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1.3、推理與證明

一、推理

1、推理定義

根據(jù)一個或幾個已知的事實（或假設(shè)）得出一個判斷的思維方式叫做推理。推理包括已知的事實（或假設(shè)）和未知的結(jié)論。推理的結(jié)論不一定正確。

2、歸納推理

根據(jù)一類事物的部分對象具有某些性質(zhì)，推出這類事物的所有對象都具有這些性質(zhì)的推理，叫做歸納推理。歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。
一般步驟：觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；從已知的相同性質(zhì)推出一個明確表達的一般性命題或結(jié)論。

3、類比推理

根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質(zhì)，這樣的推理叫類比推理（簡稱類比）。類比推理是由特殊到特殊的一種推理。
一般步驟：找出兩類事物之間的相似性或一致性；用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題或結(jié)論。

4、合情推理

歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理。
一般步驟：①具體問題 $\rightarrow$ ②觀察、分析、比較、聯(lián)想 $\rightarrow$ ③歸納類比 $\rightarrow$ 提出猜想

5、演繹推理

概念:從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理。
三段論：①大前提②小前提③結(jié)論
利用集合知識理解：
若集合M的所有元素都有性質(zhì)P，S是M的一個子集，那么S中的所有元素也都具有性質(zhì)P。

二、證明

1、綜合法

利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的一種方法。
綜合法的思維方向是“順推”，即由已知條件出發(fā)，逐步推出其必要條件，最后推出要證明的結(jié)論成立。

2、分析法

分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后要把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等）的一種方法。
分析法的思維方向是“逆求”，即由待證的結(jié)論出發(fā)，逐步逆求它要成立的充分條件,最后得到的充分條件已知（或已證）的命題。

3、反證法

反證法常見的矛盾形式
①與題設(shè)相矛盾；
②與假設(shè)相矛盾；
③與定義、定理、公式相矛盾；
④自相矛盾。
反證法適合的題型：
①命題簡單明了，沒有更多公理概念等依據(jù)可供提供的命題
②結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題
③有關(guān)結(jié)論是以“至多......”或“至少......”等形式出現(xiàn)的一類命題
④關(guān)于唯一性、存在性的命題
⑤結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更容易研究和掌握
⑥已知條件很少或已知條件能推得的結(jié)論很少
⑦命題的結(jié)論以“無限”的形式出現(xiàn)時
⑧某些定理的逆定理
反證法證題的一般步驟
①反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；
②歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證得出矛盾；
③結(jié)論：因為推理正確，產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤，既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論的成立。
反證法常用的原結(jié)論詞與反設(shè)詞

原結(jié)論詞	反設(shè)詞	原結(jié)論詞	反設(shè)詞
至少有一個	一個也沒有	對所有x成立	存在某x不成立
至多有一個	至少有兩個	對任意x不成立	存在某x成立
至少有n個	至多有（n-1）個	p或q	非p且非q
至多有n個	至少有（n+1）個	p且q	非p或非q

4、數(shù)學(xué)歸納法

歸納法：由一系列的特殊事物得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法。是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，產(chǎn)生猜想的一種方法。
數(shù)學(xué)歸納法步驟：
①（歸納奠基）證明當(dāng) $n_0$ 取第一個值時命題成立
②（歸納遞推）假設(shè)n = k（ $k\geq n_0$ ,k∈ $N^*$ ）時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立
只要完成這兩個步驟，就可以判斷命題對 $n_0$ 開始的所有正整數(shù)n都成立。
數(shù)學(xué)歸納法實用范圍：只適用于證明與正整數(shù)集有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。
數(shù)學(xué)歸納法常用場景
①證明數(shù)列相關(guān)問題
數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法有著非常密切的關(guān)系，數(shù)列是定義在正整數(shù)上的函數(shù)，這與數(shù)學(xué)歸納法運用范圍是一樣的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納原理實質(zhì)上也是一致的。數(shù)列的很多問題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，如數(shù)列的通項，前n項和等。
②證明恒等式問題
③證明不等式問題
證明不等式問題時，要善于利用放縮法
④證明幾何問題
尤其證明與邊角等自然數(shù)n相關(guān)問題
⑤證明整除問題
⑥證明與n有關(guān)的問題

三、推理與證明是一種思想和工具

推理與證明的基礎(chǔ)是觀察分析比較聯(lián)想，這是解決所有數(shù)學(xué)問題的基本思路，也是解決數(shù)學(xué)之外問題的一個思路。學(xué)習(xí)本章后，做任何問題，都需要建立一個思想，首先觀察分析比較聯(lián)想，然后再根據(jù)題目給出的條件和要達到的結(jié)論進行對接，從而化繁為簡為易，輕松解決。任何難題，是由無數(shù)個簡單的題組合而成。所以，數(shù)學(xué)的核心思想就是化繁為簡為易，把復(fù)雜的問題簡單化。博大精深的問題中其實蘊含無數(shù)個大道至簡，無數(shù)個大道至簡組合穿插就構(gòu)成博大精深。做數(shù)學(xué)難題需要把難題分解成一個又一個簡單的小問題分別解決即可。
研究數(shù)學(xué)問題的基本步驟，也體現(xiàn)在本章。其步驟為：
問題一般化，問題特殊化，推理猜想結(jié)論，證明結(jié)論。

四、例題分析

例1、數(shù)列 $a_0,a_1,a_2,……$ 滿足： $a_0= \sqrt {3}$ , $a_{n+1}$ = $[a_n]$ + $\frac {1} {\{a_n\}}$ , $[a_n]$ 與 $\{a_n\}$ 分別表示 $a_n$ 的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則 $a_{2008}$ 為多少？

用歸納推理，即可做出，分別求出 $a_0,a_1,a_2,a_3，a_4，a_5，a_6$ ，總結(jié)規(guī)律，即可求出答案：3012+ $\sqrt {3}$

例題2、求證 $\sqrt {2}$ 是無理數(shù)

證明：假設(shè) $\sqrt {2}$ 不是無理數(shù)，則 $\sqrt {2}$ 是一個有理數(shù)
?互質(zhì)的整數(shù)m，n，使 $\sqrt {2}$ = $\frac{n} {m}$ ,
則 $2n^2=m^2$
∵ $m^2$ 為偶數(shù)，∴m為偶數(shù)
則? k∈z， m = 2k
∴ $(2k)2=2n^2$
即 $n^2=2k^2$
∴ $n^2$ 為偶數(shù)，
∴n為偶數(shù)
m、n均為偶數(shù)與m、n互質(zhì)相矛盾！
∴假設(shè)不成立，原命題成立
擴展：本題用反證法證明較為容易，否則難以說明。
同樣方法，可以證明 $\sqrt {3}, \sqrt {5} ,\sqrt {7}, \sqrt {11}$ 為無理數(shù)。

例題3、若下列三個方程:
$x^2+4ax-4a+3=0$
$x^2+(a-1)x+a^2=0$
$x^2+2ax-2a=0$
中至少有一個方程有實根，試求a的取值范圍。

本題重在思維，用反證法的思維。
先求出三個方程都沒有實數(shù)根的a的取值范圍
此范圍的補集即答案：(-∞，- $\frac{3} {2}$ ),(-1,+∞)

例題4、已知函數(shù)f(x)是(-∞,+∞）上的增函數(shù)，a，b∈R，
(1)證明命題:若a+b $\geq0$ ,則f(a)+f(b) $\geq$ f(-a)+f(-b);
(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論

(1)證明： $a+b\geq0$ ，∴ $a \geq -b$
∵函數(shù)為增函數(shù)，∴ $f(a)\geq f(-b)$ ①
同理， $b \geq -a$ ，∴ $f(b)\geq f(-a)$ ②
①+②可得 $f(a)+f(b)\geq f(-a)+ f(-b)$
(2) 逆命題為：若 $f(a)+f(b) \geq f(-a)+f(-b)$ ，則 $a+b\geq0$ ;
證明：假設(shè) $a+b<0$
同理可證得 $f(a)+f(b) <f(-a)+f(-b)$
這與題設(shè) $f(a)+f(b) \geq f(-a)+f(-b)$ 相矛盾
∴ $a+b<0$ 不成立，故 $a+b\geq0$ 成立
即逆命題成立
本題要善于利用反證法證明第二問