在上一篇文章中我們使用了細分圓面積，然后數(shù)格子的方法計算得到圓周率π的近似值。但更科學的方法是使用π的展開式形式來計算。比如下面這個公式：

第一眼看到這個公式都會驚訝甚至懷疑，不過你可以用下面的Goc代碼來驗證這個事情，看看循環(huán)次數(shù)是否越多就越接近π的值：

int main(){
    float he=0;
    for(int i=1;i<1000;i+=2){
        he=he+1.0/(i*i);
    }
    float pi=sqrt(he*8); //sqrt是把括號里面的數(shù)字開平方，比如sqrt(16)就是4
    char str[10];
    gcvt(pi, 10, str);
    p << str;
}

由于普通計算機數(shù)字精度問題，不能處理超大的數(shù)字，所以上面for循環(huán)不要使用太大的數(shù)字，請在3萬以內(nèi)測試。如果您有好的解決方案，煩請留言，萬分感激！

但為什么會這樣？

從倒數(shù)勾股定理說起

還是從勾股定理開始：任意直角三角形，斜邊c的平方等于兩個直角邊平方的和。

我們再看這個：

對于直角三角形面積我們知道是兩個直角邊相乘再除以2，也就是(ab)/2;但看這個倒下的直角三角形，如果我們把c當成底邊，d是三角形的高，那么我們就知道整個三角形的面積是(cd)/2。兩個方法哪個才正確？當然都正確啦！

所以我們有：

也就是：

然后：

因為勾股定理c方又等于a方加b方：

換個寫法：

也就是有：

終于到最后了~兩數(shù)相加除以一個數(shù)，等于兩數(shù)分別除以這個數(shù)再相加：

這就是神奇的倒數(shù)勾股定理公式，三角形斜邊上高的倒數(shù)，等于兩個直角邊倒數(shù)的和：

圓直徑內(nèi)接三角形

我們再來看另外一個和勾股定理沒關系的事情，圓上任意一個點，連接直徑兩端，和直徑一起圍成的三角形，一定是個直角三角形。比如下圖：

由于三角形內(nèi)角和是180度，所以橙色和綠色兩個三角形內(nèi)角和加起來是360度，也就是兩個黃色角和兩個綠色角加中心的黑色半圓等于360度。

又因為虛線也是半徑，c邊分成左右兩邊也都是半徑，所以這兩個三角形都是等腰三角形，兩個黃色角相等，兩個綠色角相等，：

兩邊都減半，就有

很明顯，黃色角加綠色角就是90度，也就是恰好是紅色直角位置。

這證明了，圓上任意一點連接直徑兩端圍成的三角形一定是直角三角形。

從第一個圓開始

好了，我們已經(jīng)做好準備，下面就開始拿下開頭的那個神奇公式：

先看下面這個：

這里灰色大圓直徑是黑色小圓的兩倍。
首先根據(jù)我們證明的倒數(shù)勾股定理，我們有：

a和b左右兩邊是對稱的，所以有：

假設我們的小黑圓周長是2，那么直徑d是2/π；d的平方就是(2/π)的平方，倒數(shù)就是(π/2)的平方，就是：

注意，由于大圓直徑是小圓直徑的2倍，周長也是2倍。小黑圓周長是2，那么大圓周長是4，兩個點之間的半圓長度是2。

再看更大的圓

我們再看下圖，外面增加一個4倍大的圓：

注意粗橙色的三角形，是直徑和圓上點組成的直角三角形！在這個粗橙色三角形內(nèi)，b是斜邊上的高！所以有：

結合上面的結論：

我們得到：

注意這里，四個橙色的圓點把整個大圓四等分。b2上面對著的最大圓的灰色周長，正好是整個大圓的1/8，也正好是小黑圓的一半，也就是1（小黑圓周長我們開始就設定是2），和中等圓的1/4相等。

再看超大的圓

似乎規(guī)律還不明顯，我們再看超大的圓：

這個圖上，根據(jù)倒數(shù)勾股定理，可以得到:

我們再看a2的情況：

這個圖很亂，我們只看粗線，橙色粗線a2，m和n代表綠色粗線，根據(jù)倒數(shù)勾股定理我們有：

好了，如果再繼續(xù)下去我們可能會頭暈了，但是我們可以換個思路來看。

圓繼續(xù)變大會怎樣？

每次我們把圓增加1倍，都會產(chǎn)生下面的規(guī)律：
首先，圓上的點會一個分裂成為兩個。最初1個黑色點，分裂成兩個藍色點，再分裂成4個橙色點，再分裂成為8個綠色點，繼續(xù)下去就是16個。

其次，我們最初的黑色點上到頂部，也就是小黑圓直徑平方分之一，也被分解為兩個藍色點到頂部距離平方的倒數(shù)和。然后每個藍色點到頂部距離的平方分之一，又被分解成兩個橘色點到頂部距離的平方倒數(shù)和。然后每個橙色點到頂部的距離分之一，又被分解成兩個綠色點到頂部距離的平方倒數(shù)和。

從上圖可以看出，我們最初的黑色豎線平方分之一，被分解成2條藍線平方倒數(shù)和（2個點每個點有一條到頂部），然后分解成4個黃色點到頂部距離平方倒數(shù)和（圖中只畫了1個藍點分裂的情況），又分解為8個綠色點到頂部距離平方倒數(shù)和（圖中分兩種情況畫了2個點橙色點分裂的情況）...如下圖所示：

再次，我們來注意上圖這些線的長度，最初周長是2；然后周長翻倍變成4，有兩個藍色點，點之間隔半個圓長度是2；然后周長翻倍變成8，有4個橘色點，相鄰點之間隔1/4圓，也就是弧長8/4=2；然后周長變16，點之間弧長16/8還是2;然后周長32，點之間弧長還是2...無論繼續(xù)編號多少次，點之間的弧長永遠是2！

最后，假設我們的圓無限大，比地球赤道還要大無限倍，會怎樣？無限大的那個圓會在頂部變?yōu)橐粭l直線！

然后呢？前面圖中我們畫的藍色-橙色-綠色-紅色線最終都重疊在這條直線上！
這又怎樣？記得我們上面的計算的黑色小線段平方倒數(shù)和嗎？

我們把黑色點到0的距離平方倒數(shù)(π平方除以4)，無限分解，最終分解成無限多個紫色點到0的長度平方倒數(shù)和！
這就有：

我們再把負數(shù)的一半去掉，那么左邊就變?yōu)棣衅椒匠?：

大功告成！

可能你已經(jīng)注意到，對于無限大圓，頂部的點都在直線上，但我們忽略了底下對面圓上的點，沒有畫出它們連過來的線。這是因為對于無限大圓，底下的點在無限遠處，無限遠的倒數(shù)平方和近乎是0，對我們的計算沒有影響。當然如果我們計算100倍大的圓時候，下面的點會有影響的，這會讓我們計算得到的π值小那么一丁點，微乎其微，如果我們真的希望更精確，那么不應該糾纏于損失的這么一點，而是使用更大的圓（比如10000倍）來進行計算，圓越大，損失越小，圓無限大的時候，我們就得到了最好的π數(shù)值?！斎?，無限是不可能實現(xiàn)的，所以無論如何，這個算法得到的π總是比實際小那么一丟丟。

小結

圓周率π的展開式很多，可以百度搜索到。這些展開式基本都是微積分計算得到的，這種形式的展開式形式也稱為微積分的泰勒展開式。

這篇文章主要是利用幾何極限的方法對它進行證明，也不是最好的證明方法，但可以讓初中數(shù)學水平就能理解。

圓周率π的神奇故事還有很多，就像是數(shù)學世界的一個萬能鑰匙，可以打開一扇又一扇大門，希望大家一起來探索！

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