注：說人話的統(tǒng)計學系列原連載于協(xié)和八微信公眾號。本文為筆者的學習筆記，每篇文章標題已加入原文超鏈接。如侵權請告知。
01 要比較三組數(shù)據(jù)，t檢驗還能用嗎？| 協(xié)和八
多次對同一組數(shù)據(jù)使用統(tǒng)計檢驗來否定同一個原假設，不管具體涉及的檢驗方法是什么，幾乎都會導致假陽性升高
可以使用Bonferroni 修正
對于檢驗三組或以上的數(shù)據(jù)是否具有相同的平均值，有專門的統(tǒng)計檢驗武器——方差分析（英文為 ANOVA，代表 Analysis Of Variance）
為什么對于三組或以上數(shù)據(jù)的比較，方差分析會優(yōu)于 t 檢驗？
因為 t 檢驗需要對兩兩組合進行多重檢驗，進而需要處理假陽性的問題，而方差分析只要通過一次檢驗就能驗證結論。
02 ANOVA在手，多組比較不犯愁 | 協(xié)和八
總平方和（total sum of squares）可以分為組間平方和（between-group sum of squares）和組內平方和（within-group sum of squares）
總平方和大致描繪的就是每個個體的實際數(shù)據(jù)圍繞它們共同性質所決定的理論平均值的波動程度。
組間平方和對應的是各組的平均值之間的差別，而組內平方和則是各數(shù)據(jù)點與自己所在組的平均值之間的差別。
組內平方和越小，組間平方和越大，組間差異越顯著。
03 ANOVA的基本招式你掌握了嗎？| 協(xié)和八
ANOVA 的原假設 平均值相等
備選假設 平均值不全相等
統(tǒng)計檢驗量 F等于
（組間平方和/組間自由度)/(組內平方和/組內自由度）
ANOVA 結果的時候不僅報道 p 值，也要報道自由度
ANOVA 也有與 t 檢驗非常相似的前提條件：
- 觀察值獨立，在包子的例子里面每一個包子的必須獨立隨機抽樣
- 每一組內數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布
- 組內方差相等，比如三位師傅做的包子雖然平均值未知但是方差得相等
如真的有一組或多組數(shù)據(jù)與其它組不同，ANOVA 結果會有很大概率是顯著的。統(tǒng)計功效與假陽性是一個硬幣的兩面，往往一個特定的檢驗功效高了，假陽性也會比較高，而 ANOVA 卻比較好的平衡了兩者。
ANOVA 的缺點是檢驗的結果并不明確，當你的 ANOVA 結果具有統(tǒng)計顯著性時，你并不能知道具體哪一組數(shù)據(jù)與其它組不同。為了找出具體哪一組數(shù)據(jù)不同，往往還要做事后（ post-hoc ）檢驗。
04 ANOVA 做出了顯著性？事兒還沒完呢！| 協(xié)和八
在ANOVA 呈現(xiàn)顯著性之后我們需要用到「事后檢驗」( post-hoc test )
組間兩兩比較用 Tukey-Kramer檢驗（又叫做 Tukey HSD）
所有實驗組與一個對照組比較用用 Dunnett 檢驗
描述來自同一正態(tài)分布的多組數(shù)據(jù)的平均值最大和最小的兩組的差距，叫做學生范圍分布（ Studentized range distribution ）
由組數(shù)，數(shù)據(jù)樣本的大小，樣本平均方差決定
ANOVA 的統(tǒng)計功效比 Tukey-Kramer 要強，所以可能先用 ANOVA 發(fā)現(xiàn)有顯著性，但是用 Tukey-Kramer 檢驗卻發(fā)現(xiàn)所有組之間都沒有統(tǒng)計顯著性
05 聽說，成對t檢驗還有ANOVA進階版？ | 協(xié)和八
重復測量 ANOVA（repeated-measures ANOVA）
是成對樣本 t 檢驗的延伸版
普通獨立樣本的 ANOVA 的邏輯，我們把數(shù)據(jù)總的變異性（總平方和）分拆為組間平方和與組內平方和，分別代表了效應和誤差。效應比誤差大得越多，那么效應就更顯著。
然而，在重復測量的情況下，「組內」（或者更準確地說是「條件內」）平方和其實有一部分并不是誤差，而是個體與個體之間本身存在的穩(wěn)定差別。
06 重復測量ANOVA：你要知道的事兒都在這里啦 | 協(xié)和八
重復測量ANOVA（repeated-measures ANOVA）。它的功能和成對樣本的 t 檢驗相似，是為了比較在同一組個體上進行多次測量（不同時間點、不同實驗條件等）后，得到的平均值是否有差異。
常規(guī)的 ANOVA 中，要得到 p 值，我們要利用組間平方和與組內平方和構建這么一個 F 統(tǒng)計量：
n 為樣本量（所有各組中數(shù)據(jù)點個數(shù)的總和），s 為組數(shù)。
重復測量 ANOVA
s 和之前一樣，為分組（實驗條件）數(shù)，而 m 為不同個體的數(shù)量。
重復測量 ANOVA 的條件
- 各分組或條件中的各數(shù)據(jù)點需要服從或近似服從正態(tài)分布，而且各個體互相獨立
- 所有條件間來自同一個體的兩兩數(shù)據(jù)點之差的方差（variance）相等。這個假設有個專門的術語，稱為球面性（sphericity）。
怎樣才能知道球面性假設是否成立？利用 Mauchly 氏球面性檢驗（Mauchly’s Test of Sphericity），它是各大統(tǒng)計學軟件在重復測量 ANOVA 功能中的默認標配。這個檢驗的原假設是「重復測量數(shù)據(jù)具有球面性」，因此當該檢驗的 p 值小于 0.05 時，我們認為數(shù)據(jù)違背了球面性假設； p 值大于 0.05 時，我們則認為球面性得到了滿足。
如果數(shù)據(jù)不滿足球面性，那么我們需要對 F 統(tǒng)計量的自由度進行修正，最常用的修正方法是 Greenhouse-Geisser 校正（Greenhouse-Geisser correction）。
