}$

上述公式只是部分成果，而且除了正切反函數(shù)表示的公式外，也有一些使用正弦、余弦的反函數(shù)的圓周率公式。再使用正切反函數(shù)的級數(shù)展開式，通過計算機來計算圓周率。由于上述公式的收斂速度有快有慢，圓周率的計算會選擇收斂較快的公式。因此歐拉和馬庭公式使用的更多一些。

圓周率的級數(shù)表達(dá)

萊布尼茨(1673)： $\pi=4(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots)$
歐拉： $\begin{aligned}\pi=& 4(\frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot 2^{3}}+\frac{1}{5\cdot 2^{5}}-\frac{1}{7\cdot 2^{7}}+\cdots\\ &+\frac{1}{3}-\frac{1}{3\cdot 3^{3}}+\frac{1}{5 \cdot 3^{5}}-\frac{1}{7\cdot 3^{7}}+\cdots)\end{aligned}$
歐拉： $\pi=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\cdots}$
歐力斯(1656)： $\pi=2\times\frac{2\cdot 2\cdot 4\cdot 4\cdot 6\cdot 6\cdot 8\cdot 8\cdots}{1\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 7\cdot 9\cdot 9\cdots}$
松永良弼： $\begin{aligned}\pi=&3(1+\frac{1^{2}}{4\cdot 6}+\frac{1^{2}\cdot 3^{2}}{4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}\\ &+\frac{1^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}}{4\cdot 6\cdot 8\cdot 10 \cdot 12\cdot 14}+\cdots)\end{aligned}$
牛頓： $\begin{aligned}\pi&=\frac{3 \sqrt{3}}{4}+24(\frac{1}{3 \cdot 2^{2}}-\frac{1}{5 \cdot 2^{5}}-\frac{1}{2 \cdot 7 \cdot 2^{8}}\\ &-\frac{1\cdot 3}{2\cdot 3\cdot 9\cdot 2^{11}}-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 11\cdot 2^{13}}-\cdots )\end{aligned}$
牛頓： $\begin{aligned}\pi=& 6(\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 2^{3}}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5\cdot 2^{5}}\\ &+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 2^{7}}+\cdots)\end{aligned}$
烏衣塔： $\pi=\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}}}$
夏普(1705): $\pi=2\sqrt{3}(1-\frac{1}{3\cdot 3}+\frac{1}{5\cdot 3^{2}}-\frac{1}{7\cdot 3^{3}}+\cdots)$
馬庭(1706)： $\begin{aligned}\pi=& 16(\frac{1}{5}-\frac{1}{3\cdot 5^{3}}+\frac{1}{5\cdot 5^{5}}-\frac{1}{7\cdot 5^{7}}+\cdots)\\ &-4(\frac{1}{239}-\frac{1}{3\cdot 239^{3}}+\frac{1}{5\cdot 239^{5}}-\cdots)\end{aligned}$