《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得所著的一部數學著作。又稱《原本》，它是歐洲數學的基礎，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。在《幾何原本》中，歐幾里得使用了公理化的方法。這一方法后來成了建立任何知識體系的典范，在差不多二千年間，被奉為必須遵守的嚴密思維的范例。這本著作是歐幾里得幾何的基礎，在西方是僅次于《圣經》而流傳最廣的書籍。
《幾何原本》的第I卷幾何基礎由23個定義，5個公設和5個公理以及由定義、公設、公理出發(fā)，通過論證得出的48個命題組成。我們首先對23個定義進行解讀和評論。
定義I.1
A point is that which has no part.
點：點不可以分割為部分。
本定義給出了《幾何原本中》的第一個術語：點。不可以分割為部分表示點是沒有長度、寬度，并且不可分割的一個位置。
接下來的幾個定義給出了更多的術語。一般情況下，后面的術語通過前面定義的術語來定義。但《原本》中的前幾個術語不是通過其它術語來定義的，他們是原始術語。后面的公設和公理將為這些原始術語賦予更多的含義和屬性。例如第1個公設：任意兩點之間可以作一條直線在某種程度上給點賦予了更多的含義。
定義I.2
A line is breadthless length.
線：線只有長度沒有寬度。
線是元素中的第二個原始術語，只有長度沒有寬度表示一條線具有一個維度—長度，但不具有寬度?！对尽分胁]有給出術語長度和寬度的定義。在定義I.5中，用兩個維度—長度和寬度定義了面；在定義XI.1中，用三個維度—長度、寬度和深度定義了體。
需要注意的一點是，《原本》中的線并不一定是直線，在后面，直線有專門的定義。此外，從下一個定義來看，顯然《原本》中的線可以有末端(以后稱為端點)，此時它們是線段或者曲線段。但線不一定必須要有端點，比如圓就沒有端點。事實上，線的長度不一定是有限的，但這種情況在《原本》中很少出現(xiàn)，通?？梢酝ㄟ^語境來判斷。
定義I.3
The ends of a line are points.
線的末端是點。
這個定義說明的是某些線和點之間的關系，即點可以是線的末端(以后稱為端點)。它并沒有說是什么樣的端點；也沒有說一條線有幾個端點。比如，圓沒有端點；一條有限的線有兩個端點。
定義I.4
A straight line is a line which lies evenly with the points on itself.
直線：直線是其組成點，均勻地直放著的線。
該定義說明直線是一種線，但從定義上很難解釋清楚什么是直線，不同的人有不同的解釋。在定義I.7平面的定義中使用了類似的比較模糊的語言。后面的公設將給出直線更多的含義。
定義I.5
A surface is that which has length and breadth only.
面：面只有長度和寬度。
本定義表明面具有兩個維度，但在此前或此后卻沒有定義什么是長度和寬度。注意，面不一定是平面，除了平面，在《原本》中出現(xiàn)的面還有圓錐，圓柱和球的表面。
定義I.6
The edges of a surface are lines.
一個面的邊緣是線。
該定義描述了面和線的某種關系，比如半球面的邊是圓。
定義I.7
A plane surface is a surface which lies evenly with the straight lines on itself.
平面：平面是組成的線，均勻地放著的面。
需要注意的一點是，平面可以是無限大的，但又不一定是無限大的。它可以是正方形，圓形或任何其他平面圖形（定義I.19）。
定義I.8
A plane angle is the inclination to one another of two lines in a plane which meet one another and do not lie in a straight line.
平面角：平面角是在同一平面內但不在同一直線上的兩條線相交所形成的傾斜度。
角對于整個希臘的幾何學來說都是非常重要的概念，許多命題即使是陳述也需要用到角。
從下一個直線角的定義可以看出，角的邊不一定是直線，也可以是曲線。角度的大小不取決于邊的長度，而僅取決于邊的相交方式。在《原本》中，幾乎所有角都是直線角，但帶有曲邊的角在命題III.16中出現(xiàn)過。在該命題中，出現(xiàn)了所謂的喇叭角，即圖中的，它被描述為圓與直線切線之間的傾斜度。
小于任何直線角
，即便
的曲邊超過
的邊。這是因為在該角的頂點
附近，
完全包含在
中。
定義I.9
And when the lines containing the angle are straight, the angle is called rectilinear.
直線角：含有角的兩條線都是直線時，其角稱為直線角。
該定義是定義I.9的延續(xù)，《原本》中出現(xiàn)的幾乎所有的角都是直線角，
如圖所示，是直線角。角通常由三個點命名，中間點角的頂點。當沒有歧義時，以其頂點命名角就足夠了，在此示例中，角
也可以簡稱為角
。這種命名角的方式被沿用至今。
定義I.10
When a straight line standing on a straight line makes the adjacent angles equal to one another, each of the equal angles is right, and the straight line standing on the other is called a perpendicular to that on which it stands.
直角與垂線：一條直線與另一條直線相交所形成的兩鄰角相等，兩角皆稱為直角，稱這條直線為另一條直線的垂線。
如圖所示，和
相等，由定義，它們都是直角，上面那條直線
垂直于直線
。后面的公設4指出，所有直角均相等。雖然《原本》沒有給出垂線存在性的說明，但命題I.11給出了垂線的構造方法。此外，可以證明
也垂直于
。
定義I.11
An obtuse angle is an angle greater than a right angle.
鈍角：大于直角的角叫鈍角。
定義I.12
An acute angle is an angle less than a right angle.
銳角：小于直角的角叫銳角。
圖中，是鈍角。它大于一個直角，但小于兩個直角。注意，歐幾里得要求任何角度都必須小于兩個直角。
是銳角，它小于直角。
注意，這里并沒有要求角是直線角。實際上，前面提到的喇叭角不是直線角，但因為小于直角，因此也是銳角。
定義I.13
A boundary is that which is an extremity of anything.
邊界：邊界是物體的邊緣。
定義I.14
A figure is that which is contained by any boundary or boundaries.
圖形：圖形是一個邊界或幾個邊界所圍成的。
定義I.13和I.14很模糊，因為邊緣（extremity）和包含于（contained by）并沒有被定義。
定義I.15
A circle is a plane figure contained by one line such that all the straight lines falling upon it from one point among those lying within the figure equal one another.
圓：圓由一條線包圍著的平面圖形，其內有一點與這條線上任何一個點所連成的線段都相等。
定義I.16
And the point is called the center of the circle.
圓心：定義16中的那個點叫做圓心。
定義I. 17
A diameter of the circle is any straight line drawn through the center and terminated in both directions by the circumference of the circle, and such a straight line also bisects the circle.
直徑：直徑是穿過圓心、端點在圓上的任意線段，該線段將圓二等分。
定義I.18
A semicircle is the figure contained by the diameter and the circumference cut off by it. And the center of the semicircle is the same as that of the circle.
半圓：是直徑與被它切割的圓弧圍成的圖形。半圓的圓心與原圓心相同。
定義I.15—I.18描述了什么是圓。這些定義并不能保證定義的事物的存在性，圓的存在性源于后面的公設I.3。需要注意的是，《原本》中的圓是一個二維圖形，而現(xiàn)代數學中的圓通常指的是《原本》中的圓周。
定義中并沒有假設圓只有一個圓心。命題III.1給出了圓心的構造，該命題的證明也說明了圓心是唯一的。包含圓的曲線是其圓周，《原本》中通常用圓周上的三個點來命名一個圓。
《原本》中并沒有使用術語半徑，而是使用了“that from a center”，但半徑是一個非常有用的術語，因此“that from a center”將被翻譯為半徑。
圖中，線段是圓
的一條直徑，顯然，直徑是半徑的兩倍，并且根據定義，半徑彼此相等，因此直徑也都彼此相等。
直徑將圓二等分不應作為定義的一部分，而應作為公設或作為命題并證明。直徑能否將圓二等分取決于圓是否在平面上，具有非恒定曲率的面上的“圓”并不具有該性質，即“直徑”兩側的兩個“半圓”不一定相等。
定義I.19
Rectilinear figures are those which are contained by straight lines, trilateral figures being those contained by three, quadrilateral those contained by four, and multilateral those contained by more than four straight lines.
直線圖形：直線圖形是由線段首尾順次相接圍成的。三邊形（即三角形）是由三條線段圍成的，四邊形是由四條線段圍成的，多邊形是由四條以上的線段圍成的。
定義I.20
Of trilateral figures, an equilateral triangle is that which has its three sides equal, an isosceles triangle that which has two of its sides alone equal, and a scalene triangle that which has its three sides unequal.
三角形中，三條邊相等的叫做等邊三角形，兩條邊相等的叫做等腰三角形，各邊都不相等的叫做不等邊三角形。
該定義按三角形的對稱性對其進行分類，而定義I.21按其所包含的角的大小對三角形進行分類。
如圖所示，不等邊三角形不具有對稱性；等腰三角形
具有左右對稱性；等邊三角形
不僅具有三個左右對稱性，而且具有120°旋轉對稱性。
根據定義，等邊三角形不被當做等腰三角形考慮。等腰三角形這個術語首先在命題I.5中使用，后來在第3卷和第4卷中使用。和現(xiàn)在一樣，等腰三角形在《原本》中并不排除等邊三角形的情況。
命題I.1給出了等邊三角形的構造方式，命題I.5和I.6證明了等腰三角形的另一個特征，即它們的底角相等。
定義I.21
Further, of trilateral figures, a right-angled triangle is that which has a right angle, an obtuse-angled triangle that which has an obtuse angle, and an acute-angled triangle that which has its three angles acute.
三角形中，有一個角為直角的叫做直角三角形；有一個鈍角的叫做鈍角三角形；三個角都為銳角的叫做銳角三角形。
上圖中，三角形是直角三角形，因為它有一個角是直角，三角形
是鈍角三角形，因為它有一個鈍角；三角形
是銳角三角形，因為它的所有角都是銳角。
命題I.17指出，三角形中任意兩個角度之和小于兩個直角，因此，三角形不可能包含一個以上的直角。此外，最多可以存在一個鈍角，并且在三角形中不可能同時出現(xiàn)直角和鈍角。
定義I.22
Of quadrilateral figures, a square is that which is both equilateral and right-angled; an oblong that which is right-angled but not equilateral; a rhombus that which is equilateral but not right-angled; and a rhomboid that which has its opposite sides and angles equal to one another but is neither equilateral nor right-angled. And let quadrilaterals other than these be called trapezia.
四邊形中，四條邊相等并四個角為直角的叫做正方形；四角為直角，但邊不完全相等的叫做長方形（也叫矩形）；四邊相等，角不是直角的叫做菱形；兩組對邊、兩組對角分別相等的叫做斜方形（即平行四邊形）；其余的四邊形叫做不規(guī)則四邊形。
上圖中，是正方形；
是一個長方形或矩形；
是菱形；
是梯形，
是一個平行四邊形。該定義里的圖形在《原本》中唯一實際使用到的是正方形。
定義I.23
Parallel straight lines are straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one another in either direction.
平行直線：在同一個平面內向兩端無限延長不能相交的直線。
該定義僅給出了平行直線的含義，并沒有任何關于平行直線存在性的說明。命題I.31給出了過定點構造給定直線的平行直線的方法。
參考文獻
- Euclid’s Elements, David E. Joyce.
- 《歐幾里得幾何原本》，蘭紀正，朱恩寬譯。
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