原文鏈接 https://betterexplained.com/articles/developing-your-intuition-for-math/
對(duì)概念的第一印象塑造了我們對(duì)概念的直覺。 而且，直覺會(huì)影響我們對(duì)一個(gè)學(xué)科的喜愛程度。什么意思呢？比如，我們想給"貓"下個(gè)定義：
山頂洞人版 一個(gè)毛茸茸的動(dòng)物，有爪子、牙齒、一條尾巴和四條腿。高興的時(shí)候發(fā)出咕嚕咕嚕的聲音，生氣的時(shí)候嘶嘶的叫...
進(jìn)化論版 某種哺乳類動(dòng)物的后代，有著某些特征...
現(xiàn)代版 那些可以稱之為定義？貓是一種動(dòng)物，它們的DNA有著如下特征: ACATACATACATACAT…
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毫無疑問，現(xiàn)代版本的定義是最準(zhǔn)確的。但是它是最好的嗎？你是這么給小孩子教授"貓"這個(gè)單詞的？這個(gè)定義真的能更好揭示動(dòng)物身上貓的特性嗎？不見得?，F(xiàn)代的定義是有用的，但是是在我們理解了貓是什么之后。我們不應(yīng)該從現(xiàn)代的定義入手。
不幸的是，理解數(shù)學(xué)就像理解DNA一樣。我們被教授了現(xiàn)代的，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x，但是卻沒有告訴我們這些概念什么怎么來的。留給我們的是一堆神秘的方程式，但是背后的原理是什么，我們卻知之甚少。
讓我們從不同的角度來探索一個(gè)概念。假想有一個(gè)圓：圓心是你正在學(xué)習(xí)的概念，圓的四周是對(duì)它的描述。我們從一個(gè)角落開始學(xué)習(xí)，僅僅依靠一個(gè)定理或者觀點(diǎn)，然后努力思索不斷加強(qiáng)我們的理解。我們從貓有著共同的身體特征推導(dǎo)出貓有共同的祖先，繼而推導(dǎo)出一個(gè)物種可以通過特定的DNA進(jìn)行區(qū)分。啊哈！我們現(xiàn)在可以知道貓的定義是如何從山頂洞人的定義演化到現(xiàn)在的定義了。
但是并不是所有的起點(diǎn)都是一樣的。正確的視角使得我們學(xué)起來事半功倍 ——數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)定理的先驅(qū)們通常都具有啟發(fā)式的觀點(diǎn)。下面讓我一起學(xué)習(xí)如何構(gòu)建我們的直覺吧。
** 圓是什么 **
讓我們來看一個(gè)數(shù)學(xué)示例：如何給圓下個(gè)定義？
看上去似乎有無數(shù)多個(gè)定義。下面舉幾個(gè)例子：
<li> 最對(duì)稱的二維圖形
<li> 用最少的周長圍出最大面積的圖形
<li>平面中到定點(diǎn)距離相等點(diǎn)的集合
<li> 滿足方程x^2 +y^2 = r^2點(diǎn)的集合
<li> 對(duì)所有的t，滿足參數(shù)方程rSin(t),rCos(t)的點(diǎn)集合
<li> 切線始終與位置向量垂直的圖形
這個(gè)清單還可以繼續(xù)補(bǔ)充下去，但是有一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：他們描述都描述了同一個(gè)概念。就像是說1（阿拉伯?dāng)?shù)字1），one（英文1）,uno（西班牙語1），eins（德語1），方程2x + 3 = 5的解，或者鼻子的個(gè)數(shù)。這些都表示數(shù)字1，只是同一個(gè)概念的不同的名字罷了。
但是這些初始的描述很重要——他們數(shù)造了我們的直覺。因?yàn)橄仍诂F(xiàn)實(shí)世界中見到了圓而后我們才在課堂中學(xué)習(xí)它，我們明白他們是“圓”的。無論我們覺得方程式（x^2 +y^2 = r^2 ）多么的令人驚艷，我們根深蒂固的知道圓圈是圓的。如果我們根據(jù)方程式進(jìn)行作圖，得到的圖形是方的，或者不對(duì)稱，那肯定是出錯(cuò)了。
做為小孩子，我們學(xué)習(xí)山頂洞人版的圓的定義（就是很圓的東西），給了我們很直觀的直覺。我們發(fā)現(xiàn)在圓的東西上，所有點(diǎn)到中心的距離都是相等的。x^2 + y^2 = r^2是用解析的方法描述了同樣的事實(shí)，使用了畢達(dá)哥拉斯的距離表示方法。我們從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)根據(jù)我們的直覺，不斷的學(xué)習(xí)然后推導(dǎo)出正式的定義。
其它的概念就未必如此幸運(yùn)了。我們能夠憑直覺了解到e表示增長率嗎，或者它只是一個(gè)抽象的定義？我們能了解i（虛數(shù)概念）表示旋轉(zhuǎn)嗎，還是它只是一個(gè)人造的，沒用的概念？
培養(yǎng)直覺的策略
時(shí)至今日我仍然需要時(shí)不時(shí)的提醒自己e與i的深層含義——這就像需要提醒自己就圈圈是圓的或者貓是什么樣子一樣荒唐！我們應(yīng)該從最自然的想法開始學(xué)習(xí)他們。
忽略了重點(diǎn)使我抓狂：數(shù)學(xué)是關(guān)于概念的——方程式只是一種解釋概念的方式而已。一定清楚了概念的要點(diǎn)，方程式很快就是建立起來。下面是一些對(duì)我有用的方法：
步驟1: 找出數(shù)學(xué)概念的主題。這個(gè)可能會(huì)很難，但是可以試著從它的歷史著手。這個(gè)概念第一次出現(xiàn)在哪里？發(fā)現(xiàn)者做了哪些工作呢？概念之前的用途可能會(huì)和如今的解釋和用途有所不同。
步驟2：通過一個(gè)主題來解釋一個(gè)性質(zhì)或定理。用一個(gè)主題來類比正式的定義。如果幸運(yùn)的話，你可以把數(shù)學(xué)方程式（x^2 + y^2 = r^2）翻譯成通俗易懂的語言。（“距離中心距離相等的點(diǎn)的集合”）
步驟3：使用相同的主題來挖掘相關(guān)連的性質(zhì)。一定你發(fā)現(xiàn)了一個(gè)行之有效的類比或者解釋，試試看是否它可以應(yīng)用到其它的性質(zhì)中。有時(shí)可以，有時(shí)不可以。這時(shí)候你需要重新審視了，但是你的發(fā)現(xiàn)會(huì)讓你大吃一驚。
小試牛刀
一個(gè)實(shí)例：理解e
理解數(shù)字e是一項(xiàng)艱巨的任務(wù)。e出現(xiàn)在各種科學(xué)中，而且擁有多種定義，但是沒有一個(gè)以一種自然的方式來定義。讓我們圍繞著這個(gè)概念做一些深入的探究。下面的幾個(gè)小節(jié)會(huì)出現(xiàn)一些簡(jiǎn)單描述這個(gè)概念的方程式。縱然方程式看起來有些莫名其妙，但是其背后有隱藏著簡(jiǎn)單樸實(shí)的描述。
下面是一些e的定義：
第一步就是要尋找一個(gè)主題。查看一下e的歷史，它好像和增長率或者利率相關(guān)。e是在做商業(yè)計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)的（而不是抽象的數(shù)學(xué)猜想），所以“利息”（增長率）就是個(gè)合適的主題。
我們來看一下第一個(gè)定義，圖中左上角的那個(gè)。對(duì)我而言，最關(guān)鍵的跳躍是，認(rèn)識(shí)到這個(gè)定義和復(fù)利計(jì)算公式有多像。事實(shí)上，這就你按照盡可能快的方式，在單位時(shí)間內(nèi)以100%復(fù)利增長的條件下利率計(jì)算公式。
定義1：e定義為以最小的增量之下，以100%的復(fù)利增長所能達(dá)到的極限值。
這篇講述e的文章(https://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/) 對(duì)上述定義做了詳細(xì)的解釋。讓我們看一下第二個(gè)定義：一個(gè)無窮序列，后面每一項(xiàng)越來越小，這會(huì)是什么呢？
使用“利率”主題來深刻的探討了這個(gè)定義。我們發(fā)現(xiàn)e的第二個(gè)定義是復(fù)利的組成部分?，F(xiàn)在看起來還不是那么直觀 -- 我們思考一下在討論增長率時(shí)，“1+1+1/2+1/6 …”代表了什么之后就可以柳暗花明了。
第一項(xiàng)（1=1/0!,記住0的階乘等于1）是你的本金，初始資本。第二項(xiàng)（1=1/1!）是你直接賺的的利息 -- 本金1的100%。第三項(xiàng)(0.5 = 1/2!) 是你利息賺得的利息（“第二級(jí)利息”）。接下來的一項(xiàng)(.1666 = 1/3!)是你的第三級(jí)利息--也就是你利息的利息所賺得的利息。
錢可生錢，生出來的錢還可以繼續(xù)生錢，無窮無盡連綿不絕（子可生孫，孫又生子；子子孫孫，無窮匱也）-- 這些無窮無盡的序列獨(dú)立作出了貢獻(xiàn)。還有很多東西可以說，但是還是讓我們圍繞增長率來理解這個(gè)概念吧。
定義2：e就是各項(xiàng)利息之和。
接下來我們來看e的第三個(gè)定義也是最短的一個(gè)。它是什么意思呢？不要去想著導(dǎo)數(shù)（這會(huì)把你的大腦切換到方程式模式）而是去想想它是什么。找找對(duì)方程式的感覺。讓它成為你的朋友。
這是用微積分的方式表示“增長率等于現(xiàn)在的數(shù)量”。嗯，增長率等于現(xiàn)在的數(shù)值意味著100%的增長率，沒錯(cuò)吧。而它是一直增長就意味著需要一直計(jì)算利率 -- 這是用另一種方式來描述連續(xù)復(fù)合增長率。
定義3：e就是一個(gè)按照100%增長率在增長的函數(shù)。
很好——e就是一直完全按照自身的大?。?00%）在增長的數(shù)，而不是1%或200%。
我們來看最后一個(gè)定義 -- 最棘手的一個(gè)。我的解釋是，相反我們不談?wù)撛鲩L了多少量，現(xiàn)在來談一談增長到一定量需要花費(fèi)多少時(shí)間。
若果數(shù)值1按照100%的增長率，從1增長到2將花費(fèi)1個(gè)單位的時(shí)間。但是如果從2開始并且以100%增長率增長，這意味著每個(gè)單位時(shí)間可以增長兩倍。所以只要1/2單位時(shí)間就可以從2增長到3.從3增長到4值需要1/3單位時(shí)間就這樣增長下去。從1增長到A的總時(shí)間是從1增到2，2到3，3到4 ...... 直到增長到A為止花費(fèi)的時(shí)間。利用第一個(gè)定義很自然就可以從“增長所耗的時(shí)間”的計(jì)算中定義“自然對(duì)數(shù)（ln）”。
ln(a)就是從1增長到a所需要花費(fèi)的時(shí)間。我們可以將e稱之為花費(fèi)一單位時(shí)長可以增加多少。換言之，e就是一單位時(shí)長后所增長的部分！
定義4： 將從1連續(xù)增長到a所花費(fèi)的時(shí)間為ln(a)。e就是經(jīng)過1單位時(shí)間后所增加的量。
這就是描述神秘的e的四種方式。一定掌握了核心概念（e就是關(guān)于100%連續(xù)增長的）再復(fù)雜的方程式也可以搞得一清二楚 -- 可以將微積分翻譯成樸實(shí)的語言。數(shù)學(xué)就是關(guān)于概念的。
其中的寓意
在數(shù)學(xué)課上，我們通常從最新的復(fù)雜的概念開始學(xué)起。我們感到困惑并不意外：老師們給學(xué)生展示DNA結(jié)構(gòu)而期望學(xué)生能夠看到一只貓。
我從這個(gè)方法學(xué)到了不少經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，這直接造就了我如何理解以及解釋數(shù)學(xué)：
<li> 探索其中的要義并應(yīng)用它們。最初的直覺可以幫我們洞察很多事情做到一步到位。從一個(gè)有意義的定義開始，然后圍繞著它不斷的發(fā)現(xiàn)別的定義。
<li> 皮實(shí)一點(diǎn)。死記硬背概念并沒什么卵用。如果不能茅塞頓開，試著換個(gè)角度?？傆袆e的書籍，別的文章或者另外一些人可以幫助你理解。
<li> 可視化也很好。數(shù)學(xué)給人的感覺是嚴(yán)格的、解析的 -- 但是可視化的解釋也很好啊。虛數(shù)一直讓人覺得很費(fèi)解，直到他們的幾何解釋曝于人前，距發(fā)現(xiàn)虛數(shù)都好幾十年了。整天盯著方程式看，數(shù)學(xué)家們也看不出個(gè)所以然來。
當(dāng)我們過分強(qiáng)調(diào)定義本身而忽視對(duì)它的理解時(shí)，數(shù)學(xué)會(huì)變得很難學(xué)。記住，現(xiàn)在的定義是最先進(jìn)的想法，并不是思想的源頭。不要害怕從一個(gè)可笑的角度去接觸概念 ，找出方程式背后最通俗易懂的語言?？鞓返南硎軘?shù)學(xué)吧。
