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費馬——不是數學專業(yè)的業(yè)余愛好者
皮埃爾·德·費馬，法國律師和業(yè)余數學家。他在數學上的成就不比職業(yè)數學家差，他似乎對數論最有興趣，亦對現代微積分的建立有所貢獻。被譽為"業(yè)余數學家之王"。
費馬涉足領域非常之廣，解析幾何、微積分、概率論、數論等等……
他獨立于笛卡爾之外，發(fā)現了解析幾何理論。
笛卡兒是從一個用
軌跡來尋找拋物線、曲線等的方程的，而費馬則是從方程出發(fā)來研究軌跡的，這正是解析幾何基本原則的兩個相對的方面。
微積分方面，費馬建立了求切線、求極大值和極小值以及定積分方法，對微積分做出了重大貢獻。
概率論方面，一般概率空間的概念，是人們對于概念的直觀想法的徹底公理化。從純數學觀點看，有限概率空間似乎顯得平淡無奇。但一旦引入了隨機變量和數學期望時，它們就成為神奇的世界了。費馬的貢獻便在于此。
光學方面，費馬在光學中突出的貢獻是提出最小作用原理，也叫最短時間作用原理。
對一個質點而言，其質量、速度和兩個固定點之間的距離的乘積之積分是一個極大值和極小值; 即對該質點所取的實際路徑來說，必須是極大或極小。
費馬同時討論了光在逐點變化的介質中行徑時，其路徑取極小的曲線的情形。并用最小作用原理解釋了一些問題。
這給許多數學家以很大的鼓舞。尤其是萊昂哈德·歐拉，竟用變分法技巧把這個原理用于求函數的極值。
這直接導致了拉格朗日的成就……
費馬在數論上的貢獻極其多，諸如：
(1)全部大于2的素數可分為4n+1和4n+3兩種形式。
(2)形如4n+1的素數能夠，而且只能夠以一種方式表為兩個平方數之和。
(3)沒有一個形如4n+3的素數，能表示為兩個平方數之和。
(4)形如4n+1的素數能夠且只能夠作為一個直角邊為整數的直角三角形的斜邊;4n+1的平方是且只能是兩個這種直角三角形的斜邊;類似地，4n+1的m次方是且只能是m個這種直角三角形的斜邊。
(5)邊長為有理數的直角三角形的面積不可能是一個平方數。
(6)4n+1形的素數與它的平方都只能以一種方式表達為兩個平方數之和;它的3次和4次方都只能以兩種表達為兩個平方數之和;5次和6次方都只能以3種方式表達為兩個平方數之和，以此類推，直至無窮。
(7)發(fā)現了第二對親和數:17296和18416。
……………………
可能單看成就感覺不到其偉大，但……
距離第一對親和數（220和284）誕生2500多年以后，才由費馬同志提出第二對親和數！
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今天的主角之一——費馬大定理
n>2時且n是整數，則方程x^n+y^n=z^n沒有滿足的整數解。
這個是不定方程，它已經由英國數學家懷爾斯證明了(1995年)，證明的過程是相當艱辛的!
很有趣味的是，費馬在讀希臘數學家丟番圖的《算術》一書時，在 有方程x^2+y^2=z^2的那頁頁邊上，寫下了費馬大定理，且寫下了耐人尋味的一番話：我確信這是不可能的，基于此，我發(fā)現了一個美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下。
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不太出名的費馬小定理
自從歐幾里得證明了質數的無窮多后，關于質數的討論從未停止，也永不會停止！
可是怎么找到下一個質數？
目前找到的最大的質數是：?2^74207281-1
我們無法寫出所有的質數，那么有沒有一種方法可以判斷其是否是質數？或者通過觀察已知的質數來確定下一個質數的位置？
費馬提出了檢驗一個數是否是指數的方法：
檢驗數x是質數，則用2^x除以x后得到余數為2，則其是一個質數；否則反之。
比如一個數是17， 2^17=131072， 131072÷17=7710……?2，
故17是質數。
一開始，數學家們認為這是一個正確的結論；
但是，實際上這一檢驗方法并不能得到所有的正確結論。
比如：341=11*31，不是質數，
而 2^341÷341的余數也是 2 ！
這個例子在1819年才被人們發(fā)現。
費馬其實指出了，這個方法不僅局限于 2 的冪，而是可以擴展到 n 的冪，對于任何比x小的正整數n，求得n^x÷x的余數，如果對于所有的結果都是n，則其是一個質數，否則其是一個假質數！
比如，上面例子中的 341.
3^341÷341的余數不是3，而是168，所以其不是質數。
可是，我們不可能驗證所有的可能性，這需要太多的計算了。
偉大的匈牙利質數奇才保羅埃爾德什評估出，要驗證一個小于10^150的數字是否是質數，只要通過一個費馬的檢驗程序，就能知道該數字為非質數的概率小于10^43分之一。
也就是說，檢驗一次驗證就足以發(fā)現其是否為質數，當然，出錯的幾率還是存在的，但很?。?/p>
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