1. 理論

1.1 標準表述（定義）

雙重差分模型（difference-in-differences）主要被用于社會學中的政策效果評估。其原理是基于一個反事實的框架來評估政策發(fā)生和不發(fā)生這兩種情況下被觀測因素y的變化。如果一個外生的政策沖擊將樣本分為兩組—受政策干預的Treat組和未受政策干預的Control組，且在政策沖擊前，Treat組和Control組的y沒有顯著差異，那么我們就可以將Control組在政策發(fā)生前后y的變化看作Treat組未受政策沖擊時的狀況（反事實的結(jié)果）。通過比較Treat組y的變化(D1)以及Control組y的變化（D2），我們就可以得到政策沖擊的實際效果(DD=D1-D2)。

具體地，單一沖擊時點的雙重差分的模型如下：

其中，Ti為政策虛擬變量；Ai為時間虛擬變量； Ti ×At為兩者的交互項；b3即為我們需要的雙重差分估計量。

政策沖擊的實際效果： DD = D1 - D2 = ( β2 + β3 ) - β2 = β3

需要特別指出的是，只有在滿足“政策沖擊前Treat組和Control組的y沒有顯著差異”（即平行性假定）的條件下，得到的雙重差分估計量才是無偏的。

詳細說明

為測度“處理”（或?qū)嶒灒┑男Ч覀冴P(guān)心被解釋變量經(jīng)“處理”前后的變化，考慮以下兩期面板數(shù)據(jù)：

混合OLS

雙重差分DID

示意圖

1.2 另一種表述（常用）

1.2.1 理解交互項的含義

例子：研究性別和學歷對工資的影響，性別是F，學歷是E，工資是S。如果沒有交叉項，那么回歸的方程是:

S = β0 + β1 × F + β2 × E

在這種情況下，性別的影響是β1，學歷的影響是β2。而有交叉項，那么回歸的方程是

S = β0 + β1 × F + β2 × E + β3 × F × E

在這種情況下，性別對工資的影響是β1+β3*E，學歷對工資的影響是β1+β3*F

所以我們很容易發(fā)現(xiàn)，交叉項刻畫了什么呢？

• 它刻畫了一個人的學歷對工資的影響是否受性別的影響（β1+β3*F），刻畫了一個人的性別對工資的影響是否受學歷的影響（β1+β3*E）。
• 換言之，他刻畫了第一種情況下，如果把不同的性別分開回歸，得出的β2是否與F有相關(guān)關(guān)系，刻畫了如果把不同的學歷分開回歸，得出的β1是否和E有相關(guān)關(guān)系。
• 更簡單點說，就是兩個自變量對因變量的共同作用。

加交互項，就相當于分組回歸（PS：離散型變量的交互項）

Y = β0 + β1× A + β2 × X + β3 × A × X + ε
A對Y有影響
X對Y有影響
β3 ：X對Y的影響，因A變化而變化。

按照上述例子，性別是A，學歷是X，收入是Y，那么就如同下圖。
如果女的是1 男的是0

斜率差

Y = β0 + β1× A + β2 × X + β3 × A × X + ε
性別是A，學歷是X，收入是Y

• β2：對于男性，學歷對收入的影響

• β2+β3：對于女性，學歷對收入影響

• β3 就是兩線的斜率差

• β1 他們的截距差（性別對收入的影響）

1.2.2 用交互項表示的雙重差分

用交互項表示的雙重差分

G(i)=0時,
y(it)= β0 + β3×D(t) + ε(it)

G(i)=1時,
y(it)= β0 + β1 × D(t) + β2 + β3 × D(t) + ε(it) = β02 + ( β1+ β3 ) × D(t) + ε(it)

• β3：控制組(Gi=0)的t2與t1之差，對照組前后期之差。
• β1+ β3：處理組(Gi=1)的t2與t1之差，處理組前后期之差。

所以政策變量與時期變量的交互項G(i)×D(t) 的系數(shù)β3 就是雙重差分估計量，表示了雙重差分估計出的政策效應。

2. R、Stata操作運用

R與STATA操作

• using all women with children as the treatment group：anykids為分組標識
• post93：時期變量（沖擊發(fā)生標識）,93年前為0和93年后為1

2.1 R：

eitc$p93kids.interaction = eitc$post93*eitc$anykids
reg1 = lm(work ~ post93 + anykids + p93kids.interaction, data = eitc)
summary(reg1)

The coefficient estimate on p93kids.interaction should match the value calculated manually above.

2.2 Stata：

2.2.1 OLS_DID：

標準：

reg y treat post treat*post x1 x2 ,robust

gen Treat_Post=Treat*Post
xi: regress y Treat Post Treat*Post x1 x2 i.year, vce(robust)
est store OLS_DID

xi:命令會幫助生成出i.varname形式的虛擬變量。不加則不會生成新變量，但回歸中仍然能使用這些虛擬變量（就是讓虛擬變量藏于回歸中不顯現(xiàn)出來）。

簡單示例：

gen interaction = post93*anykids
reg work post93 anykids interaction

或者用Stata非官方命令diff：

ssc intall diff
diff y, t(處理或分組或政策變量Gi)  p(時期虛擬變量Dt)  cov(協(xié)變量)  robust  report  test
diff work, t(anykids)  p(post93)  robust

2.2.2 FE_DID：

did只能做混合OLS，不能做固定效應，想做固定效應，要去掉一個虛擬變量。

標準：

xtset group year
xi: xtreg y Treat*Post x1 x2 i.year,fe vce(robust)
est store FE_DID

雙向固定效應估計時Post與i.year中某一虛擬變量應該多重共線，Post如同Treat一樣分別被時間效應和個體效應吸收了。

輸出word結(jié)果：(///表示換行)

esttab OLS_DID FE_DID, ar2(%9.3f) b(%9.3f) t(%9.3f) nogap compress ///
indicate("Year=_Iyear*") star(* 0.1 ** 0.05 *** 0.01)

輸出的結(jié)果

結(jié)果顯示交互項（Treat*Post）的系數(shù)顯著為正，表明政策實施導致了y顯著增加。然而，此時我們還不能確切的說，這一政策效果的評估是準確的，因為只有在對照組和實驗組滿足平行性假定的時候，Treat和post的交互項才是處理效應。因此平行趨勢假定的重要性不言而喻。平行性假定的檢驗可以通過回歸分析或者繪圖的方式進行。

其他等價方法：

xtreg 與 reg 可殊途同歸！(雙向固定時）

xtreg y treat*post i.year, fe robust
reg y i.treat i.post i.treat#i.post, robust

注：
FE與LSDV是等價的：
（1）xtreg fatal unrate beertax, fe
（2）xi:reg fatal unrate beertax i.state

2.2.3 平行趨勢假定

通過回歸分析檢驗：

分別生成每一期的控制組和處理組：

gen Dyear=year-2012

gen Before2=(Dyear==-2 & Treat==1)
lab var Before2 "2 Year Prior"

gen Before1=(Dyear==-1 & Treat==1)
lab var Before1 "1 Year Prior"

gen Current=(Dyear==0 & Treat==1)
lab var Current "Year of Adoption"

gen After1=(Dyear==1 & Treat==1)
lab var After1 "1 Year After"

gen After2=(Dyear==2 & Treat==1)
lab var After2 "2 Year After"

gen After3_=(Dyear>=3 & Treat==1)
lab var After3_ "3 or More Year After"

xtset group year
xi:xtreg y Treat Post Before2 Before1 Current After1 ///
   After2 After3_ x1 x2 i.year,fe vce(robust)

est store Dynamic

平行趨勢檢驗

Before2，Before1均為虛擬變量，如果觀測值是受到政策沖擊前的第2年和第1年的數(shù)據(jù)，則該指標分別取1，否則取0；如果觀測值是受到政策沖擊當年的數(shù)據(jù)，則Current取值為1，否則取0；當觀測值是受到政策沖擊后的第1年、第2年、第3年的數(shù)據(jù)時，After1、After2、After3分別取1，否則取0。

我們看到Before2，Before1的系數(shù)均不顯著，而Current、After1、After2、After3的系數(shù)均正向顯著，說明雙重差分模型滿足平行趨勢假定。

注：
1）關(guān)于Before之前選幾期的問題，一個要看樣本跨越的年度，一個要看已有文獻的做法。一般來說，時間跨度比較長的話，會保留Before前3年的。
2）如果Before均不顯著，就說明樣本符合平行性假定。對于Current的顯著性則不作要求。

通過繪圖檢驗：

首先，安裝外部命令：
ssc install coefplot
當我們help coefplot后可以看到其眾多的功能，接下來我們介紹輸出圖形的模式。

1. 默認輸出模式

coefplot Dynamic, keep(Before2 Before1 Current After1 After2 After3_) vertical recast(connect) yline(0)

• 保留關(guān)鍵變量: keep(Before2 Before1 Current After1 After2 After3_)
• 轉(zhuǎn)置: vertical
• 系數(shù)連線，觀察動態(tài)效果: recast(connect)
• 增加直線y=0: yline(0)
  
  默認輸出模式

2. 優(yōu)化模式

• graphregion & plotregion & title & notes

 coefplot Dynamic, keep(Before2 Before1 Current After1 After2 After3_) vertical ///
 recast(connect) lcolor(red*0.45) lpattern(-) ///
 ciopts(lcolor(edkblue*0.8)) ///
 mlcolor(gs6) mfcolor(white) msize(*1.2) msymbol(h) ///
 yline(0,lcolor(edkblue*0.6) lwidth(*1.0)) ///
 xlabel(,labsize(*0.75) labcolor(purple)  tposition(crossing) tlcolor(gs10)) ///
 ylabel(,nogrid tposition(crossing) tlcolor(gs10)) ///  
 graphregion(color(gs16)) ///
 plotr(lcolor(edkblue) lpattern(1) lwidth(*1.5)) ///     
 title("Fig.1 The Dynamic Effect of the Policy") ///
 note(" " "   Notes: Vertical bands represent +(-)1.96 times the standard error of each point estimate", size(*0.8)) 

優(yōu)化模式

3. 進階：通過兩條線展現(xiàn)動態(tài)變化

其實，也可以通過兩條線來展現(xiàn)沖擊發(fā)生前后兩組樣本y的動態(tài)變化。其思想和安慰劑實驗比較相似。但是對于虛擬變量的定義要進行更改。具體代碼如下：

gen Before3=(Dyear==-3)
gen Before2=(Dyear==-2)
gen Before1=(Dyear==-1)
gen Current=(Dyear==0)
gen After1=(Dyear==1)
gen After2=(Dyear==2)
gen After3=(Dyear==3)
gen After4=(Dyear==4)
xtset group year
xi:xtreg y Before3-After4 x1 x2 if Treat==1,fe vce(robust)
est store Treat
xi:xtreg y Before3-After4 x1 x2 if Treat==0,fe vce(robust)
est store Control
coefplot Treat Control, keep(Before* Current After*) vertical recast(connect) yline(0)

Before*和 Current After*后面*表示：在搜索字符串末尾指定星號(*) 以執(zhí)行通配搜索。
在計算機（軟件）技術(shù)中，通配符可用于代替字符。 通常地，星號“*”匹配0個或以上的字符，問號“?”匹配1個字符。如：123??? 將匹配 1231 或 12313，但不會匹配 123991991