作者: [美] 喬丹?艾倫伯格（Jordan Ellenberg）
出版社: 中信出版集團(tuán)
副標(biāo)題: 大數(shù)據(jù)時(shí)代，數(shù)學(xué)思維的力量
原作名: How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking
譯者: 胡小銳
出版年: 2015-9-5

2017.8.23 我在kindle上逛商店的時(shí)候，被一本英文書(shū)吸引了，名字是How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking，因?yàn)槲易罱鼛啄甏竽X中形成了一個(gè)條件反射，一看到“思維方式”，就像看到尚方寶劍一樣興奮。首先思維方式是一個(gè)認(rèn)知層面的技能，比簡(jiǎn)單的操作技能要更有價(jià)值；其次最近讀完的《費(fèi)馬大定律》也讓我感覺(jué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維是個(gè)好東西。所以我就決定讀這本書(shū)了，看了一點(diǎn)英文書(shū)，雖然能看懂，但是有些吃力，有些內(nèi)容過(guò)于專業(yè)，所以決定直接讀中文本，書(shū)名被翻譯成土掉渣的“魔鬼數(shù)學(xué)——大數(shù)據(jù)時(shí)代，數(shù)學(xué)思維的力量“（豆瓣鏈接），我就忍了，內(nèi)容別翻譯爛了就好。
目前讀完了全書(shū)大約一半內(nèi)容，我沒(méi)有從頭開(kāi)始讀，讀完前言后，就直接讀有趣的章節(jié)，然后再把對(duì)應(yīng)的整個(gè)部分讀完。目前感覺(jué)這本書(shū)很有趣，雖然很多數(shù)學(xué)故事看起來(lái)很簡(jiǎn)單，甚至之前在網(wǎng)上讀過(guò)，但是放在更系統(tǒng)的知識(shí)塊中闡述，令我更有啟發(fā)。
等讀完全書(shū)，我會(huì)再寫(xiě)一個(gè)匯總版本的讀書(shū)筆記，這兒先簡(jiǎn)要介紹本書(shū)第三部分的觀點(diǎn)，寫(xiě)本讀書(shū)筆記的目的之一是讓我重新理解書(shū)中觀點(diǎn)，但是部分內(nèi)容沒(méi)有在這兒展開(kāi)，尤其是最后一章介紹的投射幾何學(xué)，有興趣的讀者還是建議讀全書(shū)；摘抄都是從kindle自動(dòng)導(dǎo)出。
正文開(kāi)始之前，迫不及待地單獨(dú)強(qiáng)調(diào)一下第12章中的一句話，大贊，概率之中有平衡思維和智慧，如果你覺(jué)得有些不能理解，歡迎去原書(shū)找答案。
1982年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主喬治·施蒂格勒（George Stigler）說(shuō)過(guò)：“如果你從來(lái)沒(méi)有誤過(guò)飛機(jī)，那只能說(shuō)明你浪費(fèi)在機(jī)場(chǎng)的時(shí)間太多?！?/p>

其次這一部分也展示了跨學(xué)科思維，在第13章中，從射影幾何學(xué)到彩票選號(hào)碼到信息論降低噪音，看起來(lái)都是完全獨(dú)立的內(nèi)容，但是從數(shù)學(xué)的角度看，居然都是相通的，真是有趣。

第11章 中彩票大獎(jiǎng)與期望值理論

以彩票為例，介紹了期望值的概念和應(yīng)用，從期望值的角度分析合適購(gòu)買(mǎi)彩票能獲得更大的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)。
期望值是所有中獎(jiǎng)概率下的平均值。
是否購(gòu)買(mǎi)彩票，不僅要看彩票的中獎(jiǎng)概率，還要看期望值，大部分時(shí)候彩票的期望值都低于其票面價(jià)格，假如我們把所有的彩票都買(mǎi)下來(lái)，整體上也是輸錢(qián)而非贏錢(qián)。彩票是政府獲得財(cái)政收入的一種手段，所以必然要求彩票的期望值低于其票面價(jià)格。
但是馬薩諸塞州設(shè)計(jì)了一種彩票，在特定的日期，彩票的期望值大于其票面價(jià)格，數(shù)學(xué)家借助于數(shù)學(xué)概念叢中獲得巨額利潤(rùn)。

到2007年，在每次累積獎(jiǎng)金向下分配之后，彩票的銷售量都會(huì)達(dá)到100萬(wàn)張甚至更多，而其中大多數(shù)都被這三個(gè)博彩團(tuán)隊(duì)買(mǎi)走了。“

數(shù)學(xué)家能從這種情況中獲利的依據(jù)，是“期望值的相加性（additivity of expected value）”。【如果一張銷售價(jià)格為2美元彩票的期望值3美元，購(gòu)買(mǎi)2萬(wàn)美元的期望值就是3萬(wàn)美元?！?/p>

期望值的相加性：兩個(gè)事物的期望值之和，即第一個(gè)事物的期望值加上第二個(gè)事物的期望值。

針對(duì)“期望值的相加性”，作者介紹了一種賭博游戲及其“復(fù)雜版本”。首先介紹最簡(jiǎn)單的“franc-carrearu”游戲

只要有一枚硬幣和由方磚鋪成的地板就可以玩“franc-carreau”游戲。人們把硬幣扔到地上，然后押下賭注，猜硬幣是完全落在一塊磚上還是騎在磚縫上。
在論文中，布封提出了一個(gè)問(wèn)題：硬幣完全落在一塊磚上的概率是多少？磚的面積多大時(shí)，這個(gè)游戲?qū)﹄p方來(lái)說(shuō)才是公平的？
數(shù)學(xué)家布封用簡(jiǎn)單的幾何數(shù)學(xué)給出了答案（畫(huà)正方形和園，根據(jù)相交關(guān)系下的占據(jù)的面積計(jì)算），答案是當(dāng)磚的邊長(zhǎng)是硬幣半徑的4+2^1.5約7倍時(shí)，硬幣完全落在正方形內(nèi)的概率是1/2，此時(shí)游戲?qū)﹄p方才是公平的。

但是如果把圓形的硬幣改成針狀物體或者其他形狀，游戲的獲勝概率又是多少呢？比如布封提出的縫衣針問(wèn)題。

如果扔到空中的不是埃居（硬幣）這樣的圓形物體，而是其他形狀的物體，例如方形的西班牙皮斯托兒金幣，或者一根縫衣針、一根短木棒等，解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)需要的幾何知識(shí)就會(huì)多一些?！?br> 硬幣騎縫的概率并不取決于它的朝向。 但是，布封使用的縫衣針卻不同。如果縫衣針的方向與木板條縫的方向近乎平行關(guān)系，那么它騎縫的概率會(huì)非常低。
我們不僅需要關(guān)注縫衣針中心點(diǎn)的位置，還要關(guān)注縫衣針的朝向。
只需要運(yùn)用算術(shù)與基礎(chǔ)幾何知識(shí)，其中最重要的就是對(duì)期望值相加性的應(yīng)用！

數(shù)學(xué)證明，我們可以通過(guò)簡(jiǎn)化問(wèn)題解答，也可以把問(wèn)題復(fù)雜化（直接證明一般情況下的一般解）。大部分時(shí)候，簡(jiǎn)化是好辦法，但是對(duì)于使用縫衣針的情況，直接去尋找一般解卻更容易。
一般情況:

假設(shè)縫衣針與木板縫相交的概率是P，如果縫衣針的長(zhǎng)度正好等于兩塊木板縫的寬度，那么與它相交的木板條縫數(shù)的期望值是多少？（1p+0（1-p）=p）
如果縫衣針的長(zhǎng)度為N（我們?nèi)∧景鍡l的寬度作為度量單位），那么與它相交的木板條縫數(shù)的期望值是NP。
事實(shí)上，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)N，無(wú)論大小，公式“與長(zhǎng)度為N的縫衣針相交的木板條縫數(shù)的期望值是Np”都成立
換言之，對(duì)于折彎的縫衣針而言，“與長(zhǎng)度為N的縫衣針相交的木板條縫數(shù)的期望值是Np”這一結(jié)論也成立。（彎曲的縫衣針可以被盡可能小的分割)
實(shí)際上，上述證明過(guò)程適用于所有縫衣針，無(wú)論它是多邊形還是彎曲的，相交木板條縫數(shù)的期望值都是Lp，其中L是以木板條寬度為計(jì)量單位時(shí)縫衣針的長(zhǎng)度。即使把一人份意大利面扔到地板上，想知道其中一根面條會(huì)騎在幾條地板縫上，我也能準(zhǔn)確地告訴你它的期望值是多少。這就是布封投針問(wèn)題的一般形式，數(shù)學(xué)家們開(kāi)玩笑說(shuō)這是“布封的面條問(wèn)題”。
對(duì)于以上的結(jié)論，如果縫衣針正好圍成一個(gè)圓形，結(jié)果依然成立。（此時(shí)N=2πr，與上面的硬幣的答案合并，既可以得到正確的答案）

第12章 效用理論、風(fēng)險(xiǎn)與不確定性

關(guān)鍵詞：效應(yīng)，平衡，

• part 1

1982年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主喬治·施蒂格勒（George Stigler）說(shuō)過(guò)：“如果你從來(lái)沒(méi)有誤過(guò)飛機(jī)，那只能說(shuō)明你浪費(fèi)在機(jī)場(chǎng)的時(shí)間太多?！?br> 拉弗曲線：效用與候機(jī)時(shí)間的關(guān)系； 候機(jī)時(shí)間過(guò)短（誤機(jī)）和過(guò)長(zhǎng)，效用都很低；有一個(gè)最高點(diǎn)，對(duì)應(yīng)最高的效用值。
施蒂格勒式的論斷適用于各類問(wèn)題，以政府的浪費(fèi)行為為例。
我們?yōu)槭裁绰?tīng)任這類事件持續(xù)發(fā)生呢？答案很簡(jiǎn)單：與提前趕到機(jī)場(chǎng)一樣，杜絕浪費(fèi)行為也需要付出代價(jià)。履行義務(wù)與保持警惕都是有意義的行為，但是杜絕所有浪費(fèi)行為，與把誤機(jī)概率從非常低降到零一樣，其成本超過(guò)收益。

因此，我們不應(yīng)該問(wèn)“政府為什么要浪費(fèi)納稅人的錢(qián)”，正確的問(wèn)題是“政府浪費(fèi)納稅人的錢(qián)以多少為宜”。用施蒂格勒的話說(shuō)：“如果我們的政府沒(méi)有浪費(fèi)行為，那只能說(shuō)明他們?cè)诜蠢速M(fèi)方面花了太多的時(shí)間?！?/p>

備注1: part1強(qiáng)調(diào)效應(yīng)是一個(gè)平衡之下的平均值，就像趕飛機(jī)，我們既要兼顧誤機(jī)的損失，又要考慮過(guò)早帶來(lái)的浪費(fèi)；所以切莫走極端，凡事過(guò)猶不及；就像政府打擊腐敗，真的做到零容忍，付出的成本遠(yuǎn)高于接受一定程度的腐?。ㄖ徊贿^(guò)這樣民意有些不好交代）。

• part 2 帕斯卡的賭注與無(wú)窮多的快樂(lè)
  帕斯卡從效應(yīng)的角度分析，我們?yōu)槭裁磻?yīng)該信仰上帝。帕斯卡并沒(méi)有證明上帝存在的概率是100%，而是從期望值和效應(yīng)的角度分析，即使上帝存在的概率很低，我們依然應(yīng)該信仰上帝。

如果我們相信上帝存在，并且我們的信仰是正確的，那么回報(bào)將是“持久的愉悅”，用經(jīng)濟(jì)學(xué)家的話說(shuō)，就是無(wú)窮大的效用度。
（假如上帝存在的概率只有1%，）無(wú)窮大的愉悅，其1%仍然是無(wú)窮大的愉悅，是信仰上帝的有限成本無(wú)法比擬
信仰上帝的期望值不僅為正值，而且是一個(gè)無(wú)窮大的正值。
帕斯卡的目標(biāo)不是讓我們相信上帝存在，而是讓我們相信信仰上帝會(huì)為我們帶來(lái)好處，

• part 3圣彼得堡悖論與期望效用理論
  圣彼得堡悖論與伯努利期望理論：

達(dá)科特（金錢(qián)）的數(shù)量加倍，不能理解為效用加倍。
普適性的效用曲線根本不存在。人們心目中的效用曲線并不一樣。

期望效應(yīng)理論：損失厭惡心理

備注：part 3部分與《思考，快與慢》中的“風(fēng)險(xiǎn)”一部分的觀點(diǎn)類似，傳統(tǒng)的期望理論認(rèn)為“效用與金錢(qián)數(shù)量成正比”，但伯努利認(rèn)為并不是成線性關(guān)系，隨著金錢(qián)的增加，效應(yīng)的增長(zhǎng)變得越來(lái)越緩慢； 卡尼曼則進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)“損失厭惡”心理，進(jìn)一步修正了伯努利期望理論。

第13章 祝你下一張彩票中大獎(jiǎng)

關(guān)鍵詞：透視現(xiàn)象，射影幾何學(xué)與選擇彩票號(hào)碼，“法諾平面”；信號(hào)與噪音，信息論中如何降低噪音

• part1 射影幾何學(xué)

平行線也可以相交：立體空間中的平行鐵軌，在我們的視野中，在遠(yuǎn)處一個(gè)“消失點(diǎn)”匯合，也就是（三維空間中的）平行線可以（在二維的投射平面中）相交。
這就是“透視現(xiàn)象”（phenomenon of perspective）。我們的視野是二維的，如果我們希望在這個(gè)二維視野中描繪三維世界，那么有些東西必然會(huì)丟失。

最小的射影平面是以其創(chuàng)建者法諾（Gino Fano）的名字命名的，叫作“法諾平面”。
根據(jù)法諾平面，進(jìn)行Cash WinFall彩票的號(hào)碼選擇，從而提高中獎(jiǎng)率。（不是購(gòu)買(mǎi)一張彩票的中獎(jiǎng)概率，而是大量購(gòu)買(mǎi)時(shí)）

• part2 信號(hào)與噪音
  信息論中如何避免噪音導(dǎo)致信號(hào)失真，同時(shí)盡可能在信號(hào)抗干擾能力和傳輸速度之間取得平衡。

香農(nóng)在他的那篇關(guān)于信息論的論文中指出，時(shí)至今日，工程師們?nèi)匀幻媾R著一個(gè)基礎(chǔ)性難題：信號(hào)抗噪聲干擾的能力越強(qiáng)，傳輸這條信息的速度就會(huì)越慢，如何在兩者之間取得平衡呢？
幾種錯(cuò)誤較正碼：(1)將所有比特發(fā)三遍，(2)海明碼，(3)隨機(jī)編碼
“海明碼”（Hamming code）是一種把三位數(shù)的代碼塊轉(zhuǎn)換成7位數(shù)的代碼塊的規(guī)則，實(shí)際上，海明碼中的7個(gè)非零代碼字正好對(duì)應(yīng)法諾平面上的7條直線。。因此，海明碼（還包括特蘭西瓦尼亞彩票的最佳號(hào)碼組合）與法諾平面是完全相同的數(shù)學(xué)研究對(duì)象，只不過(guò)改頭換面了！
但是公理2規(guī)定，兩條直線只能相交于一個(gè)點(diǎn)。換言之，由于幾何公理的作用，海明碼具有與“重復(fù)三次”相同的校正錯(cuò)誤的魔力。
這種新方法在傳輸信息時(shí)，每3個(gè)比特的原始信息僅需花費(fèi)7個(gè)比特的傳輸量，兩者之間的比為1∶2.33，效率更高。

• part3 非理性行為為什么會(huì)存在？
  為什么買(mǎi)彩票的中獎(jiǎng)概率很低，彩票價(jià)格低于彩票的期望價(jià)值；為什么還是很多人趨之若鶩？
  答案是，我們并非按照理性的概率和期望值去行動(dòng)，我們d行為受到其他方面的影響，比如道德觀念，比如行動(dòng)本身帶來(lái)的滿足感。

實(shí)現(xiàn)夢(mèng)想的行為本身，甚至這方面的嘗試，就是一種回報(bào)。