在總體的分布函數(shù)只知其形式，但不知其參數(shù)的情況下，或者對(duì)總體分布完全未知的情況下，為了推斷總體的某些未知特征，先提出某些關(guān)于總體的假設(shè)，然后要根據(jù)樣本，采用適當(dāng)?shù)姆椒▽?duì)所提出的假設(shè)做出接受或者拒絕的決策，這一過(guò)程叫做假設(shè)檢驗(yàn)(hypothesis test)。假設(shè)檢驗(yàn)分為參數(shù)檢驗(yàn)和非參數(shù)檢驗(yàn)。

我們通過(guò)簡(jiǎn)單示例來(lái)說(shuō)明概念：

某制藥公司宣稱，改公司研發(fā)的一款治療打鼾的藥，可以使患者兩周內(nèi)的治愈率為90%。某醫(yī)院醫(yī)生，在臨床觀察中抽取了15名患者發(fā)現(xiàn)：兩周治療后，治愈的患者數(shù)為11，未治愈患者數(shù)為4。根據(jù)制藥公司都說(shuō)法，這15名患者中，應(yīng)該有14人治愈?，F(xiàn)在問(wèn)題來(lái)了，到底該制藥公司發(fā)布的是虛假?gòu)V告，還是醫(yī)生抽樣數(shù)據(jù)有問(wèn)題？

我們可以對(duì)制藥公司的斷言進(jìn)行檢驗(yàn)：首先假設(shè)制藥公司的斷言屬實(shí)，然后出這個(gè)斷言出發(fā)對(duì)現(xiàn)有的證據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，最后做出決策。這個(gè)過(guò)程，稱為假設(shè)檢驗(yàn)。

基本思想

假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是“小概率事件”原理，其統(tǒng)計(jì)推斷方法是帶有某種概率性質(zhì)的反證法。小概率思想是指小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生。反證法思想是先提出檢驗(yàn)假設(shè)，再用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法，利用小概率原理，確定假設(shè)是否成立。即為了檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè)H0是否正確，首先假定該假設(shè)H0正確，然后根據(jù)樣本對(duì)假設(shè)H0做出接受或拒絕的決策。如果樣本觀察值導(dǎo)致了“小概率事件”發(fā)生，就應(yīng)拒絕假設(shè)H0，否則應(yīng)**接受假設(shè)H0 **。

假設(shè)檢驗(yàn)中所謂“小概率事件”，并非邏輯中的絕對(duì)矛盾，而是基于人們?cè)趯?shí)踐中廣泛采用的原則，即小概率事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不發(fā)生的，但概率小到什么程度才能算作“小概率事件”，顯然，“小概率事件”的概率越小，否定原假設(shè)H0就越有說(shuō)服力，常記這個(gè)概率值為α(0<α<1)，稱為檢驗(yàn)的顯著性水平。對(duì)于不同的問(wèn)題，檢驗(yàn)的顯著性水平α不一定相同，一般認(rèn)為，事件發(fā)生的概率小于0.1、0.05或0.01等，即“小概率事件” 。

假設(shè)檢驗(yàn)的步驟

一個(gè)完整的假設(shè)檢驗(yàn)過(guò)程，包括以下幾個(gè)步驟：

• 提出假設(shè)；
• 構(gòu)造適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并根據(jù)樣本計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的具體數(shù)值；
• 規(guī)定顯著性水平，建立檢驗(yàn)規(guī)則；
• 做出判斷。

假設(shè)檢驗(yàn)的假設(shè)

從前面步驟可看出，我們首先提出兩個(gè)新假設(shè)：

一種叫原假設(shè)，也叫零假設(shè)，用H0表示。原假設(shè)一般是統(tǒng)計(jì)者想要拒絕的假設(shè)。原假設(shè)的設(shè)置一般為：等于=、大于等于>=、小于等于<=。
另外一種叫備擇假設(shè)，用H1表示。備則假設(shè)是統(tǒng)計(jì)者想要接受的假設(shè)。備擇假設(shè)的設(shè)置一般為：不等于、大于>、小于<。

在前面的示例中，原假設(shè)和備擇假設(shè)分別是：

• 原假設(shè)：藥物能夠在兩周內(nèi)治愈90%的患者，記作：H0：p=0.9

• 備擇假設(shè)：藥物在兩周內(nèi)之余患者少于90%，記作：H1：P<0.9

為什么統(tǒng)計(jì)著想要拒絕的假設(shè)放在原假設(shè)呢？因?yàn)樵僭O(shè)被拒絕出錯(cuò)的話，只能犯第I類錯(cuò)誤，而犯第I類錯(cuò)誤的概率已經(jīng)被規(guī)定的顯著性水平所控制。是不是有點(diǎn)不太明白，我們來(lái)看下一節(jié)。

假設(shè)檢驗(yàn)中兩類錯(cuò)誤

第I類錯(cuò)誤(Type I Error)：又稱棄真錯(cuò)誤，當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)拒絕原假設(shè)。犯第Ⅰ類錯(cuò)誤的概率通常記為α 。
第Ⅱ類錯(cuò)誤(type Ⅱ error): 又稱取偽錯(cuò)誤，當(dāng)原假設(shè)為假時(shí)沒(méi)有拒絕原假設(shè)。犯第Ⅱ類錯(cuò)誤的概率通常記為β。

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在統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)一般先控制第Ⅰ類錯(cuò)誤發(fā)生的概率，并確定犯第Ⅰ類錯(cuò)誤的概率最大值，稱為檢驗(yàn)的顯著性水平。在樣本容量n不變的條件下，犯兩類錯(cuò)誤的概率常常呈現(xiàn)反向的變化，要使α和β 都同時(shí)減小，除非增加樣本的容量。因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)家奈曼與皮爾遜提出了一個(gè)原則：即在控制犯第一類錯(cuò)誤的概率情況下，盡量使犯第二類錯(cuò)誤的概率小。
在實(shí)際問(wèn)題中，我們往往把要否定的陳述作為原假設(shè)，而把擬采納的陳述本身作為備擇假設(shè)，只對(duì)犯第一類錯(cuò)誤的概率加以限制，而不考慮犯第二類錯(cuò)誤的概率。

顯著性水平

在統(tǒng)計(jì)假設(shè)中，這種只控制α而不考慮β的假設(shè)檢驗(yàn)，稱為顯著性檢驗(yàn)，α稱為顯著性水平。顯著性水平是指當(dāng)原假設(shè)實(shí)際上正確時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落在拒絕域的概率，簡(jiǎn)單理解就是犯棄真錯(cuò)誤的概率。

顯著性水平最常用的取值是：0.05/0.01/0.001等。一般情況下，根據(jù)研究的問(wèn)題，如果犯棄針錯(cuò)誤損失大，為減少此類錯(cuò)誤，α的取值應(yīng)適當(dāng)減少。

檢驗(yàn)方式與拒絕域

檢驗(yàn)方式分為兩種：雙側(cè)檢驗(yàn)與單側(cè)檢驗(yàn)，單側(cè)檢驗(yàn)包括左側(cè)檢驗(yàn)、右側(cè)檢驗(yàn)。雙側(cè)檢驗(yàn)則是包含左右側(cè)檢驗(yàn)。
拒絕域：拒絕域是由顯著性水平圍成的區(qū)域。拒絕域的功能主要用來(lái)判斷假設(shè)檢驗(yàn)是否拒絕原假設(shè)的。如果樣本觀測(cè)計(jì)算出來(lái)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的具體數(shù)值落在拒絕域內(nèi)，就拒絕原假設(shè)，否則不拒絕原假設(shè)。給定顯著性水平α后，查表就可以得到具體臨界值，將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與臨界值進(jìn)行比較，判斷是否拒絕原假設(shè)。
雙側(cè)檢驗(yàn)拒絕域：

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左側(cè)檢驗(yàn)拒絕域：

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右側(cè)檢驗(yàn)拒絕域：

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那么我們?nèi)绾闻袛鄻颖窘Y(jié)果是否位于拒絕域中？判斷是否位于拒絕域中，就是比較p值與α進(jìn)行比較，所以樣本結(jié)果位于拒絕域的條件是：

左尾：p < α

右尾：p < α

雙尾：p < α/2 （有待驗(yàn)證）

對(duì)于示例中的判斷，若設(shè)定顯著性水平為0.05，則若p<0.05，則拒絕H0，接受H1，反之亦然。

假設(shè)檢驗(yàn)的假設(shè)形式

對(duì)于一個(gè)總體樣本均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)形式：

雙側(cè)檢驗(yàn)：H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0

左側(cè)檢驗(yàn)：H0：μ>=μ0，H1：μ<μ0

右側(cè)檢驗(yàn)：H0：μ<=μ0，H1：μ>μ0

判斷原則：P<α，拒絕H0

兩個(gè)總體樣本均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)形式：

雙側(cè)檢驗(yàn)：H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2

左側(cè)檢驗(yàn)：H0：μ1>=μ2，H1：μ1<μ2

右側(cè)檢驗(yàn)：H0：μ1<=μ2，H1：μ1>μ2

判斷原則：P<α，拒絕H0