分形藝術(shù)與分形幾何? ?課程分享65
這是通識選修課《社會科學(xué)與數(shù)學(xué)》第九講《美術(shù)與數(shù)學(xué)》的第三節(jié)，簡單介紹分形藝術(shù)與分形幾何。
第九講《美術(shù)與數(shù)學(xué)》
第三節(jié)?分形藝術(shù)與分形幾何
“分形”一詞譯于英文Fractal，系分形幾何的創(chuàng)始人曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）于 1975年由拉丁語Frangere一詞創(chuàng)造而成，詞本身具有“破碎”、“不規(guī)則”等含義。曼德爾布羅特研究中最精彩的部分是1980年他發(fā)現(xiàn)的并以他的名字命名的集合，他發(fā)現(xiàn)整個宇宙以一種出人意料的方式構(gòu)成自相似的結(jié)構(gòu)。
曼德爾布羅特集合圖形的邊界處，具有無限復(fù)雜和精細的結(jié)構(gòu)。如果計算機的精度是不受限制的話，您可以無限地放大她的邊界。當你放大某個區(qū)域，它的結(jié)構(gòu)就在變化，展現(xiàn)出新的結(jié)構(gòu)元素。這正如前面提到的“海岸線長度問題”，無論你怎樣放大它的局部，它總是曲折而不光滑，即連續(xù)不可微。
微積分中抽象出來的光滑曲線在我們的生活中是不存在的。所以說，曼德爾布羅特集合是向傳統(tǒng)幾何學(xué)的挑戰(zhàn)。用數(shù)學(xué)方法對放大區(qū)域進行著色處理，這些區(qū)域就變成一幅幅精美的藝術(shù)圖案，這些藝術(shù)圖案人們稱之為“分形藝術(shù)”。
1.二維圖
（圖片1）（圖片2）（圖片3）（圖片4）
2.三維圖
曾經(jīng)有一群數(shù)學(xué)“極客”利用特定的數(shù)學(xué)方程經(jīng)過反復(fù)迭代算法創(chuàng)作出一組令人嘆為觀止的三維分形結(jié)構(gòu)圖案。
“極客”一詞，來自于美國俚語“geek”的音譯，一般理解為性格古怪的人。數(shù)學(xué)“極客”大多是指，并不一定是數(shù)學(xué)專業(yè)但又對數(shù)學(xué)等技術(shù)有狂熱的興趣并投入大量時間鉆研的人。
以下圖中的這些三維結(jié)構(gòu)盡顯美麗而神奇的特點，有的像細膩的法國奶油蛋糕，有的像神話或科幻小說中的神秘洞穴。（圖片5）
極客們把圖中的球狀物稱為“曼德爾球”(Mandelbulb)，該名稱來源于分形幾何的創(chuàng)始人曼德爾布羅特(Mandelbrot)。這個三維圖就是由一個原始球體經(jīng)過一種迭代算法而產(chǎn)生。極客們將原始球體上各點的三維數(shù)據(jù)運用同一方程進行無數(shù)次的重復(fù)運算就得到了這個“曼德爾球”結(jié)構(gòu)。這一過程與二維“曼德爾布羅特”集合的形成過程相似。（圖片6）
丹尼爾-懷特是一位分形藝術(shù)愛好者，也是這組作品的創(chuàng)作者之一。他認為，這組作品并不僅僅是三維“曼德爾布羅特”集合，它們比普通的三維“曼德爾布羅特”集合看起來更美麗、更迷人。懷特指出，他們所有的原始方程中，只有一部分可以產(chǎn)生如此迷人的三維圖，有些原始方程只有在進行至少2次方運算之后才可以產(chǎn)生一些迷人的效果。普通人從本圖中根本找不出它的規(guī)律所在。
如果將原始方程進行8次方運算，就可能會得到更細致、更美麗的圖案，甚至連懷特等人都無法解釋為什么會形成如本圖所示的美妙圖案。（圖片7）
懷特等人在這些作品上花費了大量的精力。他們將這些作品無限放大，致力于尋找更為有趣的結(jié)構(gòu)。圖中這個造型很像是一種法國奶油蛋糕，因此懷特把它稱之為“曼德爾布羅特蛋糕”。（圖片8）
即使是單方程，只要經(jīng)過數(shù)千次的迭代運算，同樣也可以產(chǎn)生一個完整的結(jié)構(gòu)。比如本圖所示的結(jié)構(gòu)，看起來就像是人類已發(fā)現(xiàn)的某行星表面的地質(zhì)結(jié)構(gòu)。（圖片9）
許多時候，甚至連懷特等人都會驚訝于曼德爾球內(nèi)部結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。在為本圖撰寫說明時，懷特這樣寫道：“這個世界顯得非常雜亂，里面包含了許多數(shù)學(xué)秘密，因此形成了諸如此類的巴洛克風(fēng)格美景?！保▓D片10）
圖中呈現(xiàn)出許多巴洛克風(fēng)格的橋梁和柱子?！鞍吐蹇恕笔且环N風(fēng)格術(shù)語，指自17世紀初直至18世紀上半葉流行于歐洲的主要藝術(shù)風(fēng)格。該詞來源于葡萄牙語barroco，意思是一種不規(guī)則的珍珠。
即使經(jīng)過8次方運算，有些曼德爾布羅特三維結(jié)構(gòu)仍然無法展現(xiàn)其全部的細節(jié)，即仍可對其進一步運算以獲得更詳細、更神奇的結(jié)果。本圖中好似“生奶油”的部分，看起來就算不上真正的曼德爾布羅特三維結(jié)構(gòu)。（圖片11）
懷特和“分形論壇”的其他成員對他們所創(chuàng)作的三維結(jié)構(gòu)非常滿意。盡管這些結(jié)構(gòu)在現(xiàn)實中并不存在，但它們可以通過計算機軟件獲得。從社會學(xué)角度講，這種技術(shù)顯得相當神奇，它可以創(chuàng)造出一個美麗的世界。
附注.曼德爾布羅特
伯努瓦·曼德爾布羅特（Benoit Mandelbrot，1924-2010年），分形幾何之父，出生于波蘭，童年時隨家人移居法國，后來在美國擔(dān)任耶魯大學(xué)名譽教授。（圖片12）
1924年11月20日，伯努瓦·曼德爾布羅特出生于波蘭華沙的一個立陶宛猶太人家庭。父親是成衣批發(fā)商，母親是牙科醫(yī)生。由于當時局勢緊張，他的學(xué)業(yè)時斷時續(xù)，受的教育也很不正規(guī)。他聲稱自己從未認真學(xué)習(xí)過字母，也沒有系統(tǒng)地背誦過乘法口訣，只背過五以下的乘法表。
11歲時，他跟著家人逃避戰(zhàn)亂來到法國巴黎，投奔他的叔叔、知名數(shù)學(xué)家佐列姆·曼德爾布羅特。戰(zhàn)爭來臨時，一家人又逃到法國南部的蒂勒鎮(zhèn)。曼德爾布羅特做過一陣子機床維修學(xué)徒工后，巴黎解放，沒有什么學(xué)術(shù)根底的他，完全靠自己的天賦和直覺，通過了巴黎高等理工學(xué)校長達一個月的筆試和口試。在該校學(xué)習(xí)期間，他參加過法國著名的數(shù)學(xué)團體--布爾巴基(Bourbaki)協(xié)會，但由于該協(xié)會摒棄一切圖畫，過分強調(diào)邏輯分析和形式主義，使得他無法忍受而成了一位叛逆者。那時候他已經(jīng)意識到，不管給出什么解析問題，他總是可以用腦海中浮現(xiàn)的形狀來思考。
曼德爾布羅特1948年獲美國加州理工學(xué)院碩士學(xué)位，1952年獲巴黎大學(xué)博士學(xué)位。畢業(yè)后，他的職業(yè)生涯并不順利，先是在瑞士知名心理學(xué)家讓·皮亞杰(Jean Piaget)手下干了一段時間，然后于1953年前往美國普林斯頓高等研究院工作了一年。1958年，他在IBM公司的沃森研究中心獲得一個職位。在那里，他依靠自己的幾何直覺去研究看似毫無規(guī)律可循的事物，分析過棉花價格的漲落規(guī)律、尼羅河水位的變化情況、電話通路中自發(fā)噪聲的本質(zhì)以及英國海岸線的真實長度。在他看來，自然界的規(guī)律并不總是通過簡化為理想的圖形才能發(fā)現(xiàn)，往往復(fù)雜性本身也是有規(guī)律的。
與經(jīng)典的描繪光滑、圓潤對象的幾何學(xué)(如歐氏幾何學(xué))相反，曼德爾布羅特創(chuàng)造了一種表現(xiàn)斑點、纏繞、破碎對象的幾何學(xué)。他認為，這種復(fù)雜性不是隨機和偶然的，這些奇形怪狀是有意義的，是自相似的，是跨越不同尺度對稱的，而且這常常是理解事物本質(zhì)的關(guān)鍵。他為這種復(fù)雜性引入了分維和分形(fractal)的概念，并將分形理論歸納為一個簡潔的公式：f(z)=z^2+c。在2010年春季的一次演講中，曼德爾布羅特解釋說，如果你切開一朵花椰菜，會看到一樣的花椰菜，只是小一點；如果你不斷地切、不斷地切，你還會看到一樣的花椰菜，只是更小一點。
2010年10月14日，伯努瓦·曼德爾布羅特在美國馬薩諸塞州劍橋辭世，享年86歲。
