作者：亞馬遜的蝴蝶（Butterfly_of_Amazon）

一、奇妙的關(guān)系

在光滑的平面上放著兩個(gè)1 kg的滑塊，在它們的左側(cè)有一面堅(jiān)固且不可移動(dòng)的墻。兩個(gè)滑塊一個(gè)離墻近一些，一個(gè)遠(yuǎn)一些，而且后者正在向前者滑去?？梢韵胂螅酉聛?lái)將會(huì)產(chǎn)生許多次碰撞。假設(shè)每次碰撞時(shí)都沒(méi)有動(dòng)能損失，整個(gè)過(guò)程將像下面圖中展示的那樣：

圖1

右側(cè)的滑塊碰撞左側(cè)的滑塊，并將全部動(dòng)量轉(zhuǎn)移給左側(cè)滑塊，左側(cè)滑塊碰到墻反彈回來(lái)，再與右側(cè)滑塊發(fā)生碰撞并將動(dòng)量全部轉(zhuǎn)移過(guò)去。期間左側(cè)滑塊一共發(fā)生了3次碰撞。如果我們?cè)龃笥覀?cè)滑塊的質(zhì)量，會(huì)發(fā)現(xiàn)有趣的事情：將右側(cè)滑塊質(zhì)量換成100 kg，那每次碰撞時(shí)只會(huì)有一小部分動(dòng)量發(fā)生轉(zhuǎn)移，將會(huì)碰撞31次；如果將右側(cè)滑塊質(zhì)量換成10000kg，那整個(gè)過(guò)程將發(fā)生314次碰撞。

不斷100倍100倍地增加右側(cè)滑塊質(zhì)量，你會(huì)發(fā)現(xiàn)神奇的現(xiàn)象：總碰撞次數(shù)與π每一位的數(shù)字越來(lái)越接近。

圖2

二、這是真的嗎

是不是很神奇？我通過(guò)計(jì)算，驗(yàn)證100kg、10000kg和1000000kg的情況，發(fā)現(xiàn)都與這個(gè)結(jié)論相符。驗(yàn)證過(guò)程如下：

圖3

設(shè)滑塊a和滑塊b的質(zhì)量分別為m_a和m_b，速度為v_a和v_b。速度隨著碰撞而改變，設(shè)兩個(gè)滑塊間發(fā)生第n次碰撞后的速度分別為v_a,_n和v_b,n。

由于碰撞過(guò)程中沒(méi)有動(dòng)能損失，因此滑塊a碰撞左側(cè)墻壁后，速度將大小不變，方向相反。結(jié)合動(dòng)量守恒定律，可列下式：

-m_av_a,n-1 + m_bv_b,n-1 = m_av_a,n + m_bv_b,n ........①

因?yàn)榕鲎策^(guò)程中總動(dòng)能不變，可列下式：

m_av²_a,n-1 + m_bv²_b,n-1 = m_av²_a,n + m_bv²_b,n ...②

設(shè)m_b = K·m_a（圖2中K為1000000，圖3中K為100），由式①、②計(jì)算可得：

式③

式④

當(dāng)v_b,n為負(fù)，且|v_a,n|<=|v_b,n|時(shí)，兩個(gè)滑塊將不再發(fā)生碰撞，此時(shí)如果v_a,n>0，則滑塊a還將與墻壁碰撞一次。將式③、④寫(xiě)成Excel表格中公式，設(shè)v_b初始速度為1，通過(guò)拖拽可方便地得到下表（表中以K=100為例）：

以表1中v_b為縱坐標(biāo)，v_a為橫坐標(biāo)，可得下面半圓圖形：

圖4

細(xì)心的你可能已經(jīng)看出：上圖并不是真正的半圓，因?yàn)閳D中橫坐標(biāo)最大值是10，而縱坐標(biāo)最大值是1，需要把縱坐標(biāo)乘以10才是真正的半圓。為了方便描述，姑且把它稱為半圓。

三、為什么會(huì)這樣

為什么圓周率π與滑塊碰撞次數(shù)之間有這樣奇妙的關(guān)系？計(jì)算告訴你答案。

先問(wèn)一個(gè)問(wèn)題：根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，如何估算圖4半圓的上半部分（也就是四分之一個(gè)圓）的面積S？

可能你已經(jīng)想到了：可以把這四分之一個(gè)圓近似看成由8（約為n的最大值的一半）個(gè)豎長(zhǎng)條組成，每個(gè)豎條的寬是相鄰兩點(diǎn)間的橫坐標(biāo)距離，也就是相鄰兩次碰撞后滑塊a的速度差，高是這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的平均值，也就是相鄰兩次碰撞后滑塊b的平均速度。將這8個(gè)豎條的面積之和當(dāng)作S的近似值，雖然與真實(shí)值存在偏差，但通過(guò)增加圓上點(diǎn)的數(shù)量，也就是增加碰撞數(shù)量，從而增加豎條數(shù)量，可以減小偏差。

設(shè)碰撞次數(shù)的最大值為N，可列下式：

式⑤

再換個(gè)角度：把S近似為8個(gè)橫條的面積之和，每個(gè)橫條的高是相鄰兩點(diǎn)間的縱坐標(biāo)距離，寬是這兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的平均值?？闪邢率剑?/p>

式⑥

⑤+⑥，得：

式⑦

將③、④代入⑦，得：

式⑧

因?yàn)槭舰?、m_b=K×m_a、v_b初始值=1，所以

式⑨

式⑩

由式⑨可知，所有坐標(biāo)為 (v_a,√K·v_b) 的點(diǎn)位于一個(gè)半徑為 √K 的圓上，此圓的面積為 K×π ；而S為此圓縱坐標(biāo)被壓扁到 1/√K 后面積的四分之一，因此有：

將⑩代入S，并考慮到在K非常大時(shí)，K/(K+1)≈1，可得：

N是兩個(gè)滑塊在前半程中相互碰撞的次數(shù)，后半程兩個(gè)滑塊相互碰撞次數(shù)也為N，滑塊a與墻壁碰撞的次數(shù)為2N，故4N的整數(shù)部分即為總碰撞次數(shù)。這就是為什么圓周率π與滑塊碰撞次數(shù)之間有這樣的奇妙關(guān)系！

前面出現(xiàn)的式⑤提供了一個(gè)迭代計(jì)算圓周率π的方法。我通過(guò)迭代計(jì)算785次矩形面積，將圓周率精確到了小數(shù)點(diǎn)后5位（3.14159），計(jì)算過(guò)程中借助了Excel表格，有興趣的朋友可以試試。

看完說(shuō)點(diǎn)兒什么吧，要不點(diǎn)一下贊或踩一腳也行。您的任何一點(diǎn)兒反饋都能給我?guī)椭?，謝謝！