組合(集成/重組)思維與"反應(yīng)"思想
在數(shù)學(xué)思想方法揭秘-1(原創(chuàng))中介紹過(guò)組合思維，它是一種具有創(chuàng)新性的思維。小朋友玩積木，用積木拼湊組裝出(變出)各種形狀的物體就是運(yùn)用了組合思維；化學(xué)中的化學(xué)反應(yīng)，幾種物質(zhì)放在一起發(fā)生反應(yīng)生成新的物質(zhì)也類(lèi)似組合。生物學(xué)中基因的重組與轉(zhuǎn)移也與此類(lèi)似。
在創(chuàng)新發(fā)明中的組合思維一般和結(jié)構(gòu)化以及多維度的發(fā)散思維聯(lián)系在一起。多維度的發(fā)散思維，例如服裝設(shè)計(jì)創(chuàng)新，可以從服裝顏色、衣物材質(zhì)、尺寸、風(fēng)格、目標(biāo)人群的年齡、性別、季節(jié)、穿著場(chǎng)合等多個(gè)維度進(jìn)行發(fā)散，進(jìn)行多維度的組合。對(duì)組合思維更詳細(xì)的解釋見(jiàn)百度百科組合思維。
在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，把多個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象通過(guò)各種數(shù)學(xué)運(yùn)算&算子(operator)&變換等組合起來(lái)，也就是進(jìn)行各種組合變換，產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)對(duì)象和新的關(guān)系，例如把兩個(gè)方程式相加相減、相乘、相除，產(chǎn)生一個(gè)新的方程式，那組合算子就是加、減、乘、除；對(duì)幾何題，通過(guò)構(gòu)造法構(gòu)建出或組合出新的幾何結(jié)構(gòu)或幾何模型，例如構(gòu)造正三角形、構(gòu)造全等或相似三角形、通過(guò)幾何變換(例如平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng))把分散的疏離的幾何對(duì)象重組聚合起來(lái)，產(chǎn)生新的幾何結(jié)構(gòu)。
組合的分類(lèi)
按組合的實(shí)在性進(jìn)行分類(lèi)，可分為：物理組合、邏輯組合。
按組合的元素類(lèi)型進(jìn)行分類(lèi)，可分為：
1.數(shù)學(xué)對(duì)象組合(物理組合，實(shí)組合)
例如通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)等手段幾條幾何線段或角度組合在一起、把幾個(gè)代數(shù)式組合在一起。
2.信息組合(虛組合)
多個(gè)信息組合在一起，通?？僧a(chǎn)生新的信息。例如a>0和b<0一起，可推理得出a>b.
3.思想組合(虛組合)
4.概念組合
在數(shù)學(xué)中進(jìn)行組合的對(duì)象不僅僅只是數(shù)學(xué)對(duì)象，還可對(duì)多個(gè)信息進(jìn)行組合，甚至還可對(duì)思想、概念進(jìn)行組合，例如關(guān)系思想和變中有不變思想進(jìn)行組合就啟發(fā)我們要關(guān)注題目中不變的關(guān)系穩(wěn)定的關(guān)系，例如斜邊為固定長(zhǎng)度(定長(zhǎng))的直角三角形，兩個(gè)直角邊可以變化，顯然有無(wú)數(shù)個(gè)這樣的三角形，也就是直角三角形是變化的，但無(wú)論怎樣變，除了直角和斜邊長(zhǎng)度不變，還有個(gè)穩(wěn)定的關(guān)系和穩(wěn)定的對(duì)象：斜邊中線始終是斜邊的一半，斜邊中線為定長(zhǎng)。
組合時(shí)要進(jìn)行整體到部分的結(jié)構(gòu)分析，例如，從外形上，人的身體由4大部分組成：頭、頸、軀干、四肢。與此類(lèi)似，在數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用組合時(shí)，要先分析問(wèn)題中涉及的數(shù)學(xué)對(duì)象的粒度和結(jié)構(gòu)關(guān)系，按照設(shè)想的組合后的目標(biāo)結(jié)構(gòu)模式，分析目標(biāo)組合的層次結(jié)構(gòu)和構(gòu)成，把它和當(dāng)前的結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較，根據(jù)差異產(chǎn)生組合或重組方案，根據(jù)方案對(duì)當(dāng)前的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行分解和變換，再重新進(jìn)行排列組合(重組)，得到或變出設(shè)想的目標(biāo)結(jié)構(gòu)模式?？梢?jiàn)組合思想在實(shí)現(xiàn)執(zhí)行層面要運(yùn)用構(gòu)造思想，在靜態(tài)概念對(duì)象(對(duì)象是名詞)層面體現(xiàn)整體思想：通過(guò)組合構(gòu)造出新對(duì)象(新事物新方案)，這個(gè)新對(duì)象是整體，是我們?cè)O(shè)想的組合目標(biāo)，我們要分析它的構(gòu)成結(jié)構(gòu)，厘清組成成分(part)。
組合的目的性和選擇性。通過(guò)組合可以產(chǎn)生各種事物，但如果沒(méi)有目的地隨意組合，這些組合出的事物大多數(shù)很可能是無(wú)用的。我們通常會(huì)先確定組合的目標(biāo)產(chǎn)物，基于它進(jìn)行有目的的組合，篩選有價(jià)值的組合。
對(duì)組合的運(yùn)用，在前面系列文章的數(shù)學(xué)題中有體現(xiàn)，這里摘錄我今日頭條‘?dāng)?shù)學(xué)之道’中的一道初中題再來(lái)體會(huì)一下組合思維。
思維過(guò)程和解題方法見(jiàn)圖二。
這道題綜合運(yùn)用了多種思想方法：觀察、轉(zhuǎn)化、分析法、方程思想、整體思想(例如把a(bǔ)d作為一個(gè)整體)、組合思維、關(guān)系思想。
詳細(xì)講解下組合在這道題中的運(yùn)用，也是講解思維過(guò)程。這道題經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化和分析，可知要求出ad的乘積。根據(jù)題目已知條件(三個(gè)已知面積)解不出未知數(shù)a和d的值，因?yàn)榉匠淌降臄?shù)量少于未知數(shù)個(gè)數(shù)，所以只能把a(bǔ)d作為一個(gè)整體進(jìn)行求解，所以要運(yùn)用整體思想和組合思想，ad就是我們?cè)O(shè)想的組合目標(biāo)，它好比我們要拼成的積木形狀。
接下來(lái)分析(分解)ad這個(gè)組合的結(jié)構(gòu)層次和內(nèi)部構(gòu)成。ad好比化學(xué)中的分子，它由a和d這兩個(gè)細(xì)粒度的小原子數(shù)學(xué)對(duì)象通過(guò)相乘關(guān)系來(lái)構(gòu)成。再和當(dāng)前的結(jié)構(gòu)和排列組合進(jìn)行比較，當(dāng)前的就是方程式1、2、3。1、2中有ad、ac、bd，其中ad已經(jīng)組合好，但ac中的a和bd中d是分開(kāi)的,要想法把它們組合在一起。要組合在一起，根據(jù)前面分析的目標(biāo)組合結(jié)構(gòu)，ad中的a和d是相乘的，故我們要優(yōu)先向相乘的方向探索組合方案：對(duì)方程式1、2進(jìn)行變形，變出方程式5和6，再把兩者相乘。
組合的效果類(lèi)似化學(xué)反應(yīng)：方程5中的ac和方程6中的bd好比兩個(gè)分子，它們分解破裂出原子a、b、c、d，這些原子重新進(jìn)行排列組合，得到兩種新分子adbc，而bc=10。這樣通過(guò)組合變換得到關(guān)于ad的一元二次方程，再用換元法或直接求出ad的值。
通過(guò)學(xué)習(xí)這道題解題過(guò)程中的思維變化和代數(shù)式變形以及組合變換，也能體會(huì)到前面講的”解題思維的本質(zhì)和最高準(zhǔn)則就是變化，就是辯證法的運(yùn)動(dòng)變化，不斷地變更問(wèn)題的形式，不斷地變更主體(人)的思維”，要像孫悟空那樣靈活自由地所需而變 。至于怎么變，就要運(yùn)用具體的數(shù)學(xué)思想方法、解題策略和所學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)找出變化的方向和變化的目標(biāo)和變化的方法。
這道題，即使沒(méi)有意識(shí)到要運(yùn)用組合思維，如果我們回退到解題思維的本質(zhì)，在“解題思維的本質(zhì)就是變化”的指引下，著眼于變化，也是可能做出來(lái)的。列出1、2、3這三個(gè)方程式之后，下一步要進(jìn)行變換，對(duì)方程式進(jìn)行變形。這道題變形的手段不多，結(jié)合所學(xué)的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)按圖索驥（知識(shí)體系、方法等就是一張張圖，例如現(xiàn)在流行的腦圖），不外乎對(duì)方程式左右兩邊移項(xiàng)、除法變形。如果進(jìn)行除法變形，最后會(huì)發(fā)現(xiàn)越做越復(fù)雜，應(yīng)該要意識(shí)到碰壁了，此路不通，反思調(diào)整后很可能就找到只移項(xiàng)但不做除法變形。
先前講過(guò)最小維度思想，但這題就沒(méi)有完全貫徹最小維度思想，按最小維度思想，如果有b，很可能就不會(huì)有c這個(gè)符號(hào)對(duì)象，c會(huì)被替換為10/b，但這樣做會(huì)增加解題過(guò)程的復(fù)雜性。為什么？因?yàn)檫@題根據(jù)題目已知條件，只能根據(jù)3個(gè)已知面積條件列出3個(gè)等量關(guān)系式，關(guān)系式數(shù)量少，少于未知數(shù)數(shù)量。等量替換后沒(méi)有剩余可以用來(lái)設(shè)方程的關(guān)系式了，故解不出線段長(zhǎng)度未知數(shù)。這樣分析思考和判斷決策，應(yīng)該意識(shí)到此題用最小維度思想不合適。從這可體會(huì)到要辯證思考，具體問(wèn)題具體分析，要考慮方法的適用條件和適用性。反過(guò)來(lái)，既然解不出線段長(zhǎng)度(細(xì)粒度)，反而不如增加未知數(shù)c、d更簡(jiǎn)潔，再運(yùn)用整體思想(粗粒度，整體的粒度顯然大于其組成部分part的粒度)求出ad乘積。
組合思維和結(jié)構(gòu)化思維
什么是結(jié)構(gòu)化思維，網(wǎng)上有很多講解。淺顯的可以學(xué)習(xí)如下的內(nèi)容：
3個(gè)步驟教你學(xué)會(huì)麥肯錫的思考方法：結(jié)構(gòu)化思維
要進(jìn)行組合，一般事先要有組合的目標(biāo)，例如我們搭建一個(gè)積木或一個(gè)建筑物，這就是我們的終極目標(biāo)，為了實(shí)現(xiàn)它，我們一般會(huì)進(jìn)行設(shè)計(jì)&建模，在設(shè)計(jì)&建模時(shí)會(huì)用到結(jié)構(gòu)化思維進(jìn)行分解與組合。組合思維是實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化思維的主要手段。
對(duì)稱(chēng)&對(duì)偶組合
? 孤陰不生，孤陽(yáng)不長(zhǎng)，交通成和，萬(wàn)物化生。
? 利用兩個(gè)(一對(duì))數(shù)學(xué)對(duì)象之間存在對(duì)稱(chēng)或?qū)ε缄P(guān)系來(lái)進(jìn)行組合。對(duì)稱(chēng)&對(duì)偶組合是一種特殊的組合，它和前面講的均值換元法在形式上是類(lèi)似的，根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想或構(gòu)造該數(shù)學(xué)對(duì)象的對(duì)稱(chēng)或?qū)ε紝?duì)象，然后對(duì)兩者進(jìn)行組合運(yùn)算。
? 例如，共軛復(fù)數(shù)，看到(a，b∈R)，則構(gòu)造
；
? 分母有理化時(shí)，看到，聯(lián)想到
。
? 看到，聯(lián)想到
，再把兩者組合起來(lái)，例如
=
=...
建構(gòu)(構(gòu)造)與解構(gòu)(解耦)
在數(shù)學(xué)解題時(shí)，會(huì)碰到關(guān)系、結(jié)構(gòu)、模式的建構(gòu)和解構(gòu)。例如建構(gòu)新關(guān)系或新結(jié)構(gòu)，而對(duì)復(fù)雜的關(guān)系和結(jié)構(gòu)，我們會(huì)進(jìn)行解構(gòu)或者說(shuō)分解、解耦，就好比把兩根纏在一起的線分開(kāi)。
建構(gòu)的例子就不講了，在關(guān)系思想、構(gòu)造法、合情合理的猜想等思想方法中都有用到建構(gòu)，建構(gòu)關(guān)系、建構(gòu)結(jié)構(gòu)、建構(gòu)模式，這里用一道高中數(shù)學(xué)題講結(jié)構(gòu)或關(guān)系的解構(gòu)。
這道題有多種方法，這里介紹一種。
觀察已知條件的特征，從其關(guān)系結(jié)構(gòu)特征，我們發(fā)現(xiàn)它可進(jìn)行因式分解，這就是關(guān)系或結(jié)構(gòu)的解構(gòu)或解藕，故得到如下方法。
上面的方法，其解藕途徑或解藕手段就是利用可因式分解的特征，通過(guò)參數(shù)化思想引入中間參數(shù)：變量t，從而實(shí)現(xiàn)x、y關(guān)系的解藕，從強(qiáng)耦合變?yōu)槿?松)耦合。
反應(yīng)思想
反應(yīng)有物理反應(yīng)、化學(xué)反應(yīng)、核反應(yīng)、湮滅反應(yīng)等。
物理反應(yīng)是指物質(zhì)的狀態(tài)或存在的形式發(fā)生了改變，而物質(zhì)本身的性質(zhì)沒(méi)有變化，例如液態(tài)水變成水蒸氣或冰。數(shù)學(xué)中也存在"物理反應(yīng)"，如等價(jià)代換和一些換元。
初中學(xué)過(guò)化學(xué)，都知道化學(xué)反應(yīng)以及相關(guān)的催化劑、溶解、酸堿中和反應(yīng)、活性。在日常生活中去污就利用了化學(xué)反應(yīng)，例如對(duì)衣物上難以祛除的污漬，我們要用洗衣粉或洗衣劑來(lái)和污漬發(fā)生化學(xué)反應(yīng)中和污漬，達(dá)到清除污漬的效果，有的洗衣粉中還添加催化劑增強(qiáng)去污能力。對(duì)廚房中的油污，噴灑清潔劑后就容易清除了。
核反應(yīng)，例如核電站中的核裂變反應(yīng)。
湮滅反應(yīng)，就是正反物質(zhì)相遇所產(chǎn)生的反應(yīng)，例如正負(fù)電子相遇，此時(shí)正負(fù)電子都會(huì)消失，轉(zhuǎn)化為新的粒子并伴隨有能量輻射。
前面提到過(guò)組合思維和反應(yīng)的相似性，數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)特征是(運(yùn)動(dòng))變化&變換，這和反應(yīng)也有類(lèi)比性。眾所周知，所以可以把"反應(yīng)'思想作為一種和組合思維類(lèi)似的引入到數(shù)學(xué)中指導(dǎo)我們的思維活動(dòng)。
其實(shí)從幼兒數(shù)學(xué)教育開(kāi)始，就開(kāi)始碰到組合或"反應(yīng)"。到初中階段，數(shù)學(xué)中的各種運(yùn)算可類(lèi)比為”化學(xué)反應(yīng)”，1+1=2，2就是通過(guò)加法這種”化學(xué)反應(yīng)”產(chǎn)生的數(shù)學(xué)新對(duì)象新物質(zhì)，加法是一種數(shù)學(xué)"化學(xué)反應(yīng)"。
在數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程中，我們要主動(dòng)運(yùn)用反應(yīng)思想或組合思維。在大腦中通過(guò)自我對(duì)話形式進(jìn)行自問(wèn)，自我引導(dǎo)自己的思維：
通過(guò)"反應(yīng)"能變出什么(哪些)"新物質(zhì)",有哪些效應(yīng)，有哪些反應(yīng)(變化)類(lèi)型?具體的反應(yīng)方式是什么？參與反應(yīng)的物質(zhì)(對(duì)象)有哪些？這有些類(lèi)似數(shù)學(xué)中的綜合法，這里用”反應(yīng)”更貼切。
對(duì)上面的對(duì)話作進(jìn)一步的解釋?zhuān)?/p>
1.有哪些反應(yīng)(變化)類(lèi)型(反應(yīng)模式)？已化學(xué)反應(yīng)為例，它具有多種類(lèi)型，例如按反應(yīng)物與生成物的類(lèi)型分四類(lèi)：化合反應(yīng)、分解反應(yīng)、置換反應(yīng)、復(fù)分解反應(yīng)。在數(shù)學(xué)中的’’反應(yīng)”類(lèi)型(反應(yīng)模式)就更多了，幾乎各種運(yùn)算都是，加減乘除、平方開(kāi)方等等都是，也可以是復(fù)合反應(yīng)，例如a+b*c。還可以是某些公式、定理、關(guān)系，例如勾股定理：兩直角邊平方和等于斜邊平方。
2.反應(yīng)方式是反應(yīng)發(fā)生的位置(地點(diǎn))和部位。在數(shù)學(xué)"物質(zhì)(對(duì)象)"的哪些部位發(fā)生反應(yīng)。
3.題目中哪些對(duì)象或哪些部位要進(jìn)行反應(yīng)，這個(gè)要通過(guò)觀察、矛盾分析法、合情合理的設(shè)想等把它們找出來(lái)。找出來(lái)之后，再找能和它們發(fā)生反應(yīng)的對(duì)象，也就是參與反應(yīng)的數(shù)學(xué)'物質(zhì)(對(duì)象)"有哪些？或加速反應(yīng)的催化劑有哪些？能否合情合理推理和猜想出參與反應(yīng)的一些數(shù)學(xué)對(duì)象？是多個(gè)已知條件之間發(fā)生反應(yīng)?還是已知條件和結(jié)論進(jìn)行反應(yīng)?已知條件和中間結(jié)論?中間結(jié)論和結(jié)論?
4.能生成哪些數(shù)學(xué)"新物質(zhì)(對(duì)象)"?設(shè)想需要生成哪些目標(biāo)"新物質(zhì)(對(duì)象)"？
舉例如下。
已知a>0,b>2,且a+b=6,求的最小值。
這題的解題方法有多種，這里介紹如何反思調(diào)整和如何運(yùn)用化學(xué)反應(yīng)思想來(lái)解題。
首先簡(jiǎn)略進(jìn)行矛盾分析：題目的解題障礙在分母，要想法消除分母或分母的不利影響。
如何消除？實(shí)驗(yàn)試探一下，用加法進(jìn)行反應(yīng)來(lái)消除，參與反應(yīng)的對(duì)象有所求的答案對(duì)象，另外還有合情合理設(shè)想出的對(duì)象
。整個(gè)反應(yīng)方案如下，用加法進(jìn)行反應(yīng)：
可見(jiàn)還運(yùn)用了均值不等式進(jìn)行一連串的連鎖"化學(xué)反應(yīng)"。
失敗不可怕，就怕沒(méi)有反思或無(wú)效反思。我們反思不可行的原因：主要是上述方案中a和b-2的系數(shù)是1，是死的固定的不合適的系數(shù)，導(dǎo)致上面三個(gè)條件不可能同時(shí)滿足。找到失敗原因后，否定之否定，在失敗方案基礎(chǔ)上進(jìn)行調(diào)整，讓三個(gè)條件不可能同時(shí)成立變可能成立(現(xiàn)在還不能保證一定能成立)，也就是調(diào)整a和b-2的系數(shù)，設(shè)為k(正數(shù))，它是活的，我們還不知道k的具體值，它是待定系數(shù)，可以先合情合理地設(shè)想如下大體的模式框架：
=。
等號(hào)成立的條件為：
可解出
=
故最小值為。
為何要將a和b-2系數(shù)設(shè)置為相同(k)？自己思考下。
這就是基于合情合理的設(shè)想，因?yàn)橹挥羞@樣才能方便利用上已知條件a+b=6，否則系數(shù)不同不方便利用。
也可以體會(huì)下這個(gè)方法中的失敗與成功、死(固定)與活(可變)、已知與未知、確定與待定、嚴(yán)格與寬松(自由)、不可能與可能的辯證統(tǒng)一和相互轉(zhuǎn)化。
是否還有其他的反應(yīng)方案？
上面是加法，其實(shí)還可跳出加法的思維定勢(shì)，聯(lián)想到運(yùn)用乘法進(jìn)行反應(yīng)，如下：
思考如何發(fā)生反應(yīng)就是思考如何變化，辯證法中的運(yùn)動(dòng)變化是數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)特征，玩數(shù)學(xué)就是玩的思維游戲。
另一道題：
? 觀察要證明的不等式，左邊的3個(gè)分母()和其他對(duì)象的關(guān)系不和諧，相互之間缺少活性，例如分式
中分子和分母的關(guān)系很疏遠(yuǎn)很不對(duì)眼；三個(gè)分式的分母不同，通分直覺(jué)上不可行，三個(gè)分式之間的關(guān)系也不協(xié)調(diào)不對(duì)眼。這些都是題目中的矛盾，這些矛盾是阻礙解題的攔路虎或麻煩制造者，增加了解題難度。主要矛盾是這3個(gè)分母，它們這就好比衣物中難洗的污漬，需要想法清除。
如何清除它們？
要想法找到能和這些分母發(fā)生"反應(yīng)"的物質(zhì)對(duì)象、加速反應(yīng)的催化劑以及反應(yīng)方程式(模式)，通過(guò)反應(yīng)中和、溶解、湮滅、改造這3個(gè)分母，消除它們。
如果能從也就是"反應(yīng)方程式":
。通過(guò)在分子中加入b和分母
進(jìn)行反應(yīng)，中和、溶解、湮滅、改造了難纏的分母。
三式相加可得：
數(shù)學(xué)中的各種思維方式、思想方法、解題策略都是為了變化變通，多體會(huì)數(shù)學(xué)中的"物理反應(yīng)"、"化學(xué)反應(yīng)"、“核反應(yīng)”、”湮滅反應(yīng)”，它們都是"化功"大法。
分解&分離思想
? 組合的對(duì)立面就是分解&分離。本系列從一開(kāi)始就在強(qiáng)調(diào)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維要懂辯證法，要運(yùn)用辯證思維。分久必合，合久必分，組合與分解可以相互轉(zhuǎn)化，合中有分，分中有合。
? 分離思想是眾多數(shù)學(xué)思想中的一個(gè)非常重要的思想，在數(shù)學(xué)中有非常廣泛的應(yīng)用，例如代數(shù)中的參數(shù)分離、幾何圖形的拆分、分組、化整為零（把一些大的數(shù)學(xué)對(duì)象拆分成小的對(duì)象，這里的大可能是數(shù)值大，也可能是結(jié)構(gòu)上的）。
? 德國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊布尼茲一針見(jiàn)血地指出：“不講分解技巧，分而治之就不大有用。無(wú)經(jīng)驗(yàn)者對(duì)問(wèn)題分解不當(dāng)，反而會(huì)增加困難“。要掌握分離思想的精髓和分離原則，也就是掌握分離之道，可以體會(huì)下庖丁的解牛之道以及計(jì)算機(jī)軟件工程中的高內(nèi)聚低耦合原則，分離思想的精髓和分離原則和它們是一樣的。
? ? 分離時(shí)通常需要遵從的原則：
? ? 1）低耦合、高內(nèi)聚原則：萊布尼茲指出：“分解的主要難點(diǎn)在于怎么分。分解策略之一是按容易求解的方式來(lái)分，之二是在弱耦合處下手，切斷聯(lián)系”。在弱耦合處下手，切斷聯(lián)系?！?，也就是通常在聯(lián)系最薄弱的地方進(jìn)行分離。
? ? 2）從上到下原則：先大體確定拆分成幾個(gè)小對(duì)象，每個(gè)小對(duì)象的粒度和邊界，以及每個(gè)小對(duì)象大體的模式。如何確定這些？通常是綜合運(yùn)用多種思維方法和思想方法。
? ? 3）熵減原則：分離之后，整體上變得有序、統(tǒng)一、和諧，(數(shù)學(xué)美)變美了；后續(xù)的運(yùn)算、操作變簡(jiǎn)單了；拉近了結(jié)論與條件之間的距離，建立了結(jié)論和條件之間的有益的關(guān)聯(lián)。
? ? 4）模式化原則：分離之后，符合某些數(shù)學(xué)模式、模型。
? ? 每個(gè)小對(duì)象的具體組成有可能還有些不確定，可以根據(jù)小對(duì)象的模式，提綱挈領(lǐng)/按圖索驥/順藤摸瓜進(jìn)一步確定具體組成。
? 我們前面也介紹過(guò)關(guān)系思想，其主要內(nèi)容是把關(guān)系作為重點(diǎn)關(guān)注的對(duì)象，發(fā)現(xiàn)(識(shí)別)關(guān)系、利用好關(guān)系(走關(guān)系)、構(gòu)建關(guān)系(沒(méi)有想要的關(guān)系時(shí)建立關(guān)系，拉關(guān)系)、變換關(guān)系、增強(qiáng)關(guān)系深化關(guān)系、弱化關(guān)系解耦關(guān)系等。
? 整個(gè)解題過(guò)程好比一段段環(huán)環(huán)相聯(lián)(扣)的鏈子，解題卡殼就是鏈子中缺少某一段或不知道下一段是什么。關(guān)系的建構(gòu)或思考下一步如何變化就是把缺失的這一段找出來(lái)。可能通過(guò)挖掘題目中隱藏的條件或關(guān)系，或者聯(lián)想一個(gè)數(shù)學(xué)公式或數(shù)學(xué)定理，或者設(shè)想一個(gè)數(shù)學(xué)模式，或者探索出一種代數(shù)式的變形，或者幾何變換，就能把缺失的一段找出來(lái)。
當(dāng)幾個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象對(duì)象糾纏在一起，或直接聯(lián)系在一起，導(dǎo)致它們之間的關(guān)和系過(guò)于緊密，有時(shí)這種緊密的關(guān)系有助于解題，但有時(shí)緊密的關(guān)系可能會(huì)妨礙解題，成為解題障礙，此時(shí)就需要弱化解耦關(guān)系(目標(biāo)、意圖)時(shí)，通常的一種實(shí)現(xiàn)手段是運(yùn)用分解來(lái)進(jìn)行關(guān)系解耦，拆開(kāi)或降低它們的關(guān)系耦合度。
這里舉兩個(gè)例子。
? 第一個(gè)
已知x、y、z為正數(shù)，且滿足 ，求
? 這題方法不只一種，這里只給出其中一種。
? 思維過(guò)程&分析過(guò)程：
? 觀察已知條件，發(fā)現(xiàn)左邊的結(jié)構(gòu)特征是相乘，此處的相乘導(dǎo)致x、y、z纏繞在一起，也就是它們的這種緊密耦合的關(guān)系成為我們的解題障礙，在這種情況下我們不好解題，所以要進(jìn)行關(guān)系解耦，降低它們之間的耦合度。如何解耦，通常的實(shí)現(xiàn)手段就是分解。具體如何分解，一般是通過(guò)引入中間變量進(jìn)行換元。這里也體會(huì)下目標(biāo)(意圖)與手段之間的辯證關(guān)系。此處的目標(biāo)是解耦，手段是分解，接下來(lái)要分解，其對(duì)應(yīng)的手段是引入中間變量進(jìn)行換元。
接下來(lái)回到結(jié)論，此時(shí)我們碰到多項(xiàng)選擇：是否相乘直接展開(kāi)還是先不展開(kāi)。我們選擇先不展開(kāi)，先進(jìn)行恒等變形。為何選擇先不展開(kāi)，因?yàn)?img src="https://math.jianshu.com/math?formula=(x%2By)(y%2Bz)%E4%B8%AD%E7%9A%84x%2By%E3%80%81y%2Bz%E5%92%8Cx%2By%2Bz%3Dt%E6%AF%94%E8%BE%83%E6%8E%A5%E8%BF%91%EF%BC%8C%E7%9B%B8%E4%BC%BC%E5%BA%A6%E8%BE%83%E9%AB%98%EF%BC%8C" alt="(x+y)(y+z)中的x+y、y+z和x+y+z=t比較接近，相似度較高，" mathimg="1">
，這也是轉(zhuǎn)化。
? 在證明等比定理時(shí)，也是引入了一個(gè)中間變量來(lái)進(jìn)行關(guān)系解耦。中間變量或中間參數(shù)是一個(gè)媒介或溝通橋梁紐帶，通過(guò)它將直接關(guān)系或緊密關(guān)系變成耦合度較低的間接關(guān)系?？梢?jiàn)(中間)媒介思想也可認(rèn)為是一種數(shù)學(xué)思想,它類(lèi)似生活中的各種中介代理或介紹人，在沒(méi)有關(guān)系時(shí)或關(guān)系較弱需要增強(qiáng)關(guān)系時(shí)，可通過(guò)中介來(lái)增強(qiáng)關(guān)系和溝通，在關(guān)系過(guò)于緊密需要降低耦合度時(shí)，可也運(yùn)用中介。中間變量的另一個(gè)作用就是改變問(wèn)題的形式或結(jié)構(gòu)，例如換元法中引入的元。
上面講到接近(逼近)思想，這里岔開(kāi)本篇的主題，再舉例講解下接近思想。
解題思維過(guò)程：觀察對(duì)比題目的已知條件和結(jié)論的特征，它們都有a和b+c，這也啟發(fā)暗示我們可能應(yīng)該把b+c作為一個(gè)整體對(duì)象，但已知條件代數(shù)式右邊又有bc，如果把bc也作為一個(gè)整體對(duì)象，會(huì)導(dǎo)致對(duì)象過(guò)多，增加處理難度。但如果不把bc作為整體而是把bc分解為兩個(gè)原子對(duì)象b和c，又會(huì)出現(xiàn)整體(b+c)和局部對(duì)象(b、c)的矛盾，且這種整體-局部的矛盾不好轉(zhuǎn)化不好調(diào)解，所以要減少對(duì)象數(shù)量。想到所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)：，利用它將等式a(a+b+c)=bc變成
，這就好處理了，這是一個(gè)一元二次不等式:
距離的本意是物理距離，例如A與B相距多少公里。接近思想中的距離是廣義的，我們先確定距離中的A(當(dāng)前位置)與B(目標(biāo)位置，目標(biāo)可以是結(jié)論、某個(gè)定理、某個(gè)公式、某個(gè)已知的或熟悉的問(wèn)題、某個(gè)設(shè)想的模式)，再定義A與B的度量"距離"。這里的就是
，可以感覺(jué)它們(A、B)在”對(duì)象種類(lèi)距離”上相距較遠(yuǎn)，而把A轉(zhuǎn)化&變化為
后，A與B在"對(duì)象種類(lèi)距離"上就接近了：不考慮原子對(duì)象b、c，結(jié)論中有2種類(lèi)型的對(duì)象：a和b+c；已知條件中有a、b+c、bc，3種。顯然它們的”對(duì)象類(lèi)型距離”為3-2=1，較遠(yuǎn)，靠不到一起。而變化之后，距離縮小為2-2=0，它們變得一致了。
? 可以定義各種類(lèi)型的距離，例如結(jié)構(gòu)距離、形式距離、模型距離、模式距離、數(shù)值距離、維度數(shù)量距離、對(duì)象(元素)種類(lèi)距離。
第二個(gè)
這題方法至少有5種，這里介紹一種。
分析過(guò)程：觀察已知條件，發(fā)現(xiàn)左邊具有平方差的結(jié)構(gòu)特征，并且
左邊的這種x、y耦合關(guān)系不利于解題，成為解題障礙，所以要想法降低它們的耦合度，不是不要耦合不要關(guān)系，是把過(guò)由于緊密的關(guān)系解耦，降低耦合度。如何降低？首先想到分解，平方差特征很自然就聯(lián)想回憶起平方差的因式分解。
? 這里再?gòu)?qiáng)調(diào)下面向特征和模式識(shí)別的解題策略，這幾道題的分析過(guò)程都有用到該策略。發(fā)現(xiàn)識(shí)別特征，基于特征展開(kāi)思維，例如進(jìn)行聯(lián)想、類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、改造、變換、抽象、歸納、數(shù)形結(jié)合、合情合理的推理猜想等。對(duì)關(guān)系或結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造和構(gòu)建，包括重組&重構(gòu)、整理&梳理、調(diào)整&變形，(關(guān)系)聯(lián)通&建聯(lián)，通常是向有序、解耦、熵減、調(diào)適的方向進(jìn)行，通過(guò)這些行動(dòng)，架起已知條件和解題目標(biāo)的溝通橋梁，不斷縮短和目標(biāo)的距離。
組合思維與條件集中原則
數(shù)學(xué)思想方法揭秘-1中曾提到”條件集中”原則，該原則體現(xiàn)了組合思維，利用組合的創(chuàng)新性。把條件集中就是對(duì)條件進(jìn)行各種組合，通過(guò)組合可以產(chǎn)生新信息、新關(guān)系、新模式、新對(duì)象、新結(jié)構(gòu)。
條件集中可以是物理上的集中(物理組合)，也可以是邏輯上的集中(邏輯組合)，這些在“組合的分類(lèi)”中有介紹。
組合再往上，上層就是模式思想，通過(guò)組合產(chǎn)生便于求解的數(shù)學(xué)模式或期望的數(shù)學(xué)模式 ，也就是把相關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象納入到囊括到數(shù)學(xué)模式中。
總結(jié)： 組合思維更準(zhǔn)確地講應(yīng)該叫組合思想，考慮到大家都叫組合思維，也就從眾。組合思維通常會(huì)運(yùn)用下層的”構(gòu)造”思想，體現(xiàn)關(guān)系思想(上層)，因?yàn)檫\(yùn)用組合思想就是主動(dòng)去建構(gòu)關(guān)系，主動(dòng)去創(chuàng)建新對(duì)象和新關(guān)系。
? 組合思維、結(jié)構(gòu)化思維、構(gòu)造思想、關(guān)系思想、模型思想/模式等是相互聯(lián)系的。
? 關(guān)系即結(jié)構(gòu)，不僅要看到有形的明顯的結(jié)構(gòu)關(guān)系，還要發(fā)現(xiàn)隱藏的結(jié)構(gòu)關(guān)系，主動(dòng)發(fā)揮創(chuàng)造性去構(gòu)建新的結(jié)構(gòu)關(guān)系，構(gòu)建關(guān)系即促進(jìn)了耦合。
? 辯證思維，具體情況具體分析，要靈活變通，不要絕對(duì)化：有時(shí)要進(jìn)行組合/耦合，而有時(shí)要進(jìn)行分解/解耦，在一道題中可能即有組合也有分解。有時(shí)低(弱)耦合或無(wú)耦合好，此時(shí)要想法利用分解等手段對(duì)強(qiáng)耦合進(jìn)行解耦或降低耦合度，而有時(shí)強(qiáng)耦合好，此時(shí)要運(yùn)用組合或其他手段提高耦合度。
? 與分解接近的是分類(lèi)、分組、分區(qū)。
組合與“緣起性空，因(機(jī))緣和合”
和合就是組合。萬(wàn)事事物無(wú)獨(dú)立自性，都是因緣和合而生，也都將隨著因緣分散而滅。因此，我們眼睛所看到的一切現(xiàn)象“有”，都是緣起而有；因?yàn)榫壠鸲?，因此它的本性是“空”?/p>
合緣起的先決條件是“因”，有“因”再加上“緣”，條件具足，才能生“果”。“因”是生起萬(wàn)事萬(wàn)物主要的、內(nèi)在的條件，是生果的直接力；“緣”是外在的條件，能助因生果，是生果的間接力。所以，萬(wàn)有諸法之所以存在，必定有其生成的因緣，這就是“果從因生”的理則。
當(dāng)內(nèi)因或外緣不具備，也就是沒(méi)有條件或條件不成熟不滿足時(shí)，我們有時(shí)要主動(dòng)去創(chuàng)造、改造、調(diào)整內(nèi)外的條件或環(huán)境。
