RSA算法它是第一個(gè)既能用于數(shù)據(jù)加密也能用于數(shù)字簽名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以發(fā)明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理論上的證明。它經(jīng)歷了各種攻擊，至今未被完全攻破。

一、RSA算法 :

首先, 找出三個(gè)數(shù), p, q, r,

其中 p, q 是兩個(gè)相異的質(zhì)數(shù), r 是與 (p-1)(q-1) 互質(zhì)的數(shù)

p, q, r 這三個(gè)數(shù)便是 private key

接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)

這個(gè) m 一定存在, 因?yàn)?r 與 (p-1)(q-1) 互質(zhì), 用輾轉(zhuǎn)相除法就可以得到了

再來, 計(jì)算 n = pq

m, n 這兩個(gè)數(shù)便是 public key

編碼過程是, 若資料為 a, 將其看成是一個(gè)大整數(shù), 假設(shè) a < n

如果 a >= n 的話, 就將 a 表成 s 進(jìn)位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),

則每一位數(shù)均小於 n, 然後分段編碼

接下來, 計(jì)算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),

b 就是編碼後的資料

解碼的過程是, 計(jì)算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),

於是乎, 解碼完畢 等會(huì)會(huì)證明 c 和 a 其實(shí)是相等的?? :)

如果第三者進(jìn)行竊聽時(shí), 他會(huì)得到幾個(gè)數(shù): m, n(=pq), b

他如果要解碼的話, 必須想辦法得到 r

所以, 他必須先對(duì) n 作質(zhì)因數(shù)分解

要防止他分解, 最有效的方法是找兩個(gè)非常的大質(zhì)數(shù) p, q,

使第三者作因數(shù)分解時(shí)發(fā)生困難

<定理>

若 p, q 是相異質(zhì)數(shù), rm == 1 mod (p-1)(q-1),

a 是任意一個(gè)正整數(shù), b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,

則 c == a mod pq

證明的過程, 會(huì)用到費(fèi)馬小定理, 敘述如下:

m 是任一質(zhì)數(shù), n 是任一整數(shù), 則 n^m == n mod m

(換另一句話說, 如果 n 和 m 互質(zhì), 則 n^(m-1) == 1 mod m)

運(yùn)用一些基本的群論的知識(shí), 就可以很容易地證出費(fèi)馬小定理的

<證明>

因?yàn)?rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整數(shù)

因?yàn)樵?modulo 中是 preserve 乘法的

(x == y mod z?? and?? u == v mod z?? =>?? xu == yv mod z),

所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq

1. 如果 a 不是 p 的倍數(shù), 也不是 q 的倍數(shù)時(shí),

則 a^(p-1) == 1 mod p (費(fèi)馬小定理)?? =>?? a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p

a^(q-1) == 1 mod q (費(fèi)馬小定理)?? =>?? a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q

所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1?? =>?? pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1

即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq

=>?? c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq

2. 如果 a 是 p 的倍數(shù), 但不是 q 的倍數(shù)時(shí),

則 a^(q-1) == 1 mod q (費(fèi)馬小定理)

=>?? a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q

=>?? c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q

=>?? q | c - a

因 p | a

=>?? c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p

=>?? p | c - a

所以, pq | c - a?? =>?? c == a mod pq

3. 如果 a 是 q 的倍數(shù), 但不是 p 的倍數(shù)時(shí), 證明同上

4. 如果 a 同時(shí)是 p 和 q 的倍數(shù)時(shí),

則 pq | a

=>?? c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq

=>?? pq | c - a

=>?? c == a mod pq

Q.E.D.

這個(gè)定理說明 a 經(jīng)過編碼為 b 再經(jīng)過解碼為 c 時(shí), a == c mod n?? (n = pq)

但我們?cè)谧鼍幋a解碼時(shí), 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,

所以這就是說 a 等於 c, 所以這個(gè)過程確實(shí)能做到編碼解碼的功能

二、RSA 的安全性

RSA的安全性依賴于大數(shù)分解，但是否等同于大數(shù)分解一直未能得到理論上的證明，因?yàn)闆]有證明破解 RSA就一定需要作大數(shù)分解。假設(shè)存在一種無須分解大數(shù)的算法，那它肯定可以修改成為大數(shù)分解算法。目前， RSA 的一些變種算法已被證明等價(jià)于大數(shù)分解。不管怎樣，分解n是最顯然的攻擊方法。現(xiàn)在，人們已能分解多個(gè)十進(jìn)制位的大素?cái)?shù)。因此，模數(shù)n 必須選大一些，因具體適用情況而定。

三、RSA的速度

由于進(jìn)行的都是大數(shù)計(jì)算，使得RSA最快的情況也比DES慢上倍，無論是軟件還是硬件實(shí)現(xiàn)。速度一直是RSA的缺陷。一般來說只用于少量數(shù)據(jù)加密。

四、RSA的選擇密文攻擊

RSA在選擇密文攻擊面前很脆弱。一般攻擊者是將某一信息作一下偽裝( Blind)，讓擁有私鑰的實(shí)體簽署。然后，經(jīng)過計(jì)算就可得到它所想要的信息。實(shí)際上，攻擊利用的都是同一個(gè)弱點(diǎn)，即存在這樣一個(gè)事實(shí)：乘冪保留了輸入的乘法結(jié)構(gòu)：

( XM )^d = X^d *M^d mod n

前面已經(jīng)提到，這個(gè)固有的問題來自于公鑰密碼系統(tǒng)的最有用的特征--每個(gè)人都能使用公鑰。但從算法上無法解決這一問題，主要措施有兩條：一條是采用好的公 鑰協(xié)議，保證工作過程中實(shí)體不對(duì)其他實(shí)體任意產(chǎn)生的信息解密，不對(duì)自己一無所知的信息簽名；另一條是決不對(duì)陌生人送來的隨機(jī)文檔簽名，簽名時(shí)首先使用 One-Way HashFunction 對(duì)文檔作HASH處理，或同時(shí)使用不同的簽名算法。在中提到了幾種不同類型的攻擊方法。

五、RSA的公共模數(shù)攻擊

若系統(tǒng)中共有一個(gè)模數(shù)，只是不同的人擁有不同的e和d，系統(tǒng)將是危險(xiǎn)的。最普遍的情況是同一信息用不同的公鑰加密，這些公鑰共模而且互質(zhì)，那末該信息無需私鑰就可得到恢復(fù)。設(shè)P為信息明文，兩個(gè)加密密鑰為e1和e2，公共模數(shù)是n，則：

C1 = P^e1 mod n

C2 = P^e2 mod n

密碼分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。

因?yàn)閑1和e2互質(zhì)，故用Euclidean算法能找到r和s，滿足：

r * e1 + s * e2 = 1

假設(shè)r為負(fù)數(shù)，需再用Euclidean算法計(jì)算C1^(-1)，則

( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n

另外，還有其它幾種利用公共模數(shù)攻擊的方法?？傊绻澜o定模數(shù)的一對(duì)e和d，一是有利于攻擊者分解模數(shù)，一是有利于攻擊者計(jì)算出其它成對(duì)的e’和d’，而無需分解模數(shù)。解決辦法只有一個(gè)，那就是不要共享模數(shù)n。

RSA的小指數(shù)攻擊。 有一種提高 RSA速度的建議是使公鑰e取較小的值，這樣會(huì)使加密變得易于實(shí)現(xiàn)，速度有

所提高。但這樣作是不安全的，對(duì)付辦法就是e和d都取較大的值。

RSA算法是第一個(gè)能同時(shí)用于加密和數(shù)字簽名的算法，也易于理解和操作。RSA是被研究得最廣泛的公鑰算法，從提出到現(xiàn)在已近二十年，經(jīng)歷了各種攻擊的考驗(yàn)，逐漸為人們接受，普遍認(rèn)為是目前最優(yōu)秀的公鑰方案之一。RSA的安全性依賴于大數(shù)的因子分解，但并沒有從理論上證明破譯RSA的難度與大數(shù)分解難度等價(jià)。即RSA的重大缺陷是無法從理論上把握它的保密性能 如何，而且密碼學(xué)界多數(shù)人士傾向于因子分解不是NPC問題。 RSA的缺點(diǎn)主要有：A)產(chǎn)生密鑰很麻煩，受到素?cái)?shù)產(chǎn)生技術(shù)的限制，因而難以做到一次一密。B)分組長度太大，為保證安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使運(yùn)算代價(jià)很高，尤其是速度較慢，較對(duì)稱密碼算法慢幾個(gè)數(shù)量級(jí)；且隨著大數(shù)分解技術(shù)的發(fā)展，這個(gè)長度還在增加，不利于數(shù)據(jù)格式的標(biāo)準(zhǔn)化。目前，SET( Secure Electronic Transaction )協(xié)議中要求CA采用比特長的密鑰，其他實(shí)體使用比特的密鑰。

C語言實(shí)現(xiàn)

#include <stdio.h>

int candp(int a,int b,int c)

{ int r=1;

b=b+1;

while(b!=1)

{

r=r*a;

r=r%c;

b--;

}

printf("%d\n",r);

return r;

}

void main()

{

int p,q,e,d,m,n,t,c,r;

char s;

printf("please input the p,q: ");

scanf("%d%d",&p,&q);

n=p*q;

printf("the n is %3d\n",n);

t=(p-1)*(q-1);

printf("the t is %3d\n",t);

printf("please input the e: ");

scanf("%d",&e);

if(e<1||e>t)

{

printf("e is error,please input again: ");

scanf("%d",&e);

}

d=1;

while(((e*d)%t)!=1)?? d++;

printf("then caculate out that the d is %d\n",d);

printf("the cipher please input 1\n");

printf("the plain please input 2\n");

scanf("%d",&r);

switch(r)

{

case 1: printf("input the m: "); /*輸入要加密的明文數(shù)字*/

scanf("%d",&m);

c=candp(m,e,n);

printf("the cipher is %d\n",c);break;

case 2: printf("input the c: "); /*輸入要解密的密文數(shù)字*/

scanf("%d",&c);

m=candp(c,d,n);

printf("the cipher is %d\n",m);break;

}

getch();

}