向量

了解向量之前，先了解什么是標(biāo)量

• 標(biāo)量：只有大小，例如：1，12，13等
• 向量是有方向的標(biāo)量，即不僅有大小，還有方向

單位向量
單位向量是長(zhǎng)度為1的向量，向量長(zhǎng)度通過下列公式計(jì)算

向量的模的計(jì)算

如果一個(gè)向量不是單位向量，可以通過單位化將其轉(zhuǎn)化為單位向量，即 非零向量除以向量的模，如下圖所示

向量單位化

向量點(diǎn)乘

• 點(diǎn)乘只能發(fā)生在兩個(gè)向量之間，且點(diǎn)乘時(shí)，兩向量必須是單位向量，如果不是，需要將向量進(jìn)行單位化后，再點(diǎn)乘

• 點(diǎn)乘得到的是兩個(gè)向量之間的夾角的余弦值 即 cosα，范圍在[-1, 1]之間，是一個(gè)標(biāo)量

  
  
  向量點(diǎn)乘

• OpenGL中針對(duì)相應(yīng)點(diǎn)乘，提供了兩個(gè)函數(shù)
  • m3dDotProduct3：獲得2個(gè)向量量之間的點(diǎn)乘結(jié)果，即余弦值 = cosα
  • m3dGetAngleBetweenVector3：獲取2個(gè)向量之間夾?的角度，即α = arccos(余弦值)

向量叉乘

• 兩個(gè)向量之間叉乘得到結(jié)果同樣是一個(gè)向量，且該向量垂直于兩個(gè)向量所構(gòu)成的平面，

• 由于結(jié)果與兩向量構(gòu)成平面垂直，也可以理解為得到的結(jié)果是該平面的法線

  
  
  向量叉乘

• OpenGL中針對(duì)向量叉乘也提供了對(duì)應(yīng)的API

  • m3dCrossProduct3：獲得2個(gè)向量之間的叉乘結(jié)果得到一個(gè)新的向量

OpenGL中向量

• 向量的表示：有兩種方式，三維和四維，如圖所示

• 關(guān)于向量點(diǎn)乘和叉乘對(duì)應(yīng)API匯總

  
  
  OpenGL中向量的API

矩陣

單位矩陣

• 主對(duì)角線上數(shù)據(jù)都是1，其余元素都是0，即為單元矩陣
• 向量 X 單元矩陣 = 向量 X 1，不會(huì)發(fā)生任何變化
• 向量與單元矩陣相乘的前提是：向量的列數(shù) == 單元矩陣的行數(shù)

矩陣分類

• 行優(yōu)先矩陣：一行一行讀取
• 列優(yōu)先矩陣：一列一列讀取
• 兩者的關(guān)系為：行優(yōu)先矩陣經(jīng)過轉(zhuǎn)置 即可的到列優(yōu)先矩陣

矩陣分類

矩陣的點(diǎn)乘

• 矩陣可以進(jìn)行點(diǎn)乘的前提：兩個(gè)矩陣的行列數(shù)相等

• 矩陣A · 矩陣B = 矩陣C
  -規(guī)則： 矩陣A的第一個(gè)元素與矩陣B的第一個(gè)元素的乘積 = 矩陣C的第一個(gè)元素

  
  
  矩陣點(diǎn)乘

矩陣的叉乘

• 矩陣可以進(jìn)行叉乘的前提：第一個(gè)矩陣的列數(shù) = 第二個(gè)矩陣的行數(shù)
• 矩陣A X 矩陣B = 矩陣C

  • 規(guī)則：矩陣A第一行與矩陣B第一列對(duì)應(yīng)元素乘積的綜合 = 矩陣C的第一個(gè)元素

    
    
    矩陣叉乘

OpenGL中的矩陣

• OpenGL中單元矩陣有3中初始化方法

  • 通過GLFloat定義一個(gè)一維數(shù)組
    

    矩陣初始化方式1

  • 通過M3DMatrix44f創(chuàng)建一個(gè)單元矩陣
    

    單元矩陣初始化方式2

- 通過方法`m3dLoadIdentity44f`創(chuàng)建單元矩陣

void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);

• OpenGL中，使用較多的矩陣都是一維數(shù)組創(chuàng)建的，且規(guī)定使用以列為主的矩陣排序。
• OpenGL中的矩陣都是4x4的，每一列都是由4個(gè)元素組成的向量，如圖所示
  • 第一列表示x軸方向
  • 第二列表示y軸方向
  • 第三列表示z軸方向
  • 第四列表示交換位置
  • 列向量進(jìn)行了特殊的標(biāo)注，表示這是以列為主的矩陣，主要體現(xiàn)為矩陣的最后一行都是0，只有最后一個(gè)元素為1

OpenGL中的4X4矩陣

理解OpenGL中的矩陣相乘

數(shù)學(xué)角度

• 數(shù)學(xué)中為了方便計(jì)算，都是以行矩陣為標(biāo)準(zhǔn)，從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算，所以在數(shù)學(xué)中，頂點(diǎn)將以行向量的方式表示
• 從數(shù)學(xué)角度理解mvp矩陣的計(jì)算，由于頂點(diǎn)是行向量，要滿足矩陣相乘的規(guī)定條件（即 叉乘的前提），必須將mvp矩陣放在右邊，屬于右乘
  • 頂點(diǎn)向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro

  • 頂點(diǎn)向量 = 頂點(diǎn) * 模型矩陣 * 觀察矩陣 * 投影矩陣

    
    
    數(shù)學(xué)角度

OpenGL角度

• OpenGL中的矩陣規(guī)定是以列為主，所以頂點(diǎn)以列向量的方式表示

• 從OpenGL角度理解mvp矩陣的計(jì)算，由于頂點(diǎn)是列向量，如果項(xiàng)進(jìn)行矩陣規(guī)則，就需要滿足矩陣相乘的條件，需要將mvp矩陣的順序顛倒為pvm，且放在列向量的左邊，屬于左乘

  
  
  OpenGL角度

OpenGL矩陣堆棧中矩陣相乘源碼分析
從OpenGL矩陣堆棧中矩陣相乘源碼分析，主要有以下3步
-從棧頂獲取棧頂矩陣，復(fù)制到mTemp

• 將棧頂矩陣 mTemp 左乘 mMatrix

• 將結(jié)果放回棧頂，覆蓋棧頂矩陣

  
  
  矩陣相乘源碼

而我們?cè)谟^察者不動(dòng)、物體動(dòng)的觀察方式中，根據(jù)之前Demo代碼可知

代碼中矩陣堆棧變化

• ChangeSize函數(shù)中，得到投影矩陣，將投影矩陣壓入投影矩陣堆棧棧頂，并與模型視圖矩陣棧頂相乘，將結(jié)果覆蓋棧頂，即 投影矩陣 * 單元矩陣 = 投影矩陣
• RenderScene函數(shù)中，將棧頂矩陣copy一份，然后將觀察者矩陣與模型視圖矩陣堆棧棧頂相乘，其結(jié)果覆蓋棧頂矩陣，即投影矩陣 * 視圖矩陣 = 視圖投影矩陣
• 得到模型矩陣，將模型矩陣與棧頂矩陣相乘，其結(jié)果覆蓋棧頂矩陣，即 棧頂 = 模型視圖投影矩陣

上述代碼，矩陣堆棧的變化過程如下

堆棧變化過程

由此可知，在實(shí)際的代碼中，mvp矩陣的計(jì)算順序是pvm，最后再將mvp矩陣與頂點(diǎn)矩陣相乘，得到物體變換后的頂點(diǎn)和位置。